Àlgebra de Lie lineal especial

En matemàtiques, l'àlgebra de Lie lineal especial d'ordre n sobre un camp $F$, denotada ${\mathfrak {sl}}_{n}F$ o ${\mathfrak {sl}}(n,F)$, és l'àlgebra de Lie de totes les matrius $n\times n$ (amb entrades en $F$ ) amb traça zero i amb el suport de Lie $[X,Y]:=XY-YX$ donat pel commutador. Aquesta àlgebra està ben estudiada i s'entén, i sovint s'empra com a model per a l'estudi d'altres àlgebres de Lie. El grup Lie que genera és el grup lineal especial.

Aplicacions

L'àlgebra de Lie ${\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C}$ és fonamental per a l'estudi de la relativitat especial, la relativitat general i la supersimetria: la seva representació fonamental és l'anomenada representació de l'espinor, mentre que la seva representació adjunta genera el grup de Lorentz SO(3,1) de la relativitat especial.

L'àlgebra ${\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {R}$ juga un paper important en l'estudi del caos i els fractals, ja que genera el grup de Möbius SL(2,R), que descriu els automorfismes del pla hiperbòlic, la superfície de Riemann més simple de curvatura negativa; per contra, SL(2,C) descriu els automorfismes de la bola hiperbòlica 3-dimensional.

Teoria de la representació

Teoria de representació de sl₂C

L'àlgebra de Lie ${\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C}$ és una àlgebra de Lie complexa tridimensional. La seva característica definitòria és que conté una base $e,h,f$ satisfer les relacions de commutació

$[e,f]=h$, $[h,f]=-2f$, and $[h,e]=2e$.

Aquesta és una base de Cartan-Weyl ${\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C}$. Té una realització explícita en termes de matrius complexes de 2 per 2 amb traça zero:

$E={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}$, $F={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}$, $H={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$.

Aquesta és la representació fonamental o definitòria ${\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C}$.

L'àlgebra de Lie ${\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C}$ es pot veure com un subespai de la seva àlgebra envoltant universal $U=U({\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C} )$ i, en $U$, hi ha les següents relacions de commutador mostrades per inducció:

$[h,f^{k}]=-2kf^{k},\,[h,e^{k}]=2ke^{k}$ ,

$[e,f^{k}]=-k(k-1)f^{k-1}+kf^{k-1}h$

Cal tenir en compte que, aquí, els poders $f^{k}$, etc. es refereixen a les potències com a elements de l'àlgebra U i no a les potències de la matriu. El primer fet bàsic (que es desprèn de les relacions de commutador anteriors) és:

Lema — Sigui V una representació de ${\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C}$ i v una representació en ella. Fent $v_{j}={1 \over j!}f^{j}\cdot v$ per tot =0,1,... si v és un vector propi per l'acció d'h, és a dir, $h\cdot v=\lambda v$ per nombres complexos $\lambda$ tal que:

• $h\cdot v_{j}=(\lambda -2j)v_{j}$
• $e\cdot v_{j}={1 \over j!}f^{j}\cdot e\cdot v+(\lambda -j+1)v_{j-1}$
• $f\cdot v_{j}=(j+1)v_{j+1}$

D'aquest lema, es dedueix el següent resultat fonamental:

Teorema — Sigui V una representació de ${\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C}$ que pot tenir dimensió infinita i un vector v dins V que és vector ponderat ${\mathfrak {b}}=\mathbb {C} h+\mathbb {C} e$(b en subàlgebra Borel), Llavors:

• $v_{j}$ no nuls són linealment independents.
• si cap $v_{j}$ és nul, llavors els valors propis h de v és un nombre enter no negatiui N>=0 tal que $v_{0},v_{1},\dots ,v_{N}$ són no nuls i $v_{N+1}=v_{N+2}=\cdots =0$. Àdhuc, el subespai definit per $v_{j}$ és ${\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C}$.

La primera afirmació és certa des dels dos $v_{j}$ és zero o té $h$ -valor propi diferent dels valors propis dels altres que són diferents de zero. dient $v$ és a ${\mathfrak {b}}$-pess vector equival a dir que és alhora un vector propi de $h$ i $e$; un breu càlcul mostra llavors que, en aquest cas, el $e$-valor propi de $v$ és zero: $e\cdot v=0$. Així, per a algun nombre enter $N\geq 0$, $v_{N}\neq 0,v_{N+1}=v_{N+2}=\cdots =0$ i en particular, pel lema anterior,

$0=e\cdot v_{N+1}=(\lambda -(N+1)+1)v_{N},$

Teoria de representació de sl_nC

Quan ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} =\operatorname {\mathfrak {sl}} V$ per a un espai vectorial complex $V$ de dimensió $n$, cada representació irreductible de dimensions finites de ${\mathfrak {g}}$ es pot trobar com una subrepresentació d'una potència tensor de $V$.

L'àlgebra de Lie es pot realitzar explícitament com una matriu àlgebra de Lie sense traça $n\times n$ matrius. Aquesta és la representació fonamental per ${\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C}$.