Usuari:Mcapdevila/Esforç intern

Representació gràfica de les tensions o components del tensor tensió en un punt d'un cos.

Els esforços interns són magnituds físiques amb unitats de força sobre àrea utilitzades en el càlcul de peces prismàtiques com bigues, pilars i també en el càlcul de plaques i làmines. Els esforços interns sobre una secció transversal plana d'un element estructural es defineixen com un conjunt de forces i moments estàticament equivalents a la distribució de tensions internes sobre l'àrea d'aquesta secció.

Així, per exemple, els esforços sobre una secció transversal plana Σ d'una biga és igual a la integral de les tensions t sobre aquesta àrea plana. Normalment es distingeix entre els esforços perpendiculars a la secció de la biga (o gruix de la placa o làmina) i els tangents a la secció de la biga (o superfície de la placa o làmina):

• Esforç normal (normal o perpendicular al pla considerat), és el que ve donat per la resultant de tensions normals σ, és a dir, perpendiculars, a l'àrea per a la qual pretenem determinar l'esforç normal.

• Esforç tallant (tangencial al pla considerat), és el que ve donat per la resultant de tensions tallants τ, és a dir, tangencials, a l'àrea per a la qual pretenem determinar l'esforç tallant.

Esforços en bigues i pilars

Per a un prisma mecànic o element unidimensional els esforços es designen com:

• Esforç normal (N _x )

• Esforç tallant total (V, T o Q)
  • Esforç tallant segons I (N _i )
  • Esforç tallant segons Z (N _z )

Donat un sistema d'eixos ortogonals, en què l'eix X coincideix amb l'eix baricentre d'un element unidimensional amb secció transversal $\scriptstyle \Sigma$ uniforme dels anteriors esforços són les resultants de les tensions sobre cada secció transversal:

$N_{x}(x)=\int _{\sigma }\sigma _{x}\ dA,\qquad T_{y}(x)=\int _{\sigma }\tau _{xy}\ dA,\qquad T_{z}(x)=\int _{\sigma }\tau _{xz}\ dA$

En un abús de llenguatge, és comú també anomenar esforços a:

• Moment de torsió ( M _x )
• Moment flector $\left(M_{f}={\sqrt {M_{z}^{2}+M_{y}^{2}}}\right)$
  • Moment flector segons Z ( M _z )
  • Moment flector segons I ( M _i )
• Bimoment ( B _ω )

$M_{x}(x)=\int _{\Sigma }(\tau _{xz}y-\tau _{xy}z)\ dA,\qquad M_{y}(x)=\int _{\Sigma }z\sigma _{x}\ dA,\qquad M_{z}(x)=\int _{\Sigma }y\sigma _{x}\ dA$ $B_{\omega }(x)=\int _{\Sigma }\omega (y,z)\sigma _{x}\ dA$

On $\omega (y,z)\,$ és l'enguerximent seccional de la secció transversal.

Cada un d'aquests esforços van associats a cert tipus de tensió:

• Tensió normal, l'esforç normal (tracció o compressió) implica l'existència de tensions normals σ, però aquestes tensions normals també poden estar produïdes per un moment flector, d'acord amb la llei de Navier. Els bimoments també provoquen tensions normals per efecte de l'enguerximent seccional.

• Tensió tangencial, d'altra banda els esforços tallants i el moment de torsió impliquen l'existència de tensions tangencials τ.

Càlcul d'esforços en prismes

Esforços interns

Considerem la biga o prisma mecànic que s'observa en la primera figura i suposem que es troba vinculat a la resta de l'estructura de forma isostàtica. Suposarem també que sobre aquest primera actuen forces externes actives en el pla del seu eix baricentre (o línia recta que un dels baricentres de totes les seccions transversals rectes del prisma).

El primer pas és dividir el rígid en dos blocs més petits. Queden determinats els blocs 1 i 2 de la figura.

Esforços interns

Seguidament estudiarem el bloc 1, on apareixen 2 forces externes reactives actuant (P₁ i P₂). Com es pot veure aquest bloc ara no es troba vinculat isostàtiques, així que perquè pugui quedar en equilibri han d'existir forces que equilibrin al mateix. Aquestes forces són forces reactives també i corresponen a l'acció del bloc 2 sobre el bloc 1. Les forces reactives del bloc 2 sobre l'1 poden ser reduïdes a una força i un moment actuant sobre el baricentre de la secció recta A . De fet aquestes forces i moments són la força resultant i el moment resultant de la distribució de tensions sobre l'àrea recta A .

Com estem tractant el cas especial de forces externes actives actuant sobre el pla de l'eix baricentre, el moment i la força al qual es redueixen les forces reactives del bloc 2 sobre el bloc 1, han de ser una força continguda en aquest pla i un moment perpendicular al mateix pla.

