Usuari:Jordiventura96/proves/Espai de Sóbolev

En anàlisi matemàtica, els espais de Sóbolev són espais funcionals particularment adaptats a la resolució dels problemes d'equacions en derivades parcials. Deuen el seu nom al matemàtic soviètic Sergei Sóbolev.

Més precisament, un espai de Sóbolev és un espai vectorial de funcions proveït de la norma obtinguda per la combinació de la norma L^p de la mateixa funció i de les seves derivades fins a un cert ordre. Les derivades són enteses en el seu sentit feble per tal de fer l'espai complet. Els espais de Sóbolev són, doncs, espais de Banach.

De forma intuïtiva, un espai de Sóbolev és un espai de Banach de funcions que poden ser derivades un nombre suficient de vegades, per donar sentit per exemple a una equació de derivades parcials i que disposa d'una norma que mesura, alhora, la mide i la regularitat de la funció.

Els espais de Sóbolev són un instrument essencial en l'estudi d'equacions en derivades parcials. De fet, les solucions d'aquestes equacions pertanyen més naturalment a un espai de Sóbolev que a un espai de funcions contínues parcialment derivables en el sentit clàssic.

Introducció

Existeixen diversos criteris per avaluar la regularitat d'una funció. El criteri més elemental és el de la continuïtat. Una noció més forta de regularitat és la diferenciabilitat. De fet, les funcions diferencials són igualment contínues. Finalment, un criteri encara més fort de regularitat és la continuïtat de les derivades parcials (tals funcions són anomenades de Classe ¹). Les funcions diferenciables són importants en molts contextos, en particular per en les equacions diferencials (en el cas que depenguin d'una sola variable) o en les equacions en derivades parcials (en el cas de càlcul multi-variable). Tanmateix, en el decurs del segle xx, els matemàtics es van adonar que l'espai C¹ (C² en el cas de continuïtat de la segona derivada, etc) no era el marc adequat per estudiar les solucions de les equacions en derivades parcials. Els espais de Sóbolev es presenta com l'eina moderna que proporciona el marc adequat per a la recerca de solucions a equacions en derivades parcials.

Definició dels espais de Sóbolev

Definicions

Sigui Ω un conjunt obert qualsevol de $\mathbb {R} ^{n}$, $p\in [1,+\infty ]$ i $m$ un nombre natural. Es defineix l'expai de Sóbolev $W^{m,p}(\Omega )$ com

$W^{m,p}(\Omega )=\{u\in \mathrm {L} ^{p}(\Omega )~|~\forall \alpha {\text{ tal que }}|\alpha |\leq m,~D^{\alpha }u\in \mathrm {L} ^{p}(\Omega )\}$

on $\alpha$ és un multi-índex, $D^{\alpha }u$ és una derivada parcial de $u$ en el sentit feble (en el sentit de les distribucions) i $L^{p}$ designa un espai de Lebesgue.

Es proporciona aquest espai vectorial $W^{m,p}$ de la norma següent:

$\|u\|_{W^{m,p}}={\begin{cases}\left(\sum \limits _{|\alpha |\leq m}\|D^{\alpha }u\|_{\mathrm {L} ^{p}}^{p}\right)^{1/p}&{\text{si }}1\leq p<+\infty ,\\\max \limits _{|\alpha |\leq m}\|D^{\alpha }u\|_{\mathrm {L} ^{\infty }}&{\text{si }}p=+\infty ,\end{cases}}$

on $\|\,\|_{L^{p}}$ és la norma dels espais de Lebesgue.

Definició equivalent si p és finit

En el cas en què $p$ és un nombre real, el teorema de Meyers-Serrin dóna una definició equivalent, per completesa de l'espai vectorial normat

$\{u\in C^{\infty }(\Omega )~|~\|u\|_{H^{m,p}}<\infty \}$

amb

$\|u\|_{H^{m,p}}:=\left(\sum _{|\alpha |\leq m}\|D^{\alpha }u\|_{\mathrm {L} ^{p}}^{p}\right)^{1/p}$

on $D^{\alpha }u$ és una derivada parcial de $u$ em eñ sentit clàssic ($u\in C^{\infty }(\Omega )$).

