Usuari:Freutci/semicercle
Distribucó del semicercle de Wigner
La distribució del semicercle de Wigner, o senzillament distribució del semicercle, va ser introduïda pel físic hongarès-americà Eugene Wigner (1902-1995) [1] en relació amb la distribució asimptòtica dels valors propis de certes matrius aleatòries simètriques.
Funció de densitat i moments[modifica]
La funció de densitat de la distribució del semicercle és [2]
Correspon a una distribució beta amb quatre paràmetres amb , i . El gràfic d'aquesta densitat és una semi-el·lipse, vegeu la la Figura 1.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b8/DensitatSemicercle.svg/350px-DensitatSemicercle.svg.png)
Aquesta distribució té moments de tots els ordres. Si designem per el moment d'ordre , tenim que
on és l'-èsim nombre de Catalan. Compareu aquests moments amb els d'una distribució normal estàndard. En particular, si té distribució del semicercle, llavors
Funció generatriu de moments, funció característica i transformada de Stieltjes[modifica]
La distribució del semicercle té funció generatriu de moments en tot , on és la funció de Bessel modificada amb .
La funció característica val
on és la funció de Bessel amb .
on hem aplicat el canvi i després la relació amb la funció modificada de Bessel amb [3]
La funció característica es calcula de manera similar:
ja que la per raons de simetria, i fent el mateix canvi de variables que abans a la integral amb el cosinus, s'obté una integral que es redueix a una expressió en termes de la funció de Bessel amb [4].
Per estudiar les propietats de les matrius aleatòries, s'utlitza la transformada de Stieltjes. La transformada de Stieltjes d'una probabilitat a es defineix [5] peron és el suport de ; en particular, està ben definida en . Si la probabilitat té densitat , aleshores La transformada de Stieltjes determina unívocament una distribució de probabilitat i té molt bones propietats respecte la convergència feble de probabilitats [6].
La distribució del semicercle té transformada de Stieltjes donada perPer a una demostració mitjançant càlcul de residus, vegeu Bai and Silverstein [7] .
La distribució del semicercle i probabilitats lliures[modifica]
La distribució dels semicercle té, en probabilitats lliures (free probability), en molts aspectes un paper anàleg al de la distribució normal. Per exemple, en el teorema central del límit per a variables lliures el límit és una distribució del semicercle [8].
Distribució del semicercle amb paràmetres[modifica]
Diversos autors introdueixen una distribució del semicercle amb un o dos paràmetres. Cal dir que les notacions no són universals. La distribució del semicercle amb paràmetre i ve donada per la densitat [9]
La definició inicial que hem donat a la primera secció correspon als paràmetres i . Designarem aquesta distribució per . Quan , llavors la denotarem per .
Si és una variable aleatòria amb la distribució del semicercle, , aleshores , la qual cosa permet deduir els moments, la funció generatriu de moments, etc. de la distribució .
Estudiem amb més detall la distribució : la seva densitat és
Vegeu a la Figura 2 diverses densitats segons el paràmetre .
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/66/WignerS_distribution_PDF.svg/350px-WignerS_distribution_PDF.svg.png)
Aplicant que si , aleshores , deduïm que el moment d'ordre de és
En particular, si considerem una variable aleatòria llavors,
La funció generatriu de moments és
La funció característica val
El resultat de Wigner[modifica]
Ens limitarem al cas de matrius aleatòries reals; per a resultats més generals, vegeu, per exemple, Anderson et al. [10]. Considerem un espai de probabilitat . Una matriu aleatòria (real) és una matriu
on cada component és una variable aleatòria ordinària.
Considerarem només matrius simètriques i suposarem certes condicions d'independència i sobre els moments de les variables. Concretament, suposarem:
- 1. Les variables de la diagonal són independents i tenen la mateixa distribució (iid), amb variància finita.
- 2. Les variables són independents i tenen la mateixa distribució (iid), amb esperança i variància .