Anomenarem a la força N_2/1 del bloc 2 sobre el bloc i al moment l'anomenarem M_2/1. La força N_2/1 pot descompondre's en una component vertical i una altra horitzontal en el pla en què es troba continguda. Anomenarem N_{2-1, i} a la força descomposta en sentit vertical i R_{2-1, x} a la descomposta en sentit horitzontal. Resumint, tenim el sistema de forces en equilibri que està format per:

• Les forces actives externes sobre el bloc 1.
• Les forces reactives P₁ i P₂.
• Les forces reactives N_{2-1, x}, R_{2-1, i} i el moment M_{2 -- 1}.

A les forces reactives N_{2-1, x}, R_{2-1, i} i al moment M_{2 -- 1} se'ls coneixen com esforços interns, i representen respectivament l'esforç normal (L = R_{2-1, x}), l'esforç de tall (Q = N_{2-1, i}) i el Moment flector (M_f = M_2/1 ).

Càlcul de tensions en prismes

En peces prismàtiques sotmeses a flexió composta (no desviada i sense torsió), el càlcul de les tensions resulta senzill si es coneixen els esforços interns, per a una peça simètrica en la qual el centre de gravetat estigui alineat amb el centre de tallant i amb un cantell total prou petit comparat amb la longitud de la peça prismàtica, de tal manera que es pugui aplicar la teoria de Navier-Bernouilli, el tensor tensió d'una biga ve donat en funció dels esforços interns per:

$[T]_{xyz}={\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{y}&\tau _{z}\\\tau _{y}&0&0\\\tau _{z}&0&0\end{bmatrix}}$

On les tensions normal (σ) i tangencial (τ) es poden determinar a partir dels esforços interns $N_{x},M_{y},M_{z},T_{y},T_{z}\;$. Si es considera un sistema de eixos principals d'inèrcia sobre la biga, considerada com prisma mecànic, les tensions associades a l'extensió, flexió i tallant resulten ser:

$\sigma _{x}={\frac {N_{x}}{A}}+{\frac {M_{y}z}{I_{y}}}-{\frac {M_{z}y}{I_{z}}}\qquad \tau _{y}\approx k_{sec}{\frac {T_{y}}{A}}\qquad \tau _{z}\approx k_{sec}{\frac {T_{z}}{A}}$

On $k_{sec}$ és el coeficient que relaciona la Tensió tallant màxima i la tensió tallant mitjana de la secció. Un criteri sovint emprat per les bigues metàl·liques és verificar que en totes les seccions es verifiqui la següent condició:

$\sigma _{co}={\sqrt {\sigma ^{2}+3(\tau _{y}^{2}+\tau _{z}^{2})}}\leq \sigma _{u}$

Sent $\sigma _{u}\;$ la tensió última o tensió admissible normalment definida en termes del límit elàstic del material. Per peces prismàtiques susceptibles de patir vinclament el càlcul anterior no condueix a un disseny segur, ja que en aquest cas se subestima la tensió normal susceptible de desenvolupar-se en la peça.

Esforços en plaques i làmines

En un element bidimensional, parametritzada per dues coordenades α i β, el nombre d'esforços que s'han de considerar és més gran que en elements unidimensionals:

• Esforços de membrana, segons la direcció de la línia coordenada α, $n_{\alpha \alpha },n_{\alpha \beta }\,$, segons la direcció de la línia coordenada β, $n_{\beta \beta },n_{\beta \alpha }\,$.

• Esforços tallants: $v_{\alpha },v_{\beta }\,$.

• Esforços de flexió, $m_{\alpha \alpha },m_{\alpha \beta },m_{\beta \beta },m_{\beta \alpha }\,$.

Càlcul d'esforços en plaques

En una làmina sotmesa fonamentalment a flexió en què es menysprea la deformació per tallant i els esforços de membrana s'anomena làmina de Love-Kirchhof. Els esforços interns es caracteritzen per dos moments flectors $m_{x},m_{y}\;$ segons dues direccions mutualista perpendiculars i un esforç de torsió $m_{xi}$. Aquests esforços estan directament relacionats amb la fletxa vertical w (x, y) en cada punt per:

${\begin{cases}m_{x}=-d\left[{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu {\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial i^{2}}}\right]&m_{xi}=-D(1-\nu )\left[{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial i\partial x}}\right]\\m_{y}=-d\left[\nu {\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial i^{2}}}\right]\end{cases}}$

On:

$\nu \,$, és el coeficient de Poisson del material de la placa.

$D=Ei^{3}/12(1-\nu )\;$, és la rigidesa en flexió de la placa, sent:

$E\;$ el mòdul de Young del material de la placa.

$h\;$ és el gruix de la placa.

Càlcul de tensions en plaques

Les tensions sobre una placa són directament calculades a partir dels esforços anteriors:

${\begin{cases}\sigma _{xx}={\cfrac {12z}{h^{3}}}m_{y}(x,y)&\sigma _{xy}={\cfrac {12z}{h^{3}}}(1-\nu )^{2}m_{xi}(x,y)\\\sigma _{ii}={\cfrac {12z}{h^{3}}}m_{x}(x,y)&\sigma _{xz}=\sigma _{iz}=\sigma _{zz}=0\end{cases}}$

Vegeu també

• Elasticitat

Enllaços externs

• Concepte d'esforç, en virtual.unal.edu.co