Circumferència circumscrita

Circumferència circumscrita, ${\mathfrak {C}}$, i circumcentre, $O$, d'un polígon cíclic, ${\mathfrak {P}}$

La circumferència circumscrita (o de vegades, el cercle circumscrit o circumcercle) d'un polígon que en tingui és la circumferència que passa per tots els vèrtexs d'aquest polígon. El centre d'aquesta circumferència s'anomena circumcentre, i el seu radi s'anomena circumradi. Un polígon que té una circumferència circumscrita s'anomena polígon cíclic o inscriptible; tots els polígons regulars simples, tots els triangles i tots els rectangles són cíclics, i un cas important són els quadrilàters cíclics.

El circumcentre d'un polígon cíclic equidista de tots els seus vèrtexs i, per tant, és la intersecció de les mediatrius dels costats del polígon.

Una qüestió relacionada amb la circumferència circumscrita és el problema del cercle més petit, que tracta de buscar el cercle d'àrea mínima que conté completament el polígon.

Circumferència circumscrita a un triangle

Circumferència circumscrita a un triangle i ortocentre

Existència

Qualsevol triangle és un polígon cíclic, això és, té una circumferència circumscrita que passa pels seus tres vèrtexs. En efecte, si el punt $O$ és la intersecció de les respectives mediatrius $m_{c}$ i $m_{a}$ dels costats $AB$ i $BC$ del triangle $\triangle ABC$, aquest punt $O$ equidista dels vèrtexs $A$ i $B$ i dels vèrtexs $B$ i $C$, o sigui que

${\overline {OA}}={\overline {OB}}\,$ $\qquad {\overline {OB}}={\overline {OC}}$

Resulta

${\overline {OA}}={\overline {OC}}$

i el punt $O$ també és de la mediatriu $m_{b}$ del costat $AC$ i equidistant als tres vèrtexs $A$, $B$ i $C$ del triangle $\triangle ABC$. En conseqüència, la circumferència ${\mathfrak {C}}$ de centre $O$ i radi

$R={\overline {OA}}={\overline {OB}}={\overline {OC}}$

passa pels tres vèrtexs $A$, $B$ i $C$ del triangle $\triangle ABC$ i n'és, per tant, la circumferència circumscrita a aquest triangle, el radi $R$ n'és el circumradi i el punt $O$ el circumcentre.

El circumcentre d'un triangle

L'anterior prova que:

• Les tres mediatrius d'un triangle es tallen en un punt.
• Aquest punt és el circumcentre del triangle, centre de la circumferència circumscrita.

El circumcentre jau a la recta d'Euler ensems amb el ortocentre i el baricentre del triangle.

Construccions

Segona construcció del circumcentre

1. Per determinar el circumcentre d'un triangle, només cal construir les mediatrius de dos costats: el punt on es tallen és el circumcentre del triangle.
2. Una altra determinació del circumcentre $O$ és possible a partir de la mediatriu $m_{a}$ d'un costat $BC$ del triangle $\triangle ABC$. Es tracta de construir el segment $BO$ de manera que l'angle ${\widehat {BOM}}$ sigui igual a l'angle ${\widehat {A}}$ del triangle. Per fer això només cal construir a l'exterior del triangle un segment $BP$ amb ${\widehat {PBC}}={\widehat {A}}$. Aleshores, la perpendicular a $BP$ que passa pel vèrtex $B$ talla a la mediatriu $m_{a}$ en el punt $O$, que és el circumcentre del triangle.

El punt $O$ és el circumcentre del triangle $\triangle ABC$

Aquesta darrera construcció es justifica així: si el punt $O$ no és l'ortocentre del triangle $\triangle ABC$, aleshores, la circumferència ${\mathfrak {C}}$, amb centre a $O$ i que passa pel vèrtex $B$, passa també pel vèrtex $C$ perque el centre és a la mediatriu $m_{a}$ i talla el costat $AC$ en un punt $A'$. Tenim

