Usuari:Martilhuma/proves

En matemàtiques, donat un nombre real x s'anomena valor absolut de x i es denota per |x| a la distància d'aquest nombre a l'origen de coordenades. En altres paraules, és el mateix nombre prescindint del signe algebraic (+ o -). Atès que es defineix com a una distància el seu valor sempre és estrictament positiu llevat del zero, que té valor absolut zero.

El valor absolut està relacionat amb les nocions de magnitud, distància i norma. Hom pot trobar generalitzacions del concepte de valor absolut en nombrosos objectes matemàtics, com per exemple els nombres complexos, en els quaternions o en espais vectorials. Així, en espais vectorials el concepte anàleg al valor absolut és el mòdul o norma: el "mòdul d'un vector" és la longitud del vector o distància entre el seu origen i el seu extrem.

Definició i propietats

Per a tot nombre real $a$, el seu valor absolut es representa per $|a|$ (el nombre entre dues barres verticals) i es defineix com

$|a|=\left\{{\begin{array}{rl}a,&{\text{if }}a\geq 0\\-a,&{\text{if }}a<0.\end{array}}\right.$

El valor absolut no és mai negatiu, car $a<0$implica $-a>0$.

Des d'un punt de vista geomètric, el valor absolut d'un nombre n'indica la distància a l'origen. Més en general, el valor absolut de la diferència entre dos nombres reals és la distància entre ells. Així, la noció matemàtica de distància es pot entendre com una generalització del valor absolut.

Com que l'arrel quadrada d'un nombre denota l'única quantitat positiva que al multiplicar-se per si mateixa dóna el nombre indicat, trobem que

$|x|=+{\sqrt {x^{2}}}$

és una definició equivalent del valor absolut.

El valor absolut té quatre propietats fonamentals:

$|a|\geq 0$	No negatiu
$|a|=0\iff a=0$	Definit positiu
$|a\cdot b|=|a|\cdot |b|$	Multiplicatiu
$|a+b|\leq |a|+|b|$	Subadditiu

El fet que el valor absolut és no-negatiu, definit positiu i multiplicatiu se segueix de la definició. La subadditivitat, o desigualtat triangular, es dedueix ràpidament com segueix. Escollim $\varepsilon$ de $\{-1,1\}$ de manera que $\varepsilon (a+b)\geq 0$. Com que $\varepsilon x\leq |x|$ per a qualsevol $x$ sigui quin sigui el valor de $\varepsilon$ escollit, la subadditivitat és una conseqüència de la propietat distributiva de la suma i el producte: $|a+b|=\varepsilon (a+b)=\varepsilon a+\varepsilon b\leq |a|+|b|$.

Tot seguit llistem altres propietats útils del valor absolut. Són conseqüències immediates de les descrites anteriorment.

${\big |}\,|a|\,{\big |}=|a|$	Idempotent
$|-a|=|a|$	Funció parella (gràfica simètrica respecte l'eix de les ordenades)
$|a-b|=0\iff a=b$	Identitat dels indiscernibles
$|a-b|\leq |a-c|+|c-b|$	Desigualtat triangular
$\left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}\$ (si $b\neq 0$)	Preserva la divisió
$|a-b|\geq {\big |}\,|a|-|b|\,{\big |}$	Desigualtat triangular inversa

També són útils les següents implicacions sobre desigualtats:

$|a|\leq b\iff -b\leq a\leq b$

$|a|\geq b\iff a\leq -b\$ or $a\geq b$

Aquestes relacions poden ser usades per resoldre inequacions amb valors absoluts. Per exemple, la inequació $|x-3|\leq 9$ és equivalent a $-9\leq x-3\leq 9$i, per tant, a $-6\leq x\leq 12$.

Funció valor absolut

The graph of the absolute value function for real numbers

Composition of absolute value with a cubic function in different orders

La funció valor absolut és contínua a tota la recta real, i és diferenciable arreu llevat de l'origen. És monòtona decreixent a l'interval $(-\infty ,0]$i monòtona creixent a l'interval $[0,\infty )$. Com que un nombre real i el seu oposat tenen el mateix valor absolut, la funció és parella i, per tant, no és invertible. Es tracta d'una funció linial a trossos i convexa. Es tracta a més d'una funció idempotent.

