Usuari:Mcapdevila/Coordenades ortogonals

Un sistema de coordenades ortogonals és un sistema de coordenades tal que a cada punt els vectors tangents a les corbes coordenades són ortogonal és entre si. Aquest tipus de coordenades poden definir-se sobre un espai euclidià o més generalment sobre una varietat riemanniana o pseudoriemanniana.

Definició

Donada una varietat de (pseudo) riemanniana ${\mathcal {M}}$, un conjunt obert $O$ del mateix i un punt dins d'aquest conjunt obert $m\in O\subset {\mathcal {M}}$, una carta local o" sistema de coordenades "local pot representar per una funció:

$\phi :O\subset {\mathcal {M}}\to \mathbb {R} ^{d}\qquad p\in O\land \phi (p)=(x^{1},x^{2},...,x^{d})\in \mathbb {R} ^{d}$

On d és la dimensió de l'espai on es defineix el sistema de coordenades local. Les d corbes coordenades C _i ( t ) i els seus vectors tangents vénen definides per les equacions:

$\phi (C_{i}(t))=(x_{(0)}^{1},...,x^{i}(t),...,x_{(0)}^{n})\qquad \mathbf {v} _{i}=C_{i}'(t)={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$

El sistema de coordenades serà ortogonal si els vectors tangents a les corbes coordenades x _i són ortogonals, és a dir, si:

$g(\mathbf {v} _{i},\mathbf {v} _{j})=0\ (i\neq j),\qquad g(\mathbf {v} _{i},\mathbf {v} _{i})=h_{i}^{2}(x^{1},x^{2},...,x^{d})$

On g (,) és el tensor mètric de l'espai on es defineixen les coordenades.

Propietats

L'elecció d'un o altre sistema depèn de les simetries del problema geomètric o físic plantejat. Com que tots aquests sistemes de coordenades ortogonals en ells el tensor mètric té la forma:

$(G_{ij})={\begin{bmatrix}h_{1}^{2}&0&0\\0&h_{2}^{2}&0\\0&0&h_{3}^{2}\end{bmatrix}}$

On les tres components no nul són els anomenats factors d'escala són funcions de les tres coordenades.

Operadors vectorials en coordenades ortogonals

Els operadors vectorials poden expressar-se fàcilment en termes d'aquestes components del tensor mètric.

• El gradient ve donat per:

${\mbox{grad}}\ \Phi =\nabla \Phi ={\frac {1}{h_{1}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial x^{1}}}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+{\frac {1}{h_{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial x^{2}}}{\hat {\mathbf {e} }}2+{\frac {1}{h_{3}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial x^{3}}}{\hat {\mathbf {e} }}_{3}$

• La divergència ve donada per:

${\mbox{div}}\ \mathbf {A} =\nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial x^{1}}}(h_{2}h_{3}A_{1})+{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}(h_{3}h_{1}A_{2})+{\frac {\partial }{\partial x^{3}}}(h_{1}h_{2}A_{3})\right]$

• El rotacional ve donat pel desenvolupament del següent determinant:

${\mbox{rot}}\ \mathbf {A} =\nabla \times \mathbf {A} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}{\begin{vmatrix}h_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}&h_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}&h_{3}{\hat {\mathbf {e} }}_{3}\\\partial _{x^{1}}&\partial _{x^{2}}&\partial _{x^{3}}\\h_{1}A_{1}&h_{2}A_{2}&h_{3}A_{3}\end{vmatrix}}$

• El laplacià d'una magnitud escalar ve donat per:

$\Delta \Phi =(\nabla \cdot \nabla )\Phi ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial x^{1}}}\left({\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial x^{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}\left({\frac {h_{3}h_{1}}{h_{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial x^{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial x^{3}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial x^{3}}}\right)\right]$

Exemples en l'espai euclidià

A l'espai euclidià tridimensional es fan servir diferents sistemes de coordenades, de vegades, combinant tipus de coordenades ortogonals i angulars:

• Coordenades cartesianes
• Coordenades polars
• Coordenades esfèriques
• Coordenades cilíndriques
• Coordenades cilíndriques el·líptiques
• Coordenades cilíndriques parabòliques
• Coordenades paraboidales
• Coordenades esferoidals allargades
• Coordenades esferoidals aplatades
• Coordenades bipolars
• Coordenades toridales

Exemples en varietats diferencials

La coordenades usades en la teoria de la relativitat general són l'exemple físic més conegut de sistemes de coordenades sobre un espai globalment no-euclidià.

En un espaitemps estàtic sempre és possible escollir al voltant de qualsevol punt de l'espaitemps un sistema de coordenades ortogonal.