Funció de Lommel

Les funcions de Lommel són funcions especials que són les solucions de l'equació diferencial de Lommel, que és una forma no homogénea de l'equació diferencial de Bessel:

z^{2}{\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+z{\frac {dy}{dz}}+(z^{2}-\nu ^{2})y=z^{\mu +1}.

Les solucions d'aquesta equació poden representar-se com combinacions lineals de les anomenades funcions de Lommel, de les que hi ha dos tipus (les funcions s_μ,ν(z) i les funcions S_μ,ν(z)), introduïdes per Eugen von Lommel (1880) :

s_{\mu ,\nu }(z)={\frac {\pi }{2}}\left[Y_{\nu }(z)\!\int _{0}^{z}\!\!x^{\mu }J_{\nu }(x)\,dx-J_{\nu }(z)\!\int _{0}^{z}\!\!x^{\mu }Y_{\nu }(x)\,dx\right],

S_{\mu ,\nu }(z)=s_{\mu ,\nu }(z)+2^{\mu -1}\Gamma \left({\frac {\mu +\nu +1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {\mu -\nu +1}{2}}\right)\left(\sin \left[(\mu -\nu ){\frac {\pi }{2}}\right]J_{\nu }(z)-\cos \left[(\mu -\nu ){\frac {\pi }{2}}\right]Y_{\nu }(z)\right).

on J_ν(z) és una funció de Bessel del primer tipus i Y_ν(z) una funció Bessel del segon tipus.

Funcions de Lommel dependents d'una sola variable

Les funcions de Lommel dependents d'una sola variable $s_{\mu ,\nu }(z)$ i $S_{\mu ,\nu }(z)$ satisfant l'equació diferencial lineal anomenada «equació de Lommel»:

z^{2}{\frac {dy}{dz^{2}}}+z{\frac {dy}{dz}}+(z^{2}-\nu ^{2})y=z^{\mu +1}

La funció $s_{\mu ,\nu }(z)$ és la solució, que es pot desenvolupar com una sèrie de potències:

s_{\mu ,\nu }(z)=z^{\mu -1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(z/2)^{2n+2}\Gamma ((\mu -\nu +1)/2)\Gamma ((\mu +\nu +1)/2)}{\Gamma ((\mu -\nu +3)/2+n)\Gamma ((\mu +\nu +3)/2+n)}}

Les solucions de l'equació diferencial lineal són $s_{\mu ,\nu }(z)+AJ_{\nu }(z)+BJ_{-\nu }(z)$ , on $J_{\pm \nu }$ és la funció de Bessel.

La funció $S_{\mu ,\nu }(z)$ és definida com:

S_{\mu ,\nu }(z)=s_{\mu ,\nu }(z)+{\frac {2^{\mu -1}\Gamma ((\mu -\nu +1)/2)\Gamma ((\mu +\nu +1)/2)}{\sin \pi \nu }}\left[\cos(\pi (\mu -\nu )/2)\;J_{-\nu }(z)-\cos(\pi (\mu +\nu )/2)\;J_{\nu }(z)\right]

.

Les funcions d'Anger, les funcions de Weber i les funcions de Struve són casos especials de funcions de Lommel.

Funcions de Lommel dependents de dues variables

Les funcions $U_{n}(w,z)$ i $V_{n}(w,z)$ es defineixen com a sèries de Neumann, és a dir, com a desenvolupament basat en les funcions de Bessel:

U_{\nu }(w,z)=\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}\left({\frac {w}{z}}\right)^{\nu +2m}J_{\nu +2m}(z)

V_{\nu }(w,z)=\cos \left({\frac {w}{2}}+{\frac {z}{2w}}+{\frac {\nu \pi }{2}}\right)+U_{2-\nu }(w,z)

Aquestes funcions són importants en la teoria de la difracció.

Referències

Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. «Higher transcendental functions» ( PDF). McGraw-Hill Book Company, Inc. [Nova York-Toronto-London], II, 1953. Arxivat de l'original el 2011-07-14 [Consulta: 15 març 2019].
Lommel, E. «Ueber eine mit den Bessel'schen Functionen verwandte Function» (en anglès). Math. Ann., 3, 1875, pàg. 425–444. DOI: 10.1007/BF01443342.
Lommel, E. «Zur Theorie der Bessel'schen Funktionen IV» (en anglès). Math. Ann., 2, 1880, pàg. 183–208. DOI: 10.1007/BF01446386.
Paris, R. B. (2010), "Lommel function", en Olver Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255, MR 2723248
Solomentsev, E.D.. Michiel Hazewinkel (ed.). l/l060800. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.

Bibliografia

E. Lommel Ueber eine mit den Bessel'schen Functionen verwandte Function Math. Ann. 9, 425 (1876) (alemany)
G. N. Watson A treatise on the theory of the Bessel functions (Cambridge University Press, 1922) pp. 345-352 (alemany)
E. Lommel Abh. der Math. Phys. classe der k. b. Akad. der Wiss. (Munchen) 15 P. 229 (1886) (alemany)
E. Lommel Abh. der Math. Phys. classe der k. b. Akad. der Wiss. (Munchen) 15 P. 529 (1886) (alemany)
J. Walker The analytical theory of light (Cambridge University Press, 1904) (anglès)
G. N. Watson A treatise on the theory of the Bessel functions (Cambridge University Press, 1922) pp. 537-550 (anglès)
A. Gray e G. B. Mathews A treatise on Bessel functions and their applications to physics pp. 165-209 (London: Macmillan and co., 1895) (anglès)

Vegeu també

Enllaços externs

Weisstein, Eric W. "Lommel Differential Equation." de MathWorld—A Wolfram Web Resource (anglès).
Weisstein, Eric W. "Lommel Function." de MathWorld—A Wolfram Web Resource (anglès).