Usuari:Pepsales/proves

Vector (matemàtiques)

Forces Empenta i Fregament

En Física i Geometria, un vector representa una magnitud física, com Força, Camp Elèctric o Velocitat. Aquestes, necessiten quatre dades per estar perfectament definides: mòdul (un nombre real i la seva unitat de mesura), direcció (una línia recta), sentit (un dels dos sentits de la recta) i punt d’aplicació. Són les magnituds vectorials. Es troben dissenyant grues de pont, calculant motors elèctrics, passejant gossos, jugant al billar, dibuixant amb ordinador o pilotant avions.

La força que ha de fer una persona (a la figura, Empenta) per bellugar l'armari és -com a mínim- la que contraresti la força de Fregament entre el terra i l'armari. Ambdues són paral·leles, iguals i de sentit contrari (l'armari és completament rígid). Si la força d'Empenta és major que la de Fregament, l'armari es mou, s’accelera i guanya velocitat.

Altres magnituds físiques, com l’Energia, la Temperatura o la Massa, no necessiten un vector per estar perfectament definides, doncs tenen prou amb una dada i la seva unitat de mesura. Són les magnituds escalars.

Un vector lliure i 4 lligats a ell, es diu que són equipol·lents

En Àlgebra lineal, un vector és un dels elements d’un espai vectorial de dimensió qualsevol n. Cada dimensió recorre tots els números reals (Rⁿ).

En un espai vectorial de dimensió 3 (R³), un vector lliure queda definit per tres nombres reals que són els seus components en cada dimensió de l'espai. Els anomenem x₁,x₂, x₃ i el punt d’aplicació sempre és l'origen (0,0,0). Per exemple, el vector lliure ${\vec {e}}$=(3,2,4) amb punt d’aplicació (0,0,0) representa a un conjunt de vectors paral·lels, d’igual mòdul i del mateix sentit que ell, però amb altres punts d’aplicació que no siguin (0,0,0).

Vectors lligats són tots els vectors que no són vectors lliures en un espai vectorial.

Uns quants vectors (tants com la dimensió de l’espai) poden formar una base de l'espai a la que es poden referenciar tots els vectors de l’espai. Si la base escollida són els vectors: ${\vec {i}}$=(1,0,0), ${\vec {j}}$=(0,1,0), ${\vec {k}}$=(0,0,1), llavors el vector es pot definir ${\vec {w}}$=(3,2,4)=3${\vec {i}}$+2${\vec {j}}$+4${\vec {k}}$.

En un vector definit per components, aquestes han d'estar en un determinat ordre, doncs el vector (3,2,4) no és el mateix vector que (2,3,4)

Poden ser vectors-fila o vectors-columna (representats per una [[matriu fila o una matriu columna) que es poden sotmetre a  transformacions lineals.

Definint en un espai de coordenades la suma per coordenades i el producte escalar es conforma un espai euclidià.

camp vectorial ${\vec {V}}$(x,y) = (x+y,-y)

En Càlcul Vectorial, un camp vectorial és una propietat de cada punt d'un espai vectorial euclidià que posa un vector al punt, que és el punt d'aplicació del vector. S'utilitzen sovint en Física per a modelitzar la velocitat i la direcció d'un líquid mòbil a través de l'espai (Hidrodinàmica) o bé la intensitat i la direcció d'una força, com la força electromagnètica o la gravitatòria, ja que els vectors que les defineixen són diferents en cada punt.

Un camp vectorial ${\vec {V}}(x,y)$en un espai de dues dimensions (R²), es defineix mitjançant dues funcions X(x, y), Y(x, y) que són les components d'un vector per cada punt de l’espai. En el punt (-3, 3) li correspondrà el vector  ${\vec {V}}(-3,3)$= ( X(-3,3) , Y(-3,3)), amb el punt d'aplicació (-3,-3). En el cas del camp vectorial ${\vec {V}}$(x,y) = (x+y,-y) resultaria el vector de components (0,-3) i punt d'aplicació(-3,3), com es comprova a la figura.

Breu Història dels vectors

Giusto Bellavitis (1835) aportà una idea bàsica al establir el concepte de equipolència. En el pla Euclidià (R2) eren “equipolents” qualsevol parell de segments d’igual longitud direcció i sentit. Definia així una relació d’equivalència entre parelles de punts del pla i així estableix, per primer cop, l'espai de vectors en el pla.

William Rowan Hamilton (1843) introdueix la paraula vector com una part del seu '''quaternió''', q = e + v,  suma d’un número real  e, anomenat escalar i un vector tridimensional. Hamilton també veia els vectors com a representants de classes d’equivalència de segments dirigits equipol·lents.

Els '''nombres complexos''' usen una unitat imaginària per complementar la part real.. Hamilton considera el vector v , la part imaginària d’un quaternió. Geomètricament, aquest vector és un tros de línea recta amb una longitud determinada i una direcció i sentit en l’espai, Hamilton l’anomenava part vectorial o bé el vector del quaternió.

Cap la meitat del XIX, Augustin Cauchy, Hermann Grassmann, August Möbius, Comte de Saint-Venant i Matthew O'Brien desenvolupen aquest concepte.

La publicació al 1840 del treball de Grassmann, Teoria del flux i del reflux, és el primer sistema d’anàlisi espacial, molt similar al sistema actual. Conté les idees corresponents a producte vectorial, producte escalar. Tot i la seva vàlua, el treball de Grasmann va ser deixat de banda fins la dècada de 1870.