Usuari:Mcapdevila/Llei de Stefan-Boltzmann

La llei de Stefan-Boltzmann postula que tota la matèria que es troba a una temperatura emet una radiació tèrmica, que és proporcional a la seva temperatura absoluta a la quarta potència. La radiació emesa per unitat de temps i d'àrea s (W/m²) es denomina la potència emissiva superficial (E). Hi ha un límit superior per a la potència emissiva, establert per aquesta llei:

$Eb=\sigma \cdot T^{4}\,$

on T és la temperatura absoluta (en K) de la superfície i σ és la constant de Stefan-Boltzmann ($\sigma =5,67\cdot 10^{-8}{\frac {W}{m^{2}\cdot K^{4}}}$). Aquest límit superior el compleix l'anomenat radiador ideal o cos negre.

El flux de calor emès per una superfície real és menor que el d'un cos negre a la mateixa temperatura i vindrà donat per:

$E=\epsilon \cdot \sigma \cdot T^{4}\,$

on èpsilon és una propietat radiativa de la superfície denominada emissivitat. Amb valors en el rang 0≤ε≤1, aquesta propietat proporciona una mesura de l'eficiència amb què una superfície emet energia en relació amb un cos negre. Açò depèn marcadament del material de la superfície i de l'acabat.

Demostració

Demostració matemàtica

Aquesta llei no és més que la integració de la distribució de Planck al llarg de totes les longituds d'ona:

$Eb=\int _{0}^{\infty }{C_{1} \over \lambda ^{5}\cdot (e^{C_{2} \over \lambda \cdot T}-1)}d\lambda \,$

on les constants valen al Sistema Internacional d'Unitats o sistema MKS:

$C_{1}=2\pi hc^{2}=3,742\cdot 10^{-16}{W\cdot m^{2}}\,$

$C_{2}={hc \over k}=1,439\cdot 10^{-2}{m\cdot K}$

Es pot demostrar fent la integral que:

$Eb=\int _{0}^{\infty }{C_{1} \over \lambda ^{5}\cdot (e^{C_{2} \over \lambda \cdot T}-1)}d\lambda ={\frac {\pi ^{4}\cdot C_{1}}{15\cdot C_{2}^{4}}}\cdot T^{4}\,$

Per la qual cosa la constant de Stefan-Boltzmann depèn d'altres constants fonamentals d'aquesta manera:

$\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}=5.6704\cdot 10^{-8}{\frac {W}{m^{2}\cdot K^{4}}}$

Experiment del cub de Leslie

La llei de Stefan-Boltzmann queda bastant clara amb l'experiment del cub de Leslie:

En general en l'emissió radiant a altes temperatures es menysprea l'efecte de la temperatura de l'ordre de la temperatura ambient a la qual es troben els objectes circumdants. No obstant això hem de tenir en compte que aquesta pràctica estudia aquesta llei a baixes temperatures per a les quals no es pot obviar la temperatura ambient. Això fa veure que com el detector del sensor de radiació (una termopila no està a 0 K) irradia energia radiant i una intensitat proporcional a aquesta és la que mesura, després si la menyspreem estem falsejant el resultat. La seva radiació es pot quantificar de forma proporcional a la seva temperatura absoluta a la quarta potència:

$R_{\det }\ =\sigma \cdot T_{\det }^{4},$

D'aquesta manera podem conèixer la radiació neta que mesura a partir del voltatge generat pel sensor sabent que és proporcional a la diferència de radiació entre la absorbida i l'emesa, és a dir:

$R_{n}et=R_{r}ad-R_{\det }=\sigma \cdot (T^{4}-T_{\det }^{4}),$

Finalment fent una sèrie de suposicions, com pot ser evitar que el sensor es vegi influenciat per la radiació del cub de Leslie quan no sigui necessari, prendre mesures (podem allunyar-lo), i només llavors podrem considerar que la temperatura del detector és la del ambient. Amb allunyar-lo quan sigui innecessari aquesta hipòtesi pot ser suficient.

