Matriu normal

En matemàtiques, una matriu quadrada complexa A és normal si

$A^{*}A=AA^{*}\$

on A* és la matriu transposada conjugada d'A. És a dir, una matriu és normal si commuta amb la seva transposta conjugada.

Una matriu A a entrades reals satisfà A*=A^T, i per tant és normal si A^TA = AA^T.

La propietat de ser normal és una comprovació útil per saber si una matriu és diagonalitzable: una matriu és normal si i només si és unitàriament semblant a una matriu diagonal, i per tant qualsevol matriu A que satisfà l'equació A* A=AA* és diagonalitzable.

Hom pot estendre el concepte de matrius normals als operadors normals en un espai de Hilbert de dimensió infinita, i a elements normals en C*-àlgebres. Com en el cas matricial, la normalitat implica que es preserva la commutativitat, allà on sigui possible, en configuracions no commutatives. Això fa que els operadors normals, i els elements normals de C*-àlgebres, siguin més senzills d'analitzar.

Casos especials

En l'àmbit de les matrius complexes, qualsevol matriu unitària, hermítica o antihermítica és normal. Similarment, en l'àmbit de les matrius reals, qualsevol matriu ortogonal, simètrica o antisimètrica és normal.

Tot i això, no és cert en general que tota matriu normal sigui o bé unitària o bé (anti)hermítica. Per il·lustrar un contraexemple, la matriu

$A={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}}$

és normal perquè

$AA^{*}={\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}}=A^{*}A.$

La matriu A no és ni unitària, ni hermítica ni antihermítica.

La suma o el producte de dues matrius normals no és, en general, normal. Això només és cert si commuten.

Si una matriu A és alhora triangular i normal, llavors A és diagonal. Això es pot verificar tot observant les entrades de la diagonal de A^*A i AA^*, on A és una matriu normal i triangular.

Conseqüències

El concepte de normalitat és important perquè les matrius normals són precisament les que compleixen el Teorema espectral: una matriu A és normal si i només si es pot representar mitjançant una matriu diagonal Λ i una matriu unitària U que compleixin la fórmula

$\mathbf {A} =\mathbf {U} \mathbf {\Lambda } \mathbf {U} ^{*}$

on

$\mathbf {\Lambda } =\operatorname {diag} (\lambda _{1},\lambda _{2},\dots )$

$\mathbf {U} ^{*}\mathbf {U} =\mathbf {U} \mathbf {U} ^{*}=\mathbf {I} .$

Els elements λ de la matriu diagonal Λ són els valors propis d'A, i les columnes d'U són els vectors propis d'A. Els valors propis ordenats de Λ es corresponen amb els vectors propis considerats com a columnes ordenades d'U.

Una altra manera de reformular el Teorema espectral és dir que les matrius normals són precisament aquelles que es poden representar per una matriu diagonal respecte a una certa base ortonormal de ℂⁿ. Dit d'una altra manera: una matriu és normal si i només si els seus espais propis generen ℂⁿ i són dos a dos mútuament ortogonals respecte al producte intern definit a ℂⁿ.

El Teorema espectral per matrius normals es pot veure com un cas especial del resultat més general que és vàlid per qualsevol matriu quadrada: la factorització de Schur. De fet, sigui A una matriu quadrada. Aleshores, per la factorització de Schur, aquesta matriu és semblant unitàriament a una matriu triangular superior, diguem-ne B. Si A és normal, llavors també ho és B. Però llavors B ha de ser diagonal, perquè, pel que hem vist més amunt, una matriu normal i triangular superior és diagonal.

El Teorema espectral permet classificar les matrius normals segons llur espectre. Per exemple, una matriu normal és unitària si i només si el seu espectre està contingut en el cercle unitari del pla complex. Addicionalment, una matriu normal és autoadjunta si i només si el seu espectre són tots valors reals.

En general, la suma o el producte de dues matrius normals no té per què ser normal. Tot i això, hi ha un cas especial: si A i B són normals, i es compleix que AB = BA (les matrius A i B commuten), aleshores tant AB com A + B són també normals. Més encara, A i B són diagonalitzables simultàniament, és a dir: tant A com B són diagonalitzables per la mateixa matriu unitària U. Tant UAU^* com UBU^* són matrius diagonals. En aquest cas especial, les columnes d'U^* són vectors propis tant d'A com de B, i formen una base ortonormal dins ℂⁿ. Això és una conseqüència de combinar els teoremes que afirmen que, sobre un cos algebraicament tancat, un parell de matrius commutatives són simultàniament triangularitzables, i que tota matriu normal és diagonalitzable; el resultat combinat diu que aquestes dues transformacions poden fer-se de forma simultània.

Analogies

De vegades pot ser útil (però també pot portar a confusió) pensar en les relacions dels diferents tipus de matrius normals com a anàlogues a les relacions entre diferents tipus de nombres complexos:

• Les matrius invertibles són anàlogues a nombres complexos no-nuls
• La transposada conjugada és anàloga al complex conjugat
• Les matrius unitàries són anàlogues als nombres complexos de valor absolut 1
• Les matrius hermítiques són anàlogues als nombres reals
• Les matrius hermítiques definides positives són anàlogues als nombres reals positius
• Les matrius antihermítiques són anàlogues als nombres imaginaris purs

(Com a cas especial, els nombres complexos poden injectar-se en les matrius reals normals $2\times 2$ per l'aplicació $a+bi\mapsto {\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}$, que conserva la suma i la multiplicació. És fàcil comprovar que aquesta injecció respecta totes les analogies.)

Referències

• Horn, Roger A. & Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6.