- 3. Les variables del triangle inferior esquerra s'obtenen per simetria respecte de la diagonal: , amb la qual cosa la matriu serà simètrica.
Així, la matriu serà de la forma
Les matrius amb aquestes característiques o similars (depenent dels autors, vegeu les referències citades) s'anomenen matrius de Wigner.
Atès que la matriu és simètrica, els seus valors propis seran tots reals; els designarem per , i degut al caràcter aleatori de la matriu, seran variables aleatòries. Per a (en rigor, és un subconjunt de Borel de ) definim on és el cardinal d'un conjunt . Es tracta d'una probabilitat aleatòria, ja que per a cada realització de l'experiment aleatori, , serà una probabilitat ordinària sobre . L funció s'anomena mesura espectral empírica [11] de la matriu .
|
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dd/TeoremaWigner.svg/350px-TeoremaWigner.svg.png)
Per fer una il·lustració empírica d'aquest teorema, s'han calculat els valors propis d'una matriu amb , amb totes les variables amb distribució normal estàndard . A la Figura 3 hi ha l'histograma dels 1000 valors propis (en blau), on s'ha superposat el gràfic de la funció de densitat de la llei del semicercle (en vermell).
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/31/MatriuIndependents.svg/220px-MatriuIndependents.svg.png)
que les variables aleatòries de la part triangular dreta són independents, vegeu la Figura 3. Per tenir la simetria de la matriu prendrem . Així, la matriu serà de la forma
A més suposarem certes condicions sobre les distribucions de les variables. Concretament, suposarem:
- Les variables de la diagonal són independents i amb la mateixa llei, amb variància finita.
- Les variables són independents i tenen la mateixa llei, amb esperança i variància .
- Les variables del triangle inferior esquerra s'obtenen per simetria respecte de la diagonal: , amb la qual cosa la matriu és simètrica.
- Les variables , són independents.
- Les variables de la diagonal tenen la mateixa llei, amb variància finita.
- Les variables tenen la mateixa llei, amb esperança i variància .
[14]
[15]
[16]
[17]
[18]
[19]
[20]
[21]
[17]
[22]
[23]
[24]
[25]
[26]
Notes[modifica]
- ↑ Wigner, Eugene P. «On the Distribution of the Roots of Certain Symmetric Matrices». Annals of Mathematics, 67, 2, 1958, pàg. 325–327. DOI: 10.2307/1970008. ISSN: 0003-486X.
- ↑ Anderson, Greg W.; Guionnet, Alice; Zeituni, Ofer. An introduction to random matrices. Cambridge: Cambridge University Press, 2010, p. 7. ISBN 978-0-521-19452-5.
- ↑ Olver, F. J., Lozier, D.W., Boisvert R. F. and Clark C. W. (edit). NIST handbook of mathematical functions. Cambridge: Cambridge University Press, 2010, p. 252, fórmula 10.32.1. ISBN 978-0-521-19225-5.
- ↑ Olver, F. J., Lozier, D.W., Boisvert R. F. and Clark C. W. (edit). NIST handbook of mathematical functions. Cambridge: Cambridge University Press, 2010, p. 224, fórmula 10.9.4. ISBN 978-0-521-19225-5.
- ↑ Tao, Terence. Topics in random matrix theory. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2012, p. 143. ISBN 978-0-8218-7430-1.
- ↑ Anderson, Greg W.; Guionnet, Alice; Zeituni, Ofer. An introduction to random matrices. Cambridge: Cambridge University Press, 2010, p. 44-45. ISBN 978-0-521-19452-5.
- ↑ Bai, Zhidong; Silverstein, Jack W.. Spectral analysis of large dimensional random matrices. 2nd ed. New York: Springer, 2010, p. 32. ISBN 978-1-4419-0661-8.