Relació amb la funció signe

La funció valor absolut d'un nombre real retorna el seu valor sense signe, mentre que la funció signe (denotada per $\operatorname {sgn}$) retorna el seu signe sense considerar el seu valor absolut. La següent identitat revela la relació enre ambdues funcions:

$|x|=x\operatorname {sgn}(x),$

o

$|x|\operatorname {sgn}(x)=x,$

i per x ≠ 0,

$\operatorname {sgn}(x)={\frac {|x|}{x}}={\frac {x}{|x|}}.$

Derivada

La funció valor absolut de variable real té derivada per a tot x ≠ 0, però no és diferenciable a x = 0. La seva derivada per x ≠ 0 ve donada per la funció esglaonada:

${\frac {d|x|}{dx}}={\frac {x}{|x|}}={\begin{cases}-1&x<0\\1&x>0,\end{cases}}$

que coincideix precisament amb la funció signe.

La segona derivada del valor absolut és zero arreu llevat de l'origen. En el sentit de les distribucions, la segona derivada és la dues vegades la delta de Dirac.

Primitiva

La primitiva (integral indefinida) de la funció valor absolut és

$\int |x|dx={\frac {x|x|}{2}}+C,$

on $C$és una constant arbitrària d'integració.

Nombres complexos

The absolute value of a complex number $z$ is the distance $r$ of $z$ from the origin. It is also seen in the picture that $z$ and its complex conjugate ${\bar {z}}$ have the same absolute value.

Since the complex numbers are not ordered, the definition given at the top for the real absolute value cannot be directly applied to complex numbers. However the geometric interpretation of the absolute value of a real number as its distance from 0 can be generalised. The absolute value of a complex number is defined by the Euclidean distance of its corresponding point in the complex plane from the origin. This can be computed using the Pythagorean theorem: for any complex number

$z=x+iy,$

where x and y are real numbers, the absolute value or modulus of z is denoted |z| and is defined by

$|z|={\sqrt {[\mathrm {Re} (z)]^{2}+[\mathrm {Im} (z)]^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},$

where Re(z) = x and Im(z) = y denote the real and imaginary parts of z, respectively. When the imaginary part y is zero, this coincides with the definition of the absolute value of the real number x.

When a complex number z is expressed in its polar form as

$z=re^{i\theta },$

with $r={\sqrt {[\mathrm {Re} (z)]^{2}+[\mathrm {Im} (z)]^{2}}}\geq 0$ (and θ ∈ arg(z) is the argument (or phase) of z), its absolute value is

$|z|=r$.

Since the product of any complex number z and its complex conjugate ${\bar {z}}=x-iy,$ with the same absolute value, is always the non-negative real number $(x^{2}+y^{2})$, the absolute value of a complex number can be conveniently expressed as

$|z|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}},$

resembling the alternative definition for reals: $|x|={\sqrt {x\cdot x}}.$

The complex absolute value shares the four fundamental properties given above for the real absolute value.

In the context of abstract algebra, since the positive real numbers form a subgroup of the complex numbers under multiplication, the multiplicative property implies that we may think of absolute value as an endomorphism of the multiplicative group of the complex numbers.

Importantly, the property of subadditivity ("triangle inequality") extends to any finite collection of n complex numbers ${\textstyle (z_{k})_{k=1}^{n}}$ as

$|\textstyle \sum _{k=1}^{n}z_{k}|\leq \textstyle \sum _{k=1}^{n}|z_{k}|.\quad \quad (*)$

This inequality also applies to infinite families, provided that the infinite series ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }z_{k}}$ is absolutely convergent. If Lebesgue integration is viewed as the continuous analog of summation, then this inequality is analogously obeyed by complex-valued, measurable functions $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ when integrated over a measurable subset $E$:

${\Bigg |}\int _{E}f\ dx{\Bigg |}\leq \int _{E}|f|\ dx.\quad \quad (**)$

(This includes Riemann-integrable functions over a bounded interval $[a,b]$ as a special case.)