Es té el mateix resultat que substituint $C^{\infty }$ per $C^{m}(\Omega )$.

Propietetats elementals

• Muni de cette norme, WPlantilla:Exp(Ω) est un espace de Banach.

Plantilla:Démonstration/début Soit (uPlantilla:Ind) une suite de Cauchy dans WPlantilla:Exp(Ω). Pour chaque α tel que |α| ≤ m, la suite (DPlantilla:ExpuPlantilla:Ind) est alors de Cauchy dans LPlantilla:Exp(Ω) donc possède une limite vPlantilla:Ind dans LPlantilla:Exp(Ω). D'après l'inégalité de Hölder, DPlantilla:ExpuPlantilla:Ind tend alors aussi vers vPlantilla:Ind au sens des distributions — plus précisément : au sens de la convergence simple sur l'espace des fonctions tests — si bien que vPlantilla:Ind = DPlantilla:ExpvPlantilla:Ind (pour chaque α), ce qui prouve que uPlantilla:Ind → vPlantilla:Ind dans WPlantilla:Exp(Ω). Plantilla:Démonstration/fin

• Dans le cas où p est fini, c'est aussi un espace séparable.
• On montre aisément que l'application$u\mapsto \sum \limits _{|\alpha |\leq m}\|D^{\alpha }u\|_{\mathrm {L} ^{p}}$est une norme équivalente à la précédente (que p soit fini ou pas). Ces normes sont notées indifféremment ║ ║Plantilla:Ind ou ║ ║Plantilla:Ind.

Cas p = 2

Dans le cas p = 2, les espaces de Sobolev ont un intérêt particulier car il s'agit alors d'espaces de Hilbert. Leur norme est induite par le produit intérieur suivant :

$\left(u,v\right)_{m}=\sum \limits _{0\leq |\alpha |\leq m}\left(D^{\alpha }u,D^{\alpha }v\right),$

oùPlantilla:Retrait est le produit intérieur dans L

(Ω), produit scalaire dans le cas réel, hermitien dans le cas complexe. Dans ce cas, pour désigner l'espace de Sobolev, on utilise une notation spéciale :

$H^{m}(\Omega )=W^{m,2}(\Omega ).$

De plus, dans le cas où la transformation de Fourier peut être définie dans L

(Ω), l'espace HPlantilla:Exp(Ω) peut être défini de façon naturelle à partir de la transformée de Fourier.

• Par exemple si Ω = ℝPlantilla:Exp, grâce à l'identité de Parseval, on vérifie aisément que si $\scriptstyle {\widehat {u}}$ est la transformée de Fourier de u :$H^{m}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)=\left\lbrace u\in \mathrm {L} ^{2}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)~\left|~\int _{\mathbb {R} ^{n}}|{\hat {u}}(\xi )|\xi |^{\alpha }|^{2}\mathrm {d} \xi \;<\infty {\text{ pour }}|\alpha |\leq m\right.\right\rbrace$ou ce qui est équivalent :$H^{m}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)=\left\lbrace u\in \mathrm {L} ^{2}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)~\left|~\int _{\mathbb {R} ^{n}}|{\hat {u}}(\xi )|^{2}\left(1+|\xi |^{2}\right)^{m}\mathrm {d} \xi \;<\infty \right.\right\rbrace$et que$\left(u,v\right)_{m}:=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {u}}\left(\xi \right){\overline {{\hat {v}}(\xi )}}\left(1+|\xi |^{2}\right)^{m}\mathrm {d} \xi$est un produit hermitien équivalent à celui défini plus haut.
• Ou encore si Ω = ]0, 1[, on vérifie que :$H^{m}(\left]0,1\right[)=\left\{u\in \mathrm {L} ^{2}(]0,1[)~\left|~\sum _{n\in \mathbb {Z} }(1+n^{2})^{m}|{\widehat {u}}_{n}|^{2}<\infty \right.\right\}$où $\scriptstyle {\widehat {u}}_{n}$ est la série de Fourier de u.
  Là encore, le résultat se déduit aisément de l'identité de Parseval et du fait que la dérivation revient à multiplier le coefficient de Fourier par in.
  On voit qu'une fonction de HPlantilla:Exp(Ω) est caractérisée par une décroissance suffisamment rapide de ses coefficients de Fourier.