Exemples

Primera determinació de la temperatura del Sol

Utilitzant la seva llei Stefan va determinar la temperatura de la superfície del Sol. Va prendre les dades de Charles Soret (1854-1904) que va determinar que la densitat del flux d'energia del Sol és 29 vegades més gran que la densitat del flux d'energia d'una fina placa de metall calent. Va posar la placa de metall a una distància del dispositiu de la mesura que permetia veure-la amb el mateix angle que es veuria el Sol des de la Terra. Soret va estimar la temperatura de l'placa era aproximadament 1900 ° C a 2000 ° C. Stefan va pensar que el flux d'energia del Sol és absorbit en part per la atmosfera terrestre, i va prendre per al flux d'energia del Sol un valor 3/2 vegades més gran, és a dir $29\cdot {\frac {3}{2}}=43,5$.

Les mesures precises de l'absorció atmosfèrica no es van realitzar fins 1888 i 1904. La temperatura que Stefan va obtenir era un valor intermedi dels anteriors, 1950 ° C (2223 K). Com a 2,57 ⁴ = 43,5, la llei de Stephan ens diu que la temperatura del Sol és 2,57 vegades més gran que la temperatura d'un placa de metall, així que Stefan va aconseguir un valor per la temperatura de la superfície del Sol de 5.713 K (el valor modern és 5.780 K). Aquest va ser el primer valor sensat per la temperatura del Sol Abans d'això, es van obtenir valors tan petits com 1.800 ° C o tan alts com 13.000.000 ° C. El valor de 1800 ° C va ser trobat per Claude Servais Mathias Pouillet (1790-1868) a 1838. Si nosaltres concentrem la llum del Sol amb una lent, podem escalfar un sòlid fins als 1.800 ° C.

Les temperatures i ràdios de les estrelles

La temperatura de les estrella es pot obtenir suposant que emeten radiació com un cos negre de manera similar que el nostre Sol

La Lluminositat L de l'estrella val:

$L=4\pi R^{2}\sigma T^{4}\,$

on σ és la constant de Stefan-Boltzmann, R és el radi estel·lar i T és la temperatura de l'estrella.

Aquesta mateixa fórmula pot usar-se per computar el radi aproximat d'una estrella de la seqüència principal i per tant similar al Sol:

${\frac {R}{R_{\bigodot }}}\approx \left({\frac {T_{\bigodot }}{T}}\right)^{2}\cdot {\sqrt {\frac {L}{L_{\bigodot }}}}$

on $R_{\bigodot }$, és el radi solar.

Amb la llei de Stefan-Boltzmann, els astrònom es pot inferir els radis de les estrelles fàcilment. La llei també s'usa en la termodinàmica d'un forat negre en l'anomenada radiació de Hawking.

La temperatura de la Terra

• Veure Balanç de radiació terrestre

Podem calcular la temperatura de la Terra $T_{e}\,$ igualant l'energia rebuda del Sol i l'energia emesa per la Terra. El Sol emet una energia per unitat de temps i àrea que és proporcional a la quarta potència de la seva temperatura $T_{s}\,$. A la distància de la Terra a ₀ (unitat astronòmica), aquesta potència ha disminuït en la relació entre la superfície del Sol i la superfície d'una esfera de radi a < sub> 0 . A més el disc de la Terra intercepta aquesta radiació però a causa de la ràpida rotació de la Terra és tota la superfície de la Terra la que emet la radiació a una temperatura $T_{e}\,$ amb el que aquesta potència queda disminuïda en un factor 4.

Per això:

$({\frac {T_{e}}{T_{s}}})^{4}={\frac {1}{4}}\cdot ({\frac {R_{S}}{a_{0}}})^{2}$

on $R_{S}\,$ és el radi del Sol Per això

$T_{e}\,=T_{s}{\sqrt {R_{S} \over 2a_{0}}}=5.780\;{\rm {K}}\cdot {\sqrt {696\times 10^{6}\;{\rm {m}} \over 2\times 149.59787066\times 10^{9}\,{\rm {m}}}}=278\,{\rm {K}}$

Resulta una temperatura de 5 ° C. La temperatura real és de 15 ° C.

