Usuari:Freutci/provaInterval

Interval de confiança per a una proporció.

Exemple.

Segons dades del Centre d'Estudis d'Opinó en una enquesta a 800 persones, entre 12 i 79 anys, a Catalunya realitzada a finals de 2018, 323 persones van dir que utilitzaven la bicicleta amb alguna freqüència (diàriament o esporàdicament). A la mostra, la proporció de gent que utilitza la bicicleta és $${\widehat {p}}={\frac {323}{800}}=0'404,$$

o, equivalentment, un 40'4% de la mostra. Però estem interessats en estimar la proporció en tota la població de Catalunya, no només a la mostra.

Fórmula de l'interval de confiança per una proporció

Considerem una població (en sentit ampli: persones, peces fabricades per una màquina; a l'exemple, <<persones de Catalunya entre 12 i 79 anys>>) en la qual una proporció $p$ (desconeguda) té determinada característica (a l'exemple, <<utilitza la bicicleta amb alguna freqüència>>). Volem estimar $p$, i amb aquest objectiu prenem una mostra de mida $n$, i designem per ${\widehat {p}}$ la proporció obtinguda en la mostra de mida (el lector haurà notat la pràctica estadística habitual de designar un paràmetre de la població per una lletra, i una estimació a partir de la mostra per la mateixa lletra amb un accent circumflex). Suposarem també que la mida de la població és gran (en cas contrari, cal utilitzar altres fórmules que tinguin en compte la mida de la població). Per construir un interval de confiança per a $p$, del Teorema central del límit es dedueix que, si la mida de la mostra $n$ és gran, llavors ${\widehat {p}}$ té una distribució aproximadament normal de mitjana $p$ i variància $p(1-p)/n$; s'escriu $${\widehat {p}}\quad \approx _{n\ {\text{gran}}}\quad {\cal {N}}{\big (}p,p(1-p)/n{\big )}.$$ Exactament igual que en el cas de l'interval de confiança per a la mitjana $m$, es demostra que per un nivell de confiança $\gamma \in (0,1)$ l'interval de confiança per a $p$ és

$${\Bigg [}{\widehat {p}}-z_{\gamma }\,{\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}},\,{\widehat {p}}+z_{\gamma }\,{\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}{\Bigg ]}.\qquad \qquad (5)$$on$$P(-z_{\gamma }\leq Z\leq z_{\gamma })=\gamma ,$$

on $Z$ és una variable aleatòria normal estàndard. Però la fórmula (5) depén de $p$, que és desconeguda, i llavors es substitueix per la seva estimació ${\widehat {p}}$ i s'obté $${\Bigg [}{\widehat {p}}-z_{\gamma }\,{\sqrt {\frac {{\widehat {p}}(1-{\widehat {p}})}{n}}},\,{\widehat {p}}+z_{\gamma }\,{\sqrt {\frac {{\widehat {p}}(1-{\widehat {p}})}{n}}}{\Bigg ]}.\qquad \qquad (6)$$Equivalentment, aquest interval també s'escriu $${\widehat {p}}\pm z_{\gamma }\,{\sqrt {\frac {{\widehat {p}}(1-{\widehat {p}})}{n}}}.$$ Aplicat a l'exemple de la bicicleta, amb un nivell de confiança $\gamma =0'95$, tenim que l'interval és $${\Bigg [}0'404-1'96\,{\sqrt {\frac {0'404(1-0'404)}{800}}},\,0'404-1'96\,{\sqrt {\frac {0'404(1-0'404)}{800}}}{\Bigg ]}=[0'37,\,0'438].$$O, escrit d'una altra manera, $$0,404\pm 0,034.$$ Una altra manera de calcular l'amplada de l'interval ====

Hem passat de la fórmula (5) a la fórmula (6) canviant la quantitat desconeguda $p$ per l'estimació ${\widehat {p}}$. Un mètode diferent per resoldre la dificultat que a (5) intervé una quantitat desconeguda és basa en el fet que$$0\leq p(1-p)\leq 0'25\quad p\in [0,1].$$

Figura 3. Gràfic per calcular la mida de l'interval de confiança

Això es veu gràficament perquè la funció $y=x(1-x)$ és una paràbola invertida amb el vèrtex al punt (0'5, 0'25). Vegeu la Figura 3. Aleshores, l'interval de confiança més llarg possible (el que tindrà menys precisió) serà el corresponent a $p=0'5$, i l'interval de confiança serà $${\Bigg [}{\widehat {p}}-z_{\gamma }\,{\frac {0'5}{\sqrt {n}}},\,{\widehat {p}}+z_{\gamma }\,{\frac {0'5}{\sqrt {n}}}{\Bigg ]}.\qquad \qquad (7)$$O escrit d'una altra manera, $${\widehat {p}}\pm z_{\gamma }\,{\frac {0'5}{\sqrt {n}}}.\qquad \qquad (8)$$Aquest interval és diu que és el més conservador. A l'exemple de la bicicleta, amb $\gamma =0'95$, aquest interval és $[0'369,\,0'439]$. Aquest interval té una longitud 0'07, lleugerament més gran que l'anterior de 0'068. En aquest cas la diferència és petita perquè l'estimació ${\widehat {p}}$ és propera a 0'5.

Una recepta per a la mida de la mostra

A l'Estadística hi ha fórmules per a calcular en molts casos la mida de la mostra necessària a partir d'una confiança i precisió donades. Com a exemple, veurem el cas de la proporció.

Suposem que volem una confiança del 95% i que l'interval tingui una llargada màxima de 0'05, és a dir, que l'error sigui com a màxim d'un 2.5 % en més o menys. D'acord amb la fórmula (5), la llargada de l'interval és $${\text{llargada interval}}=2\cdot 1'96\,{\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}.$$ Atès que volem que la llargada de l'interval sigui 0'05, tenim $$2\cdot 1'96\,{\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}=0.05.$$ Aïllant $n$, $$n=6146'56\,p(1-p).$$ Ara, tal com hem fet a l'apartat anterior, ens posem en el pitjor dels casos, on $p(1-p)=0'25$, d'on $$n=6146'56\cdot 0'25=1536'64,$$ i, per tant, hem de prendre $$n=1537.$$