Usuari:Mcapdevila/Funció generadora de moments

En probabilitat i estadística, la funció generadora de moments o funció generatriu de moments d'una variable aleatòria X és

M_{X}(t):=E\left(e^{tX}\right),\quad t\in \mathbb {R} ,

sempre que aquesta esperança existeixi.

La funció generadora de moments es diu així perquè, si existeix en un entorn de t = 0, permet generar els moments de la distribució de probabilitat :

E\left(X^{n}\right)=M_{X}^{(n)}(0)={\frac {d^{n}M_{X}}{dt^{n}}}(0).

Si la funció generadora de moments està definida en aquest interval, llavors determina unívocament la distribució de probabilitat.

Un problema clau amb les funcions generadores de moments és que els moments i la mateixa funció generadora no sempre existeixen, perquè les integrals que els defineixen no són sempre convergents. Per contra, la funció característica sempre existeix i pot usar-se al seu lloc.

De forma general, on $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})$ és un vector aleatori n -dimensional, es fa servir $\mathbf {t} \cdot \mathbf {X} =\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }\mathbf {X}$ en comptes de $tX$ :

M_{\mathbf {X} }(\mathbf {t} ):=E\left(e^{\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }\mathbf {X} }\right).

Càlcul

Si X té una funció de densitat contínua, f ( x ), llavors la funció generadora de moments ve donada per

M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,\mathrm {d} x

=\int _{-\infty }^{\infty }\left(1+tx+{\frac {t^{2}x^{2}}{2!}}+\cdots \right)f(x)\,\mathrm {d} x

=1+tm_{1}+{\frac {t^{2}m_{2}}{2!}}+\cdots ,

on $m_{i}$ és el i -èsim moment. $M_{X}(-t)$ és, precisament, la transformada bilateral de Laplace de f ( x ).

Independentment que la distribució de probabilitat sigui contínua o no, la funció generadora de moments ve donada per la integral de Riemann-Stieltjes

M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\,dF(x)

on F és la funció de distribució.

Si X ₁, X ₂, ..., X _n és una seqüència de variables aleatòries independents (i no necessàriament idènticament distribuïdes) i

S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i},

on les a _i són constants, llavors la funció de densitat de S _n és la convolució de la funció de densitat de cada una de les X _i i la funció generadora de moments per S _n ve donada per

M_{S_{n}}(t)=M_{X_{1}}(a_{1}t)M_{X_{2}}(a_{2}t)\cdots M_{X_{n}}(a_{n}t).

Per variables aleatòries multidimensionals X amb components reals, la funció generadora de moments ve donada per

M_{X}(t)=E\left(e^{\langle t,X\rangle }\right)

on $t=(t_{1},\ldots ,t_{n})$ és un vector de $\mathbb {R} ^{n}$ i $\langle t,X\rangle =t_{1}X_{1}+\cdots +t_{n}X_{n}$ és el producte escalar de t i X.

Relació amb altres funcions

Hi ha una sèrie de transformades relacionades amb la funció generadora de moments que són comuns en la teoria de probabilitats:

Funció característica: La funció característica $\varphi _{X}(t)$ està relacionada amb la funció generadora de moments via $\varphi _{X}(t)=M_{iX}(t)=M_{X}(it):$ La funció característica és la funció generadora de moments de iX o la funció generadora de moments de X avaluada en l'eix imaginari.

Funció generadora acumulada: La funció generadora acumulada està definida com el logaritme de la funció generadora de moments; hi ha qui defineix la funció generadora acumulada com el logaritme de la funció característica, mentre que altres anomenen aquesta funció la 2 funció generadora acumulada.

Funció generadora de probabilitat

Vegeu també

Nota