Espais de Sóbolev d'ordre fraccionari

L'habitude est prise, pour plus de clarté, de différencier la notation de l'ordre d'un espace de Sobolev selon qu'il est entier ou non. Alors que dans le cas entier on note souvent l'ordre avec la lettre m, dans le cas non entier, on utilisera la lettre s et donc les espaces seront notés WPlantilla:Exp ou, pour p = 2, HPlantilla:Exp.

Definició a través del mètode d'interpolació complexa

Plantilla:Voir Une première approche pour définir les espaces de Sobolev d'ordre fractionnaire consiste à utiliser la méthode d'interpolation complexe. (Ci-dessous une autre méthode, dite d'interpolation réelle sera utilisée pour la caractérisation des traces des espaces de Sobolev.)

L'interpolation complexe est une technique générale qui permet, à partir de deux espaces de Banach, d'en construire un troisième par interpolation. Plus précisément, soient deux espaces de Banach X et Y qui sont tous les deux inclus par injection continue dans un autre espace de Banach, alors, pour tout t tel que 0 ≤ t ≤ 1, on peut construire un espace interpolé noté : [X,Y]Plantilla:Ind. (Les espaces X et Y forment la « paire d'interpolation ».)

Plantilla:Énoncé Nous devons vérifier que cette définition est cohérente, ce qui est assuré par le résultat suivant :

On a ainsi construit de façon cohérente un continuum d'espaces entre les WPlantilla:Exp. En fait, on utilise cette méthode pour définir les espaces WPlantilla:Exp(ℝPlantilla:Exp). Pour un domaine quelconque suffisamment régulier, on procède ensuite à partir de WPlantilla:Exp(ℝPlantilla:Exp) grâce à des opérateurs de prolongement.

Definició per l'ordre de derivació fraccionària

• On s'intéresse d'abord ici au cas où p = 2 et Ω = ℝPlantilla:Exp.

Dans ce cas, l'espace de Sobolev HPlantilla:Exp(ℝPlantilla:Exp), s ≥ 0, peut être défini grâce à la transformée de Fourier :

$H^{s}(\mathbb {R} ^{n})=\left\{u\in \mathrm {L} ^{2}(\mathbb {R} ^{n})\left|\int _{\mathbb {R} ^{n}}(1+|\xi |^{2})^{s}|{\hat {u}}(\xi )|^{2}\,\mathrm {d} \xi <+\infty \right.\right\}.$

HPlantilla:Exp(ℝPlantilla:Exp) est un espace de Hilbert muni de la norme :

$\|u\|_{H^{s}}^{2}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}(1+|\xi |^{2})^{s}|{\hat {u}}(\xi )|^{2}\,\mathrm {d} \xi .$

On montre que l'espace obtenu est le même que par la méthode d'interpolation. Cette définition peut être utilisée pour tout domaine sur lequel la transformée de Fourier peut être définie. Pour un domaine quelconque suffisamment régulier, on procède ensuite à partir de HPlantilla:Exp(ℝPlantilla:Exp) grâce à des opérateurs de prolongement.

• Cas où p = 2 et Ω ⊂ ℝPlantilla:Exp quelconque.

On peut alors caractériser les espaces de Sobolev d'ordre fractionnaire HPlantilla:Exp(Ω) grâce au produit intérieur donné par : $(u,v)_{H^{s}(\Omega )}=(u,v)_{H^{k}((\Omega )}+\sum _{|\alpha |=k}\int _{\Omega }\int _{\Omega }{\frac {(D^{\alpha }u(x)-D^{\alpha }u(y))(D^{\alpha }v(x)-D^{\alpha }v(y))}{|x-y|^{n+2T}}}\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y,$

où s = k + T, k est un entier tel que 0 < T < 1 et n est la dimension du domaine $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$. La norme induite est essentiellement l'analogue pour L² de la continuité au sens de Hölder. Ici encore cette définition est équivalente aux définitions précédentes.

• Cas où p est différent de 2 et Ω = ]0, 1[.

