Vés al contingut

Àlgebra tensor

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure


En matemàtiques, l'àlgebra tensor d'un espai vectorial V, denotada T(V) o T•(V), és l'àlgebra dels tensors de V (de qualsevol rang) amb la multiplicació essent el producte tensor. És l'àlgebra lliure sobre V, en el sentit de quedar-se adjunta al funtor oblidat des d'àlgebres fins a espais vectorials: és l'àlgebra "més general" que conté V, en el sentit de la propietat universal corresponent.[1]

Producte tensor

L'àlgebra tensorial és important perquè moltes altres àlgebres sorgeixen com àlgebres quocients de T(V). Aquests inclouen l'àlgebra exterior, l'àlgebra simètrica, l'àlgebra de Clifford, l'àlgebra de Weyl i l'àlgebra d'embolcall universal.[2]

L'àlgebra tensorial també té dues estructures de coalgebra; una de senzilla, que no la converteix en una biàlgebra, però condueix al concepte de coàlgebra colliure, i una altra de més complicada, que produeix una biàlgebra, i es pot estendre donant una antípoda per crear una estructura d'àlgebra de Hopf.

Nota: en aquest article, se suposa que totes les àlgebres són unitals i associatives. La unitat es requereix explícitament per definir el coproducte.[3]

Construcció

[modifica]

Sigui V un espai vectorial sobre un camp K. Per a qualsevol nombre enter no negatiu k, definim que la potència tensor de V és el producte tensor de V amb si mateix k vegades: [4]

És a dir, T k V consta de tots els tensors de V d'ordre k. Per convenció T'0V és el camp terrestre K (com un espai vectorial unidimensional sobre si mateix).

Aleshores construïm T(V) com la suma directa de TkV per a k = 0,1,2,...

La multiplicació en T(V) ve determinada per l'isomorfisme canònic

donat pel producte tensor, que després s'estén per linealitat a tot T(V). Aquesta regla de multiplicació implica que l'àlgebra tensor T(V) és naturalment una àlgebra graduada amb TkV com a subespai de grau k. Aquesta qualificació es pot estendre a una classificació Z afegint subespais per a nombres enters negatius k.

La construcció es generalitza d'una manera senzilla a l'àlgebra tensor de qualsevol mòdul M sobre un anell commutatiu. Si R és un anell no commutatiu, encara es pot realitzar la construcció per a qualsevol R-R bimòdul M. (No funciona amb els mòduls R ordinaris perquè no es poden formar productes tensorials iterats).

Referències

[modifica]
  1. «Tensors: Geometry and Applications» (en anglès). [Consulta: 9 juny 2024].
  2. «tensor calculus» (en anglès). [Consulta: 9 juny 2024].
  3. «Introduction to Tensor Calculus» (en anglès). [Consulta: 9 juny 2024].
  4. «A Gentle Introduction to Tensors» (en anglès). [Consulta: 9 juny 2024].