Semblança de matrius

En àlgebra lineal, dues matrius A i B de dimensió n × n s'anomenen semblants si

$\!B=P^{-1}AP$

per alguna matriu invertible P de dimensió n × n. Les matrius semblants representen la mateixa aplicació lineal en dues bases diferents, essent P la matriu de canvi de base.

De vegades, hom anomena P una transformació de semblança. En el context de grups de matrius, de vegades la semblança de matrius s'anomena classe de conjugació, on les matrius semblants són conjugades.

Propietats

La semblança és una relació d'equivalència en l'àmbit de les matrius quadrades.

Les matrius semblants comparteixen moltes propietats:

• Rang
• Determinant
• Traça
• Valors propis (tot i que els vectors propis són, en general, diferents)

Si u és un vector propi d'A de valor propi λ, llavors P⁻¹u és un vector propi de B. Hem de demostrar que :$B\,(P^{-1}u)=\lambda (P^{-1}u)$.

$B\,(P^{-1}u)=P^{-1}AP(P^{-1}u)=P^{-1}A(PP^{-1})u=P^{-1}(Au)=P^{-1}\lambda u=\lambda (P^{-1}u)$

• Polinomi característic
• Polinomi mínim (entre altres invariants per semblança de la forma normal de Smith)
• Divisors elementals

Hi ha dos motius pels quals aquestes propietats es mantenen per semblances:

• Dues matrius semblants poden ser considerades com que descriuen la mateixa aplicació lineal, però referides a diferents bases
• L'aplicació lineal X ↦ P⁻¹XP és un automorfisme de l'àlgebra associativa de totes les matrius n × n

Per aquest motiu, donada una matriu A, hom està interessat a trobar una "forma normal" simple B que sigui semblant a A: l'estudi d'A es redueix aleshores a l'estudi de la matriu B, més simple. Per exemple, A s'anomena diagonalitzable si és semblant a una matriu diagonal. No totes les matrius són diagonalitzables, però almenys sobre els nombres complexos (o sobre qualsevol cos algebraicament tancat), tota matriu és semblant a una matriu en forma canònica de Jordan. Una altra forma normal, la forma canònica racional, funciona sobre qualsevol cos. Examinant les formes de Jordan o les formes canòniques racionals d'A i B, hom pot identificar immediatament si són semblants. La forma normal de Smith pot emprar-se per determinar si dues matrius són semblants, tot i que, contràriament a la forma canònica de Jordan i a la forma canònica racional, una matriu no té per què ser semblant a la seva forma normal de Smith.

Notes

La semblança de matrius no depèn del cos base: si L és un cos que conté K com a subcòs, i A i B són dues matrius sobre K, aleshores A i B són semblants sobre K si i només si són semblants considerades sobre L. Això és molt útil: es pot estendre el cos K, per exemple per obtenir un cos algebraicament tancat; es poden calcular les formes de Jordan sobre l'extensió, i aquestes formes normals es poden usar per determinar si les matrius originals són semblants sobre el cos K. Es pot usar aquest procediment, per exemple, per demostrar que qualsevol matriu és semblant a la seva matriu transposada.

A la definició de semblança, si podem escollir la matriu P tal que sigui una matriu permutació, aleshores A i B són semblants per permutacions; si P és una matriu unitària llavors A i B són equivalents unitàries. El teorema espectral diu que tota matriu normal és unitàriament equivalent a alguna matriu diagonal. El teorema de Specht estableix que dues matrius són equivalents unitàries si i només si satisfan certes igualtats sobre les seves traces.

Altres àrees

En teoria de grups, la semblança s'anomena conjugació. En teoria de categories, dondada qualsevol família P_n de matrius invertibles n × n que defineixen una transformació de semblança per totes les matrius rectangulars, que envia la matriu A de dimensió m × n a la matriu P_m⁻¹AP_n, la família defineix un functor que és un automorfisme de la categoria de totes les matrius, on els objectes són els nombres naturals, i morfismes de n a m les matrius m × n compostes via multiplicació de matrius.

Bibliografia

• Horn and Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2. (Es discuteix la semblança en diversos llocs, començant a la pàgina 44).

Vegeu també

• Formes canòniques