- ↑ Voiculescu, D. V.; Dykema, K.J.; Nica, A. Free random variables : a noncommutative probability approach to free products with applications to random matrices, operator algebras, and harmonic analysis on free groups. Providence, R.I., USA: American Mathematical Society, 1992, p. 17. ISBN 0-8218-6999-X.
- ↑ Hiai, Fumio; Petz, Dénes. The semicircle law, free random variables, and entropy. Providence, RI: American Mathematical Society, 2000, p. 23. ISBN 0-8218-2081-8.
- ↑ Anderson, Greg W.; Guionnet, Alice; Zeituni, Ofer. An introduction to random matrices. Cambridge: Cambridge University Press, 2010, p. 7. ISBN 978-0-521-19452-5.
- ↑ Bai, Zhidong; Silverstein, Jack W. Spectral analysis of large dimensional random matrices. 2nd ed. New York: Springer, 2010, p. 5. ISBN 978-1-4419-0661-8.
- ↑ Bai, Zhidong; Silverstein, Jack W. Spectral analysis of large dimensional random matrices. 2nd ed. New York: Springer, 2010, p. 20. ISBN 978-1-4419-0661-8.
- ↑ Mingo, James A.; Speicher, Roland. Free probability and random matrices, 2017. ISBN 978-1-4939-6942-5.
- ↑ Feller, William. Introducción a la teoria de probabilitades y sus aplicaciones, Vol 2. Segunda edición. México, D.F.: Editorial Limusa, 1978, p. 267.
- ↑ Wigner, 1955.
- ↑ Wigner, 1958.
- ↑ 17,0 17,1 Anderson, Guionnet i Zeituni, 2010, p. 7.
- ↑ Tao, 2012, p. 143.
- ↑ Anderson, Guionnet i Zeituni, 2010, p. 44-45.
- ↑ Bai i Silverstein, 2010, p. 32.
- ↑ Hiai i Petz, 2000, p. 23.
- ↑ Bai i Silverstein, 2010, p. 5.
- ↑ Bai i Silverstein, 2010, p. 20.
- ↑ Voicolescu, Dykema i Nica, 1992, p. 17.
- ↑ Mingo i Speicher, 2017, p. 34.
- ↑ Mingo i Speicher, 2017, p. 44.
<ref>
amb el nom "FOOTNOTEFeller1978267" definida a <references>
no s'utilitza en el text anterior.Bibliografia[modifica]
- Anderson, Greg W.; Guionnet, Alice; Zeituni, Ofer. An introduction to random matrices. Cambridge: Cambridge University Press, 2010. ISBN 978-0-521-19452-5.
- Bai, Zhidong; Silverstein, Jack W.. Spectral analysis of large dimensional random matrices. 2nd ed. New York: Springer, 2010. ISBN 978-1-4419-0661-8.
- Hiai, Fumio; Petz, Dénes. The semicircle law, free random variables, and entropy. Providence, RI: American Mathematical Society, 2000. ISBN 0-8218-2081-8.
- Mingo, James A.; Speicher, Roland. Free probability and random matrices, 2017. ISBN 978-1-4939-6942-5.
- Tao, Terence. Topics in random matrix theory. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2012. ISBN 978-0-8218-7430-1.
- Voiculescu, D. V.; Dykema, K.J.; Nica, A. Free random variables : a noncommutative probability approach to free products with applications to random matrices, operator algebras, and harmonic analysis on free groups. Providence, R.I., USA: American Mathematical Society, 1992. ISBN 0-8218-6999-X.
- Wigner, Eugene P. «Characteristic Vectors of Bordered Matrices With Infinite Dimensions». The Annals of Mathematics, 62, 3, 1955, pàg. 548-564. DOI: 10.2307/1970079.
- Wigner, Eugene P. «On the Distribution of the Roots of Certain Symmetric Matrices». Annals of Mathematics, 67, 2, 1958, pàg. 325–327. DOI: 10.2307/1970008. ISSN: 0003-486X.