Dans ce cas, l'égalité de Parseval ne tient plus, mais la dérivation correspond à une multiplication de la transformée de Fourier et peut être généralisée à des ordres non entiers. Dans ce but, on définit un opérateur DPlantilla:Exp de dérivation d'ordre fractionnaire s par :

$D^{s}u=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(\mathrm {i} n)^{s}{\widehat {u}}(n)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} nt}.$

En d'autres termes, il s'agit de prendre la transformée de Fourier, de la multiplier par (in)Plantilla:Exp et de prendre la transformée de Fourier inverse (les opérateurs définis par la séquence : transformation de Fourier – multiplication – transformation inverse de Fourier sont appelés des et sont actuellement un sujet de recherches en eux-mêmes). Cet opérateur nous permet alors de définir la norme de Sobolev de HPlantilla:Exp(]0, 1[) par :

$\|u\|_{s,p}=\|u\|_{p}+\|D^{s}u\|_{p}$

et de définir l'espace de Sobolev HPlantilla:Exp(]0, 1[) comme l'espace des fonctions pour lesquelles cette norme est finie.

Traces et opérateurs de prolongement

Cette notion de trace n'a aucun lien avec la notion de trace d'une matrice. Plantilla:Article connexe

Définition de la trace d'une fonction d'un espace de Sobolev

• Cas des espaces HPlantilla:Exp
  Soit s > 1/2. Si Ω est un ouvert dont la frontière ∂Ω est suffisamment régulière, alors on peut définir un opérateur de trace T qui à une fonction u de HPlantilla:Exp(Ω) associe sa trace, sa restriction sur la frontière de Ω : $Tu=u|_{\partial \Omega }.$

Une hypothèse simple qui satisfasse la condition de régularité est que ∂Ω soit uniformément CPlantilla:Exp pour m ≥ s. Ainsi défini, cet opérateur de trace T a pour domaine de définition HPlantilla:Exp(Ω) et son image est précisément HPlantilla:Exp(∂Ω). En fait, T est d'abord défini pour les fonctions indéfiniment dérivables et cette définition est ensuite étendue par continuité à tout l'ensemble HPlantilla:Exp(Ω). De façon informelle, on peut dire que l'on perd en régularité « une demi-dérivée » en prenant la trace d'une fonction de HPlantilla:Exp(Ω).

• Cas des espaces WPlantilla:Exp, pour p différent de 2
  Définir la trace d'une fonction de WPlantilla:Exp est un travail considérablement plus difficile et demande d'utiliser la technique d'interpolation réelle. Les espaces images obtenus sont des espaces de Besov.

De façon informelle, on peut dire que l'on perd en régularité 1/p^ème de dérivée en prenant la trace d'une fonction de WPlantilla:Exp(Ω).

Opérateur de prolongement

Soit Ω un ouvert de ℝPlantilla:Exp suffisamment régulier (par exemple Ω est borné et sa frontière est localement Lipschitz), alors il existe un opérateur de prolongement P qui applique les fonctions définies sur Ω en fonctions définies sur ℝPlantilla:Exp de telle sorte que :

1. Pu(x) = u(x) pour presque tout x de Ω et
2. P est un opérateur continu de WPlantilla:Exp(Ω) dans WPlantilla:Exp(ℝPlantilla:Exp), pour tout p ∈ [1, ∞] et tout entier m.

P est appelé opérateur de prolongement de Ω. Comme nous l'avons vu ci-dessus, les opérateurs de prolongement sont utiles pour définir les espaces WPlantilla:Exp(Ω) et HPlantilla:Exp(Ω). En effet, une fois WPlantilla:Exp(ℝPlantilla:Exp) et HPlantilla:Exp(ℝPlantilla:Exp) définis, on pose alors Plantilla:Retrait et Plantilla:Retrait

Fonctions nulles sur la frontière et extension par zéro

Soit Ω un ouvert de ℝPlantilla:Exp et soit CPlantilla:ExpInd(Ω) l'espace des [[Fonction C∞ à support compact|fonctions CPlantilla:Exp à support compact]] dans Ω.

Dans le cas particulier Ω = ℝPlantilla:Exp, ce sous-espace de WPlantilla:Exp(Ω) est dense pour tout p ∈ [1, +∞[.

On note WPlantilla:ExpInd(Ω) (respectivement HPlantilla:ExpInd(Ω)) l'adhérence de CPlantilla:ExpInd(Ω) pour la norme de WPlantilla:Exp(Ω) (respectivement, celle de HPlantilla:Exp(Ω)).

