Definició i funció de densitat
[modifica]
Siguin variables aleatòries independents, totes amb distribució uniforme a l'interval [0,1]. Designem per la mitjana d'aquestes variables: La distribució de és coneguda com a distribució de Bates. És una distribució contínua amb funció de densitat on és la part entera del nombre real .
Nota: A partir d'ara, escriurem les funcions de densitat només en aquell conjunt on siguin diferents de zero.
Alternativament [1] on Ambdues expressions són equivalents, ja que a la segona expressió, per a , tenim que .
Totes les propietats de la distribució de Bates (moments, funció característica,....) es dedueixen de les corresponents propietats de les distribucions uniformes i de la independència de .
Definició i funció de densitat de la distribució d'Irwin-Hall
[modifica]
Amb les notacions anteriors, la distribució de la suma s'anomena distribució d'Irwin-Hall. Atès que , la funció de densitat de es dedueix directament de la de :
O, en la notació de Feller,
Com a les seccions anteriors, designem per la funció de densitat de Bates, i per la d'Irwin-Hall.
Siguin variables aleatòries independents, amb distribució uniforme en l'interval , amb , i designem per la funció de densitat de la mitjana aleshores
Anàlogament, si designem per la funció de densitat de la suma ,
Tal com mostren el gràfic del principi de la pàgina, a l'augmentar , la distribució de Bates s'assembla cada cop més a una distribució normal. Això es degut a que podem aplicar el teorema central del límit. Concretament, considerem el cas general que hem considerat a l'apartat anterior amb amb distribució uniforme en l'interval [a,b], i Atès que tindrem que on te una distribució normal estàndard . També es diu que és asimptòticament normal amb mitjana i variància :
També, o
Lovatxevski considera el cas i , és a dir, les variables de partida tenen distribució uniforme a l'interval . Llavors la densitat de la seva mitjana ésI la densitat de la suma és [2]
D'acord amb Maistrov [3], Lobatxevski tenia interès en aquesta distribució perquè volia estimar si la suma dels angles d'un gran triangle astronòmic era menor que , amb la qual cosa es tindria una prova que la geometria de l'univers era no euclidiana (hiperbòlica). Vegeu Brylevskaya [4] per als detalls.
- ↑ Feller, William. Introducción a la teoría de probabilidades y sus aplicaciones, Volumen II. Segunda edición. Mèxico: Editorial Limusa, 1978, p. 55.
- ↑ Rényi, A.. Calcul des probabilités. Paris: Dunod, 1966, p. 182.
- ↑ Maĭstrov, L. E.. Probability theory: a historical sketch (en engrus). New York: Academic Press, 1974, p. 167. ISBN 978-0-12-465750-2.
- ↑ Brylevskaya, Larisa I. «Lobachevsky's geometry and research of geometry of the universe». Publications of the Astronomical Observatory of Belgrade No. 85, 2008, pàg. 129-134.