Distribució de Laplace multivariant

Distribució de Laplace multivariant

Tipus	Distribució el·líptica i asymmetric multivariate Laplace distribution (en)

En la teoria matemàtica de la probabilitat, les distribucions multivariables de Laplace són extensions de la distribució de Laplace i la distribució asimètrica de Laplace a múltiples variables. Les distribucions marginals de les variables de distribució de Laplace multivariables simètriques són distribucions de Laplace. Les distribucions marginals de les variables de distribució de Laplace multivariables asimètriques són distribucions de Laplace asimètriques.

Distribució de Laplace multivariant simètrica

Una caracterització típica de la distribució de Laplace multivariant simètrica té la funció característica:

$\varphi (t;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})={\frac {\exp(i{\boldsymbol {\mu }}'\mathbf {t} )}{1+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {t} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} }},$

on ${\boldsymbol {\mu }}$ és el vector de mitjanes de cada variable i ${\boldsymbol {\Sigma }}$ és la matriu de covariància.

A diferència de la distribució normal multivariant, fins i tot si la matriu de covariància té zero covariància i correlació, les variables no són independents. La distribució de Laplace multivariant simètrica és el·líptica.

Funció de densitat de probabilitat

Si ${\boldsymbol {\mu }}=\mathbf {0}$, la funció de densitat de probabilitat (pdf) per a una distribució de Laplace multivariant k -dimensional es converteix en:

Multivariate Laplace distribution

$f_{\mathbf {x} }(x_{1},\ldots ,x_{k})={\frac {2}{(2\pi )^{k/2}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{0.5}}}\left({\frac {\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x} }{2}}\right)^{v/2}K_{v}\left({\sqrt {2\mathbf {x} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {x} }}\right),$

on:

$v=(2-k)/2$ i $K_{v}$ és la funció de Bessel modificada del segon tipus.

Distribució de Laplace multivariant asimètrica

Una caracterització típica de la distribució de Laplace multivariant asimètrica té la funció característica:

$\varphi (t;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})={\frac {1}{1+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {t} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} -i{\boldsymbol {\mu }}\mathbf {t} }}.$

Igual que amb la distribució de Laplace multivariant simètrica, la distribució de Laplace multivariant asimètrica té una mitjana ${\boldsymbol {\mu }}$, però la covariància esdevé ${\boldsymbol {\Sigma }}+{\boldsymbol {\mu }}'{\boldsymbol {\mu }}$. La distribució de Laplace multivariant asimètrica no és el·líptica tret que ${\boldsymbol {\mu }}=\mathbf {0}$, en aquest cas la distribució es redueix a la distribució de Laplace multivariant simètrica amb ${\boldsymbol {\mu }}=\mathbf {0}$.