Plantilla:Théorème Quand Ω a une frontière régulière, HPlantilla:ExpInd(Ω) peut donc être décrit comme l'espace des fonctions de HPlantilla:1(Ω) qui s'annulent au sens des traces. En dimension 1 (n = 1), si Ω = ]a, b[ est un intervalle borné, alors HPlantilla:ExpInd(]a, b[) est l'ensemble des fonctions u continues sur [a, b] de la forme : $u(x)=\int _{a}^{x}u'(t)\,\mathrm {d} t,\quad x\in [a,b]$ dont la dérivée généralisée u' appartient à L

(]a, b[) et a une intégrale nulle de telle sorte que u(a) = u(b) = 0.

Si Ω  est borné, l'inégalité de Poincaré dit qu'il existe une constante C = C(Ω) telle que $\int _{\Omega }|u|^{2}\leq C^{2}\,\int _{\Omega }|\nabla u|^{2},\quad u\in H_{0}^{1}(\Omega ).$

Lorsque Ω est borné, l'injection de HPlantilla:ExpInd(Ω) dans L

(Ω) est compacte, ce qui joue un rôle dans l'étude du problème de Dirichlet, et dans le fait qu'il existe une base orthonormée de L

(Ω) formée de vecteurs propres de l'opérateur de Laplace (avec des conditions aux limites de Dirichlet).

Si $u\in H_{0}^{s}(\Omega )$, de façon naturelle, on peut définir son extension par zéro en dehors de Ω, notée ${\tilde {u}}\in \mathrm {L} ^{2}(\mathbb {R} ^{n})$, de la façon suivante : ${\tilde {u}}(x)=u(x)$ si $x\in \Omega$, et 0 sinon.

Espaces de Sobolev sur les variétés

Soient p ∈ [1, +∞[ et m un entier naturel. Considérons une variété riemannienne (M, g) et notons ∇ la connexion de Levi-Cevita.

Définition

Notons CPlantilla:Exp(M) l'espace des fonctions u : M → ℝ de classe CPlantilla:Exp telles que ∇Plantilla:Expu ∈ LPlantilla:Exp(M) pour 0 ≤ k ≤ m. L'espace de Sobolev WPlantilla:Exp(M) est la complétion de CPlantilla:Exp(M) pour la norme :

$\|u\|_{m,p}=\sum _{k=0}^{m}\|\nabla ^{k}u\|_{p}.$

Cette définition est cohérente avec celle donnée par le théorème de Meyers-Serrin. En effet, un ouvert Ω de ℝPlantilla:Exp est muni de la métrique riemannienne induite par la structure euclidienne naturelle de ℝPlantilla:Exp.

Théorèmes de densité

• Pour une variété riemannienne complète, les fonctions CPlantilla:Exp à support compact sont denses dans WPlantilla:Exp(M).
• Pour une variété riemannienne complète de rayon d'injectivité strictement positif et de courbure sectionnelle bornée, les fonctions CPlantilla:Exp à support compact sont denses dans WPlantilla:Exp(M) pour m ≥ 2.

Théorème de plongement de Sobolev

Soient s un réel positif, et p et q des réels réel tels que 1 ≤ p, q ≤ ∞. Nous noterons WPlantilla:Exp l'espace de Sobolev d'ordre s d'une variété riemannienne compacte de dimension n.

Le théorème de plongement de Sobolev dit que si s ≥ m et s – ⁿ⁄_p ≥ m – ⁿ⁄_q alors WPlantilla:Exp est inclus dans WPlantilla:Exp et l'injection est continue. De plus si s > m et s – ⁿ⁄_p > m – ⁿ⁄_q alors l'injection est compacte (ce deuxième point est parfois appelé le théorème de Rellich-Kondrachov).

Les fonctions de $W^{m,\infty }$ ont toutes leur dérivées d'ordre inférieur à m, continues, et donc le théorème de plongement de Sobolev donne, en outre, une condition pour que certaines dérivées soient continues. De façon informelle, ces injections disent que pour convertir une estimation L^p en une estimation L^∞ (ce qui signifie que la fonction est bornée) coûte 1/p^ème de dérivée par dimension.