${\widehat {MBO}}={\widehat {OCM}}=90^{\circ }-\alpha =90^{\circ }-{\widehat {A}}$

i

${\widehat {ACO}}={\widehat {A'CO}}={\widehat {C}}-{\widehat {OCM}}={\widehat {C}}-\left(90^{\circ }-{\widehat {A}}\right)={\widehat {A}}+{\widehat {C}}-90^{\circ }=180^{\circ }-{\widehat {B}}-90^{\circ }=90^{\circ }-{\widehat {B}}={\widehat {OA'C}}$

perquè el triangle $\triangle A'OC$ és isòsceles, en el qual

${\widehat {COA}}'=180^{\circ }-{\widehat {A'CO}}-{\widehat {OA'C}}=180^{\circ }-2\left(90^{\circ }-{\widehat {B}}\right)=2{\widehat {B}}$

i, com que ${\widehat {BOC}}=2\alpha =2{\widehat {A}}$, resulta

${\widehat {A'OB}}=360^{\circ }-{\widehat {BOC}}-{\widehat {COA}}'=360^{\circ }-2{\widehat {A}}-2{\widehat {B}}=2\left(180^{\circ }-{\widehat {A}}-{\widehat {B}}\right)=2{\widehat {C}}$

i, en el triangle $\triangle BOA'$, que també és isòsceles,

${\widehat {BA'O}}={\dfrac {1}{2}}\,\left(180^{\circ }-{\widehat {A'OB}}\right)={\dfrac {1}{2}}\,\left(180^{\circ }-2{\widehat {C}}\right)=90^{\circ }-{\widehat {C}}$

i, aleshores,

${\widehat {BA'C}}={\widehat {BA'O}}+{\widehat {OA'C}}=90^{\circ }-{\widehat {C}}+90^{\circ }-{\widehat {B}}=180^{\circ }-{\widehat {B}}-{\widehat {C}}={\widehat {A}}$

cosa impossible si no és que els punts $A$ i $A'$ coïncideixen i el punt $O$ és, efectivament, l'ortocentre del triangle $\triangle ABC$.

Posicions del circumcentre

Posicions del circumcentre segons si el triangle és acutangle, rectangle o escalè

Si el triangle és acutangle, el circumcentre és a l'interior del triangle. En els triangles rectangles el segment $OB$ ha de fer un angle recte amb la mediatriu i, per tant, el circumcentre $O$ és el punt mitjà de la hipotenusa. Finalment, en un triangle escalè, el segment $OB$ ha de fer un angle obtús amb la mediatriu i el circumcentre $O$ és a l'exterior del triangle.

Càlcul

El circumradi i el teorema dels sinus

En els dos triangles rectangles en què la mediatriu $m_{a}$ divideix el triangle $\triangle BOC$, la hipotenusa és el circumradi i el catet oposat a l'angle $\alpha$ és $a/2$, la meitat del costat $BC$. Aleshores,

$\sin \alpha =\sin {\widehat {A}}={\frac {a/2}{R}}$

o sigui,

$2R={\frac {a}{\sin {\widehat {A}}}}$

i, de la mateixa manera,

$2R={\frac {b}{\sin {\widehat {B}}}},\qquad 2R={\frac {c}{\sin {\widehat {C}}}}$

tot obtenint la relació

$2R={\frac {a}{\sin {\widehat {A}}}}={\frac {b}{\sin {\widehat {B}}}}={\frac {c}{\sin {\widehat {C}}}}$

que aporta significat a les proporcions del teorema dels sinus i una de les seves demostracions.

Circumradi i àrea del triangle

L'àrea d'un triangle i el seu circumradi estan relacionats. Si $S$ és l'àrea del triangle $\triangle ABC$,

$S={\dfrac {ab\sin {\widehat {C}}}{2}}={\dfrac {bc\sin {\widehat {A}}}{2}}={\dfrac {ac\sin {\widehat {B}}}{2}}$

i, amb les relacions del teorema dels sinus,

$\sin {\widehat {A}}={\dfrac {a}{2R}},\qquad \sin {\widehat {B}}={\dfrac {b}{2R}},\qquad \sin {\widehat {C}}={\dfrac {c}{2R}}$

obtenim

$S={\dfrac {abc}{4R}}$

Circumradi i inradi

Si $r$ és l'inradi d'un triangle $\triangle ABC$ d'àrea $S$,

$S={\dfrac {(a+b+c)r}{2}}$

Aleshores, de

$S={\dfrac {abc}{4R}}={\dfrac {(a+b+c)r}{2}}$

resulta

${\dfrac {abc}{a+b+c}}=2rR$

Vegeu també

• Recta d'Euler
• Circumferència inscrita

Bibliografia

1. Coxeter, Harold Scott MacDonald; Greitzer, Samuel L. Geometry Revisited (en anglès). Washington D. C. (USA): Mathematical Association of America, 1972. ISBN ISBN-0-88385-619-0. 
2. Puig Adam, Pedro. Curso de Geometría Métrica (en castellà). Madrid: Biblioteca Matemática, 1972. 

Enllaços externs

• «Circumferència circumscrita». Gran Enciclopèdia Catalana. Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana.
• Weisstein, Eric W., «Circumcircle» a MathWorld (en anglès).