Proof of the triangle inequality for complex numbers

The triangle inequality, as given by $(*)$, can be demonstrated by applying three easily verified properties of the complex numbers: Namely, for every complex number $z\in \mathbb {C}$,

(i): there exists $c\in \mathbb {C}$ such that $|c|=1$, $|z|=c\cdot z$, and

(ii): $\mathrm {Re} (z)\leq |z|$; and also,

(iii): if $(w_{k})_{k=1}^{\ell }$ is a family of complex numbers with a real sum, then this sum ${\textstyle \sum _{k=1}^{\ell }w_{k}=\sum _{k=1}^{\ell }\mathrm {Re} (w_{k})}$.

Proof of $(*)$: Choose $c$ such that $|c|=1$ and ${\textstyle |\sum _{k}z_{k}|=c(\sum _{k}z_{k}),}$ summed for $1\leq k\leq n\;.$ The following computation then affords the desired inequality:

$|\textstyle \sum _{k}z_{k}|\;{\overset {(i)}{=}}\;c(\sum _{k}z_{k})=\sum _{k}cz_{k}\;{\overset {(iii)}{=}}\;\sum _{k}\mathrm {Re} (cz_{k})\;{\overset {(ii)}{\leq }}\;\sum _{k}|cz_{k}|=\sum _{k}|c||z_{k}|=\sum _{k}|z_{k}|\;.$

It is clear from this proof that equality holds in $(*)$ exactly if all the $cz_{k}$ are non-negative real numbers, which in turn occurs exactly if all nonzero $z_{k}$ have the same argument, i.e., $z_{k}=a_{k}\zeta$ for a complex constant $\zeta$ and real constants $a_{k}\geq 0$ for $1\leq k\leq n$.

Since $f$ measurable implies that $|f|$ is also measurable, the proof of the inequality $(**)$ proceeds via the same technique, by replacing ${\textstyle \sum _{k}}$ with ${\textstyle \int _{E}dx}$ and $z_{k}$ with $f(x)$.

Absolute value function

The graph of the absolute value function for real numbers

Composition of absolute value with a cubic function in different orders

The real absolute value function is continuous everywhere. It is differentiable everywhere except for x = 0. It is monotonically decreasing on the interval Plantilla:Open-closed and monotonically increasing on the interval Plantilla:Closed-open. Since a real number and its opposite have the same absolute value, it is an even function, and is hence not invertible. The real absolute value function is a piecewise linear, convex function.

Both the real and complex functions are idempotent.

Relationship to the sign function

The absolute value function of a real number returns its value irrespective of its sign, whereas the sign (or signum) function returns a number's sign irrespective of its value. The following equations show the relationship between these two functions:

$|x|=x\operatorname {sgn}(x),$

or

$|x|\operatorname {sgn}(x)=x,$

and for x ≠ 0,

$\operatorname {sgn}(x)={\frac {|x|}{x}}={\frac {x}{|x|}}.$

Derivative

The real absolute value function has a derivative for every x ≠ 0, but is not differentiable at x = 0. Its derivative for x ≠ 0 is given by the step function:

${\frac {d|x|}{dx}}={\frac {x}{|x|}}={\begin{cases}-1&x<0\\1&x>0.\end{cases}}$

The subdifferential of |x| at x = 0 is the interval Plantilla:Closed-closed.

The complex absolute value function is continuous everywhere but complex differentiable nowhere because it violates the Cauchy–Riemann equations.

The second derivative of |x| with respect to x is zero everywhere except zero, where it does not exist. As a generalised function, the second derivative may be taken as two times the Dirac delta function.

Antiderivative

The antiderivative (indefinite integral) of the real absolute value function is

$\int |x|dx={\frac {x|x|}{2}}+C,$

where C is an arbitrary constant of integration. This is not a complex antiderivative because complex antiderivatives can only exist for complex-differentiable (holomorphic) functions, which the complex absolute value function is not.

Terminologia i notació

El terme valor absolut data del segle XIX. El 1841 Karl Wierestrass va introduir la notació $|x|$, amb una barra vertical a cada cantó. Molts llenguatges de programació contenen la funció abs() definida com

$\operatorname {abs} (x)=|x|$

Aquesta aplicació converteix tot nombre real d'entrada en positiu i per tant en calcula el valor absolut.

La notació de les barres verticals s'usa també en altres contextos. Per exemple, en aplicar-se a un conjunt pot denotar el seu cardinal o la seva mesura, en una matriu denota el seu determinant. També s'usa a vegades per denotar la norma en un espai vectorial, tot i que és més comú usar dobles barres verticals.