Pour s > n/p et Ω compact, l'espace WPlantilla:Exp(Ω) ne contiendra que des fonctions continues. L'influence de la dimension peut être facilement vérifiée par exemple en utilisant les coordonnées sphériques avec la fonction définie sur la boule unité de dimension n, notée $B^{n}$, par $\scriptstyle u(x)=1/|x|^{\alpha }$. On vérifie aisément que u appartient à $W^{s,p}(B^{n})$ si et seulement si α < ⁿ⁄_p – s. De façon intuitive, plus la dimension est grande, moins l'explosion de u en 0 est sensible.

Des variantes de ce théorème de plongement existent pour des variétés non compactes comme ℝPlantilla:Exp.

Exemples d'espaces de Sobolev

WPlantilla:Exp

L'espace de Sobolev WPlantilla:Exp est par définition identique à l'espace de Hölder C^n,α où s = n + α et 0 < α ≤ 1. WPlantilla:Exp(I) est l'espace des fonctions lipschitziennes sur I, pour tout intervalle I de ℝ. Tous les espaces WPlantilla:Exp sont des algèbres normées, c'est-à-dire que le produit de deux éléments est aussi une fonction de même espace de Sobolev (ce n'est bien sûr pas le cas si p < ∞).

WPlantilla:Exp(SPlantilla:1)

Nous sommes ici dans le cas d'une variété de dimension 1, le cercle unité, noté SPlantilla:1. Dans ce cas, l'espace de Sobolev WPlantilla:Exp est défini comme étant le sous-ensemble des fonctions u de L^p telles que u et ses dérivées au sens faible jusqu'à un ordre k ont une norme L^p, pour p donné, p ≥ 1. Comme nous sommes en dimension 1, cela revient à dire que les k – 1 premières dérivées de la fonction u, notées uPlantilla:Exp, sont dérivables presque partout et sont égales à l'intégrale au sens de Lebesgue de leur dérivée. Cet espace de Sobolev admet une norme naturelle : Plantilla:Retrait L'espace WPlantilla:Exp(SPlantilla:1), équipé de cette norme $\|\cdot \|_{k,p}$, est un espace de Banach. De fait, il suffit de prendre en compte le premier et le dernier terme de la somme, ce qui veut dire que la norme : $\|u^{(k)}\|_{p}+\|u\|_{p}$ est équivalente à la norme ci-dessus.

WPlantilla:Exp(Ω)

• Cas de la dimension 1
  WPlantilla:Exp(]0, 1[) est l'espace des fonctions absolument continues sur l'intervalle ]0, 1[.
• Cas de la dimension n
  En dimension supérieure à 1, il n'est plus vrai que W^1,1 contient seulement des fonctions continues. Par exemple, ${\frac {1}{|x|}}\in W^{1,1}(B^{3})$ où B³ est la boule unité de ℝPlantilla:3.

Voir aussi

Bibliographie

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• (anglès) L. C. Evans, Partial Differential Equations, AMS, 1998
• Plantilla:EncycloMath
• Plantilla:EncycloMath
• Jean-Michel Kantor, « Mathématiques d’Est en Ouest – Théorie et pratique : l’exemple des distributions », dans Gazette de la SMF, n° 100, Plantilla:Date-, p. 33-43
• (anglès) S. L. Sobolev, « On a theorem of functional analysis », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 2, n° 34, 1963, p. 39–68 – Mat. Sb., vol. 4, 1938, p. 471-497
• AMS. [[[:Plantilla:Google Livres]] Some Applications of Functional Analysis in Mathematical Physics] (en anglès), 1963. 
• (anglès) E. Stein, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, PUP, 1970 ISBN 0-691-08079-8, Plantilla:Google Livres
• (anglès) Luc Tartar, An Introduction to Sobolev Spaces and Interpolation, Springer, 2007 ISBN 978-3-540-71482-8 doi:10.1007/978-3-540-71483-5, Plantilla:Google Livres

Articles connexes

• Espace d'interpolation
• Formulation faible
• Inégalité d'interpolation de Gagliardo-Nirenberg

Lien externe

Jérôme Droniou. «Quelques résultats sur les espaces de Sobolev».