Descomposició de Schur

En la disciplina matemàtica de l'àlgebra lineal, la descomposició de Schur o triangulació de Schur és una descomposició de matrius. Rep aquest nom pel matemàtic Issai Schur.

Enunciat

La descomposició de Schur té el següent enunciat: si A és una matriu quadrada n×n a entrades complexes, llavors A es pot expressar com

$A=QUQ^{-1}$

on Q és una matriu unitària (de tal manera que la seva inversa Q⁻¹ és també la seva transposada conjugada Q* de Q), i U és una matriu triangular superior, anomenada forma de Schur de A. Com que U és semblant a A, té el mateix multiconjunt de valors propis, i com que és triangular, aquests valors propis són precisament les entrades de la diagonal de U.

La descomposició de Schur implica que existeix una seqüència imbricada de subespais invariants per A: {0} = V₀ ⊂ V₁ ⊂ ... ⊂ V_n = ℂⁿ, i que existeix una base ortonormal (per la forma hermítica estàndard de ℂⁿ), tals que els primers i vectors de la base generen els V_i, amb i a la seqüència imbricada. Reformulat d'una altra manera, la primera part ens diu que una aplicació lineal J sobre un espai vectorial complex de dimensió finita estabilitza una bandera completa (V₁,...,V_n).

Demostració

Vegem-ne ara una demostració constructiva: tot operador A sobre un espai vectorial complex de dimensió finita té un valor propi λ, corresponent a un espai propi V_λ. Sigui V_λ^⊥ el seu complement ortogonal. És senzill veure que, respecte a aquesta descomposició ortogonal, A té la representació (hom pot escollir bases ortonormals qualssevol que generin V_λ i V_λ^⊥ respectivament)

$A={\begin{bmatrix}\lambda \,I_{\lambda }&A_{12}\\0&A_{22}\end{bmatrix}}:{\begin{matrix}V_{\lambda }\\\oplus \\V_{\lambda }^{\perp }\end{matrix}}\rightarrow {\begin{matrix}V_{\lambda }\\\oplus \\V_{\lambda }^{\perp }\end{matrix}}$

on I_λ és l'operador identitat a V_λ. La matriu anterior seria triangular superior excepte pel bloc A₂₂. Però podem seguir el mateix procediment per la submatriu A₂₂, vista com un operador sobre V_λ^⊥, i les seves submatrius. Continuem successivament n cops. Així, esgotarem l'espai ℂⁿ i el procediment ens donarà el resultat desitjat.

Podem reformular lleugerament l'argument anterior d'aquesta manera: sigui λ un valor propi de A, corresponent a un espai propi V_λ. A indueix un operador T en l'espai vectorial quocient ℂⁿ mòdul V_λ. Aquest operador és precisament la submatriu A₂₂ que hem vist abans. Anàlogament, T tindria un espai propi, diem-ne W_μ ⊂ ℂⁿ mòdul V_λ. Notem que l'antiimatge de W_μ per l'aplicació quocient és un subespai invariant de A que conté V_λ. Continuem fins que l'espai quocient resultant tingui dimensió 0. Aleshores, les successives antiimatges dels espais propis que hem trobat en cada pas formen una bandera estabilitzada per A.

Notes

Encara que és cert que tota matriu quadrada té una descomposició de Schur, en general aquesta descomposició no és única. Per exemple, l'espai propi V_λ pot tenir dimensió > 1, i en aquest cas qualsevol base ortonormal de V_λ ens portaria al resultat desitjat.

Escrivim la matriu triangular U com U = D + N, on D és diagonal i N és triangular superior estricta (és a dir, té zeros a la diagonal; per tant és una matriu nilpotent). La matriu diagonal D conté els valors propis de A en un ordre arbitrari (d'aquí, el quadrat de la seva norma de Frobenius és igual a la suma dels quadrats dels valors propis de A, mentre que el quadrat de la norma de Frobenius de A és la suma dels quadrats dels valors singulars de A). La part nilpotent N, en general, tampoc no és única, però la seva norma de Frobenius està determinada unívocament per A (ja que la norma de Frobenius de A és igual a la norma de Frobenius de U = D + N).

És senzill veure que, si A és una matriu normal, llavors U ha de ser una matriu diagonal i els vectors columna de Q són els vectors propis de A. Per tant, la descomposició de Schur generalitza la descomposició espectral. En particular, si A és definida positiva, llavors coincideixen la descomposició de Schur de A, la seva descomposició espectral i la seva descomposició en valors singulars.

Hom pot triangularitzar simultàniament una família commutativa de matrius {A_i}, és a dir, existeix una matriu unitària Q tal que, per qualsevol A_i de la família, es compleix que Q A_i Q* és triangular superior. Això és una conseqüència directa de la demostració anterior. Prenem un element (una matriu) A de {A_i} i de nou considerem un espai propi V_A. Llavors V_A és invariant per totes les matrius a {A_i}. Per tant, totes les matrius de {A_i} han de compartir un vector propi en comú a V_A. La resta de l'argument es demostra per inducció. Com a corol·lari, tenim que tota família commutativa de matrius normals pot ser diagonalitzable de forma simultània.

En el cas de dimensió infinita, no tot operador afitat d'un espai de Banach té un subespai invariant. No obstant, la triangularització superior d'una matriu quadrada arbitrària es pot generalitzar a operadors compactes. Tot operador compacte en un espai de Banach complex té una filtració de subespais invariants tancats.

Aplicacions

Algunes aplicacions a la Teoria de Lie són:

• Qualsevol operador invertible està contingut en un grup de Borel.
• Qualsevol operador fixa un punt de la varietat de banderes.

Descomposició de Schur generalitzada

Donades dues matrius quadrades A i B, la descomposició de Schur generalitzada descompon ambdues matrius com $A=QSZ^{*}$ i $B=QTZ^{*}$, on Q i Z són matrius unitàries, i S i T son triangulars superiors. També es diu que la descomposició de Schur generalitzada és la descomposició QZ.

Els valors propis generalitzats $\lambda$ que són solució del problema generalitzat dels valors propis $Ax=\lambda Bx$ (on x és un vector desconegut no-nul) es poden calcular com el quocient dels elements de la diagonal de S entre els de T. És a dir, usant subíndexs per indicar elements de matrius, l'i-sim valor propi generalitzat $\lambda _{i}$ satisfà $\lambda _{i}=S_{ii}/T_{ii}$.