Funció generadora de probabilitat

En teoria de la probabilitat, la funció generadora de probabilitat d'una variable aleatòria discreta és una representació en sèrie de potències (la funció generadora) de la funció de massa de probabilitat de la variable aleatòria. Les funcions generadores de probabilitats s'utilitzen sovint per a la seva descripció succinta de la seqüència de probabilitats Pr(X = i) en la funció de massa de probabilitat per a una variable aleatòria X, i per posar a disposició la teoria ben desenvolupada de sèries de potències amb coeficients no negatius.

Cas univariat

Si X és una variable aleatòria discreta que pren valors en els nombres enters no negatius {0,1, ...}, aleshores la funció generadora de probabilitat de X es defineix com

$G(z)=\operatorname {E} (z^{X})=\sum _{x=0}^{\infty }p(x)z^{x},$

on p és la funció de massa de probabilitat de X. Tingueu en compte que les notacions amb subíndex G _X i p _X s'utilitzen sovint per emfatitzar que aquestes pertanyen a una variable aleatòria X particular ia la seva distribució. La sèrie de potències convergeix absolutament almenys per a tots els nombres complexos z amb | z | ≤ 1; en molts exemples el radi de convergència és més gran.

Cas multivariant

Si X = (X₁,...,X_d ) X = (X₁,...,X_d ) X = (X₁,...,X_d ) és una variable aleatòria discreta que pren valors a la xarxa d' enter no negatiu d-dimensional {0,1, ...} ^d, aleshores la funció generadora de probabilitat de X es defineix com

$G(z)=G(z_{1},\ldots ,z_{d})=\operatorname {E} {\bigl (}z_{1}^{X_{1}}\cdots z_{d}^{X_{d}}{\bigr )}=\sum _{x_{1},\ldots ,x_{d}=0}^{\infty }p(x_{1},\ldots ,x_{d})z_{1}^{x_{1}}\cdots z_{d}^{x_{d}},$

on p és la funció de massa de probabilitat de X. La sèrie de potències convergeix absolutament almenys per a tots els vectors complexos z = (z₁,...,z_d ) ∈ ℂ^d amb max{|z₁|,...,|z_d |} ≤ 1 .

La funció generadora de probabilitat és un exemple de funció generadora d'una seqüència: vegeu també sèries de potències formals. És equivalent a, i de vegades s'anomena, la transformada z de la funció de massa de probabilitat.

Altres funcions generadores de variables aleatòries inclouen la funció generadora de moments, la funció característica i la funció generadora acumulant. La funció generadora de probabilitat també és equivalent a la funció generadora de moment factorial, que as $\operatorname {E} \left[z^{X}\right]$ també es pot considerar per a variables contínues i altres variables aleatòries.