Resumint: La distància del Sol a la Terra és 215 vegades el radi del Sol, reduint l'energia per el metre quadrat per un factor que és el quadrat d'aquesta quantitat, és a dir 46.225. Tenint en compte que la secció que interfereix l'energia és 1/4 de la seva àrea de la superfície, veiem que disminueix en 184.900 vegades. La relació entre la temperatura del Sol i la Terra és per tant 20,7 ja que 20,7 ⁴ és 184.900 vegades.

Això mostra aproximadament per què T {278 K és la temperatura del nostre món. El canvi més lleuger de la distància del Sol podria canviar la temperatura de la mitjana Terra.

En el càlcul anterior hi ha dos defectes. Part de l'energia solar és reflectida per la Terra que és el que s'anomena albedo i això disminueix la temperatura de la Terra fet per al càlcul anterior fins a -18 ° C i part de l'energia radiada per la Terra que té una longitud llarga entre 3 i 80 micres és absorbit pels gasos d'efecte d'hivernacle escalfant l'atmosfera fins a la temperatura actual. El efecte d'hivernacle és en principi bo, no ho és l'efecte d'hivernacle causat per l'home que ens porta a un escalfament global d'efectes imprevisibles.

Per calcular la constant solar o energia emesa pel Sol per unitat de temps i àrea a la distància de la Terra només cal dividir aquesta energia per 46.225 resulta:

$K=\sigma \cdot T_{s}^{4}\cdot ({\frac {r_{s}}{a_{0}}})^{2}=1366{\frac {W}{m^{2}}}$

Intercanvis radiatius entre cossos negres

El flux calòric s'obté de la següent manera:

$q=A\cdot E=A\cdot \epsilon \cdot \sigma \cdot T_{e}^{4}\,$

Per al càlcul d'intercanvis radiatius de dos cossos negres, cal afectar l'expressió anterior per l'anomenat factor de forma F , el qual indica que fracció de l'energia total emesa per una superfície és interceptada (absorbida, reflectida o transmesa) per una altra superfície, és un concepte purament geomètric. L'expressió final és de la forma:

$q_{1-2}=A_{1}\cdot F_{12}\cdot \sigma \cdot T_{1}^{4}\,$

$q_{2-1}=A_{2}\cdot F_{21}\cdot \sigma \cdot T_{2}^{4}\,$

$q_{12}=q_{1-2}-q_{2-1}=A_{1}\cdot F_{12}\cdot \sigma \cdot (T_{1}^{4}-T_{2}^{4})\,$

Cal tenir en compte que es compleix $<math>A_{1}\cdot F_{12}=A_{2}\cdot F_{21}$.

Per superfícies reals (amb emissivitat menys a 1) cal tenir en compte que a més d'emetre, la superfície reflecteix energia, per a això es defineix J com la radiositat, que és la suma de l'energia emesa i la reflectida.

$q_{1-2}=A_{1}\cdot F_{12}\cdot J_{1}\,$

$q_{2-1}=A_{2}\cdot F_{21}\cdot J_{2}\ \,$

$q_{12}=q_{1-2}-q_{2-1}=A_{1}\cdot F_{12}\cdot (J_{1}-J_{2})\,$

En el cas particular d'un cos negre es compleix que $J=E$.

Exemple

Per a una cavitat tancada composta per dues superfícies reals, l'intercanvi radiatiu és:

$q_{12}={{\sigma \cdot (T_{1}^{4}-T_{2}^{4})} \over {1-\epsilon _{1} \over {\epsilon _{1}\cdot A_{1}}}+{1 \over A_{1}\cdot F_{12}}+{1-\epsilon _{2} \over \epsilon _{2}\cdot A_{2}}}\,$

Vegeu també

• Llei de Planck
• Cub de Leslie