1 + 1 + 1 + 1 + ⋯

La sèrie 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯

Després d'allisar

Comportament asimptòtic de l'allisament. La recta d'allisament intersecta l'eix y en −1/2.

En matemàtiques, 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯, també escrit $\sum _{n=1}^{\infty }n^{0}$, $\sum _{n=1}^{\infty }1^{n}$, o senzillament $\sum _{n=1}^{\infty }1$, és una sèrie divergent, és a dir: la seva seqüència de sumes parcials no convergeix a un límit en els nombres reals. Es pot entendre la seqüència 1n com a sèrie geomètrica amb la proporció comuna 1. A diferència d'altres sèries geomètriques amb ratio racional (excepte −1), convergeix dins ni els números reals ni en el pp-adic números per algun p. En el context de la recta real estesa

$\sum _{n=1}^{\infty }1=+\infty \,,$

ja que la seva seqüència de sumes parcials creix monòtonament sense estar fitada per dalt.

Sempre que la suma de n⁰ aparegui en aplicacions físiques, es pot interpretar de vegades com la regularització de la funció zeta, com el valor per s = 0 de la funció zeta de Riemann:

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1-2^{1-s}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}\,.$

Tanmateix, les dues fórmules que s'han donat no són vàlides per zero, però la continuació analítica és

$\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s)\!,$

Utilitzant aquesta s'obté (atès que Γ(1) = 1),

$\zeta (0)={\frac {1}{\pi }}\lim _{s\rightarrow 0}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \zeta (1-s)={\frac {1}{\pi }}\lim _{s\rightarrow 0}\ \left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {\pi ^{3}s^{3}}{48}}+...\right)\ \left(-{\frac {1}{s}}+...\right)=-{\frac {1}{2}}$

on la l'expansió en sèrie de potències de ζ(s) al voltant de s = 1 segueix ja que ζ(s) hi té un pol simple de residu. En aquest sentit 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ = ζ(0) = −1/2 .

Emilio Elizalde va comentar sobre aquesta sèrie:

«

En un breu període de menys d'un any, dos físics distingits, A. Slavnov i F. Yndurain, van donar seminaris a Barcelona, sobre diferents temes. Va ser sorprenent que, en totes dues presentacions, en alguns moment el ponent s'adrecés al públic i digués les següents paraules: 'Com tothom sap, 1 + 1 + 1 + ⋯ = −1/2.' Potser volien dir: Si no saps això, no et servirà de res seguir escoltant.

»

Vegeu també

• Grandi sèrie
• 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·
• Sèrie harmònica

Enllaços externs

• Seqüència A000012 OEIS: La seqüència de nombres positius més simple: la seqüència de només 1s