Usuari:Mcapdevila/Partícula lliure

En física, una partícula lliure és una partícula que, d'alguna manera, no està enllaçada. En física clàssica, això significa que la partícula no està sotmesa a cap força externa.

Partícula lliure clàssica

La partícula lliure clàssica es caracteritza simplement perquè la seva velocitat és constant. El moment lineal en ve donat per:

$\mathbf {p} =m\mathbf {v}$

i l'energia per:

$E={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} ^{2}={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}$

en què $m\,$ és la massa de la partícula i $\mathbf {v}$ el vector velocitat de la partícula.

Partícula lliure quàntica no relativista

L'equació de Schrödinger depenent del temps per a una partícula lliure és:

(1)$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\ \Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)$

És fàcil comprovar que, per a aquest sistema, l'operador hamiltonià commuta amb l'operador del moment i, per tant, n'hi ha un conjunt complet de solucions comunes. La solució corresponent a valors definits de l'energia i del moment ve donada per una ona plana:

$\Psi (\mathbf {r} ,t)=Ai^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}$

i, per tant, amb la restricció:

(2)$\hbar \omega ={\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} ^{2}}{2m}},\quad {\mbox{és a dir,}}\quad E={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}$

en què r n'és el vector posició, t n'és el temps, k n'és el vector d'ona, ω n'és la freqüència angular i $A$ l'amplitud. Una ona plana representa l'estat d'una partícula lliure amb una probabilitat uniforme en tot l'espai, pel fet que la densitat de probabilitat pren un valor constant i independent de la posició r i del temps t, $|\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}=\Psi ^{*}\,\Psi =|A|^{2}$. Com la integral de $\Psi ^{*}\,\Psi$ sobre tot l'espai ha de ser la unitat, hi ha un problema a l'hora de normalitzar aquesta autofunció del moment (una alternativa n'és considerar la normalització en funció del flux). No obstant això, no serà un problema per a una partícula lliure més general, ja que d'alguna manera es trobarà localitzada tant en la seva posició com en el seu moment (vegeu partícula en una caixa per a una discussió més detallada).

Paquet d'ona

Representació d'un paquet d'ones unidimensional: la part real, part imaginària i la densitat de probabilitat d'un paquet d'ones desplaçant cap a la dreta

Una partícula lliure més general no té un moment o una energia definida. En aquest cas, la funció d'ona de la partícula lliure es representa com una superposició d'ones planes (que descriuen l'estat d'una partícula lliure de moment definit), anomenada paquet d'ones:

$\left.\right.\Psi (\mathbf {r} ,t)=\int A(\mathbf {k} )i^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega (k)t)}d\mathbf {k}$

en què la integral es defineix sobre tot l'espai k, i en què $\omega$ depèn de $k$ segons l'equació (2). Noteu que aquesta funció, al contrari que les ones planes, és de quadrat integrable i, per tant, es pot normalitzar.

La velocitat de grup de l'ona es defineix com:

$\left.\right.v_{g}={\frac {d\omega }{dk}}={\frac {dE}{dp}}=v$

en què $v$ és la velocitat clàssica de la partícula. La velocitat de fase de l'ona es defineix com:

$\left.\right.v_{f}={\frac {\omega }{k}}={\frac {I}{p}}={\frac {p}{2m}}={\frac {v}{2}}$

Si suposem per simplicitat que la variació de l'amplitud $A(\mathbf {k} )$ és simètrica respecte del seu valor màxim $\mathbf {k} _{0}$, obtenim que el valor esperat del moment p és:

$\langle \mathbf {p} \rangle =\langle \Psi |-i\hbar \nabla |\Psi \rangle =\hbar \mathbf {k} _{0}$

mentre que el valor esperat de l'energia $E$ és:

$\langle I\rangle =\langle \Psi |i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\Psi \rangle =\hbar \omega (k_{0})$

Aïllant $\mathbf {k} _{0}$ i ω i substituint-les en l'equació que les relaciona, obtenim la relació ja coneguda entre energia i moment per partícules no relativistes amb massa $m$:

$\langle I\rangle ={\frac {\langle p\rangle ^{2}}{2m}}$

en què p =| p |.

Densitat de corrent en mecànica quàntica

En mecànica quàntica, el corrent de probabilitat és un concepte que descriu el flux de densitat de probabilitat. Així, en mecànica quàntica no relativista, es defineix com:

$\mathbf {j} ={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi -\Psi {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\right)={\frac {\hbar }{m}}{\mbox{Im}}(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi )={\mbox{Re}}(\Psi ^{*}{\frac {\hbar }{im}}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi )$

Per al cas d'una partícula lliure $\Psi (\mathbf {r} ,t)=Ai^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}$, el corrent de probabilitat ve donat per:

$\mathbf {j} =|A|^{2}{\frac {\hbar \mathbf {k} }{m}}$

Partícula lliure relativista

Hi ha diverses equacions que descriuen les partícules relativistes. Per a una descripció de les solucions per a una partícula lliure, vegeu els articles:

• L'equació de Klein-Gordon descriu partícules quàntiques relativistes sense càrrega ni espín.
• L'equació de Dirac descriu l'electró relativista (carregat, espín 1/2)

Referències

• Claude Cohen-Tannoudji; Bernard Diu et Frank Laloë. Mécanique quantique, vol. I et II. Paris: Collection Enseignement donis sciences (Hermann), 1977. ISBN 2-7056-5767-3.