Funció de densitat i parametritzacions[modifica]
Distribució GammaFunció de densitat de probabilitat |
Funció de distribució de probabilitat |
Paràmetres |
- forma
- escala
|
---|
Suport | |
---|
fdp | |
---|
FD | |
---|
Esperança matemàtica | |
---|
Mediana | No té expressió tancada |
---|
Moda | |
---|
Variància | |
---|
Coeficient de simetria | |
---|
Curtosi | |
---|
Entropia | |
---|
FGM | |
---|
FC | |
---|
Informació de Fisher | |
---|
Hi ha dues parametritzacions diferents de la distribució gamma. La primera [1] utilitza un paràmetre d'escala i un paràmetre de forma , i és àmpliament utilitzada tant en Estadística com en Probabilitats; a més, és la més habitual en el programari estadístic [2]. La funció de densitat és
|
on és la funció gamma . Si és una variable aleatòria amb aquesta distribució, s'escriu o .
La segona parametrització utilitza un paràmetre d'escala inversa, que també s'anomena paràmetre de taxa (rate parameter), , , i el paràmetre de forma . Aquesta parametrització també s'utilitza molt, per exemple en teoria de la probabilitat [3] o en Estadística bayesiana [4]. La funció de densitat, amb aquesta parametrització és
En aquest article utilitzarem la primera parametrització.
Funció de distribució[modifica]
on és la funció gamma incompleta inferior.
La distribució gamma té moments de tots els ordres. Si , aleshores per a ,
|
En particular,
d'on
|
Prova
Reduirem la integral que intervé el càlcul dels moments a la funció gamma:
on a la igualtat (*) hem fet el canvi de variables
per retrobar una funció gamma, i a la igualtat (**) hem utilitzat l'equació funcional de la funció gamma
.
Funció generatriu de moments i funció característica[modifica]
La distribució gamma té funció generatriu de moments en una semirecta que conté el zero:
Prova
De nou, utiitzarem aquí la funció gamma:
Si
, fem el canvi
i tenim
La funció característica és [3]
on és la branca principal del logaritme, és a dir, amb la part imaginària a .
Caràcter reproductiu[modifica]
Si i independents, aleshores ; és diu que la distribució és reproductiva [5] respecte el paràmetre . Aquesta propietat es demostra utilitzant les funcions característiques (o les funcions generatrius de moments) de i .
Més generalment, si són independents, , aleshores .
La distribució gamma és infinitament divisible[modifica]
La distribució gamma és infinitament divisible (o infinitament descomposable) [6], això és, sigui , aleshores per a qualsevol enter , existeixen (en algun espai de probabilitat) variables aleatòries independents i idènticament distribuïdes tals que on indica la igualtat en distribució o llei. Aquí cal prendre .
La representació de Lévy-Khintchine [7] de la funció característica és
Per tant, la mesura de Lévy té densitat
i la part gaussiana i la deriva (drift) són zero (vegeu Sato [8] per a les definicions d'aquests termes).
Quan , la funció de densitat de la distribució té un únic màxim al punt ; és diu que aquest valor és la moda de la distribució i que la distribució és unimodal. El valor del màxim és , que per la fórmula de Stirling, per a valors grans de es pot aproximar per [9].
Quan , aleshores la densitat no està afitada, ja que, en aquest cas,
Distribució gamma amb tres paràmetres[modifica]
Johnson et al. introdueixen la distribució gamma amb tres paràmetres: a més dels paràmetres de forma i escala , consideren un paràmetre de posició ; la distribució ve definida per la funció de densitat
Nosaltres hem considerat el cas .
- ↑ Forbes, C; Evans, M.; Hastings, N.; Peacock, B. Statistical distributions.. 4th ed.. Oxford: Wiley-Blackwell, 2010, p. 109. ISBN 978-0-470-62724-2.
- ↑ «The R project for statistical computing». [Consulta: 9 febrer 2023].
- ↑ 3,0 3,1 Sato, Ken-iti. Lévy processes and infinitely divisible distributions. Cambridge, U.K.: Cambridge University Press, 1999, p. 13. ISBN 0-521-55302-4.
- ↑ Bernardo, J. M.; Smith, A. F. M.. Bayesian theory. Chichester, Eng.: Wiley, 1994, p. 118. ISBN 0-471-92416-4.
- ↑ Wilks, S. S.. Mathematical statistics. New York: Wiley, 1962, p. 176. ISBN 0-471-94644-3.
- ↑ Loeve, Michel. Teoría de la probabilidad. Madrid: Tecnos, D.L. 1976, p. 289. ISBN 84-309-0663-0.
- ↑ Sato, Ken-iti. Lévy processes and infinitely divisible distributions. Cambridge, U.K.: Cambridge University Press, 1999, p. 45. ISBN 0-521-55302-4.
- ↑ Sato, Ken-iti. Lévy processes and infinitely divisible distributions. Cambridge, U.K.: Cambridge University Press, 1999, p. 37-39. ISBN 0-521-55302-4.
- ↑ Feller, William. Introducción a ls probabilidades y sus aplicaciones, vol. 2. Mexico: Editorial Limua, 1978, p. 76.