Usuari:Jordiventura96/proves:Base ortogonal

En matemàtiques, i en particular en àlgebra lineal, una base ortogonal d'un espai prehilbertià V és una base de V els vectors del qual són ortogonals. Si es normalitzen els vectors d'una base ortogonal, la base resultant és una base ortonormal.

Com a coordenades

Qualsevol base ortogonal pot ser usada per definir un sistema de coordenades ortogonals V. Les bases ortogonals (no necessàriament ortonormals) són importants atesa la seva apirició de coordenades ortogonals curvilínies en espais euclidians, així com en varietats riemannianes i pseudoriemannianes.

En anàlisi funcional

En anàlisi functional, una base ortogonal és qualsevol base obtinguda a partir d'una base ortonormal (o base de Hilbert) utilitzant la multiplicació per escalars diferents a zero.

Extensions

El concepte d'una base ortogonal (però no el d'una ortonormal) és aplicable a un espai vectorial V (en qualsevol cos) proveït d'una forma bilineal simètrica Plantilla:Langle·,·Plantilla:Rangle, on l'ortogonalitat de dos vectors v i w significa que Plantilla:Langlev, wPlantilla:Rangle = 0. Per una base ortogonal {e_k} :

$\langle \mathbf {e} _{j},\mathbf {e} _{k}\rangle =\left\{{\begin{array}{ll}q(\mathbf {e} _{k})&j=k\\0&j\neq k\end{array}}\right.\quad ,$

on q és una forma quadràtica associada a Plantilla:Langle·,·Plantilla:Rangle: q(v) = Plantilla:Langlev, vPlantilla:Rangle (en un espai prehilbertià q(v) = | v |²).

Així doncs, per una base ortogonal {e_k},

$\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\sum \limits _{k}q(\mathbf {e} _{k})v^{k}w^{k}\ ,$

on v^k i w^k són components de v i w en la base.

Referències

• Plantilla:Lang Algebra
• Milnor, J.; Husemoller, D. Symmetric Bilinear Forms. 73. Springer-Verlag, 1973, p. 6 (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete). ISBN 3-540-06009-X. 

Enllaços externs

• Weisstein, Eric W., «Orthogonal Basis» a MathWorld (en anglès).

Categoria:Àlgebra lineal