Una semirecta per l'origen talla la hipèrbola
x
2
−
y
2
=
1
{\displaystyle \scriptstyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1}
(
cosh
a
,
sinh
a
)
{\displaystyle \scriptstyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)}
a
{\displaystyle \scriptstyle a}
versió animada amb la comparació amb les funcions trigonomètriques (circulars).) En matemàtiques , les funcions hiperbòliques són unes funcions amb unes propietats anàlogues a les de les funcions trigonomètriques (o circulars). Les funcions hiperbòliques bàsiques són el cosinus hiperbòlic (simbolitzat per cosh) i el sinus hiperbòlic (sinh), de les quals deriven la tangent hiperbòlica (tanh) i les altres, secant hiperbòlica (sech), cosecant hiperbòlica (csch) i cotangent hiperbòlica (coth), de la mateixa manera que a partir del cosinus (cos) i el sinus (sin) deriven les altres funcions trigonomètriques (tan, sec, csc i cot). Els seus símbols s'obtenen sufixant una h als símbols de les funcions trigonomètriques corresponents.
Les funcions hiperbòliques, en un domini apropiat, tenen unes funcions inverses que es representen amb una notació similar, amb el prefix arg - (per argument ), o prefixos més breus, com ar- (per àrea), o fins i tot a-. Així, la funció inversa del cosinus hiperbòlic es representa per argcosh (o arcosh, o acosh); anàlogament les altres.
De la mateixa manera que els punts (cost ,sint ) formen una circumferència de radi 1, els punts (cosht ,sinht ) formen la meitat dreta de la hipèrbola equilàtera. Així, les funcions hiperbòliques prenen valors reals per a un argument real, a vegades anomenat angle hiperbòlic . En anàlisi complexa , les funcions hiperbòliques són simplement funcions racionals de les exponencials .
Les funcions hiperbòliques ocorren en la resolució d'algunes equacions diferencials lineals importants, per exemple la que defineix la catenària , i també en la resolució de l'equació de Laplace en coordenades cartesianes , d'importància fonamental en física .
Les funcions hiperbòliques van ser introduïdes vora els anys 1760 independentment per Vincenzo Riccati i Johann Heinrich Lambert .[ 1] Sc. i Cc. ([co]sinus circulare ) per a referir-se a les funcions circulars, i Sh. i Ch. ([co]sinus hyperbolico ) per a referir-se a les funcions hiperbòliques. Lambert adoptà els noms però en canvià les abreviatures.[ 2] Sh i Ch s'usen encara sovint.
[ modifica ] (a) cosh(
x ) és la
mitjana de
ex i
e−x .
(b) sinh(
x ) és la meitat de la
diferència de
ex i
e−x .
Les funcions hiperbòliques cosh i sinh, obtingudes a partir de les funcions exponencials
e
x
{\displaystyle e^{x}}
i
e
−
x
{\displaystyle e^{-x}}
.
Les funcions hiperbòliques són:[ 3]
sinh
x
=
e
x
−
e
−
x
2
=
e
2
x
−
1
2
e
x
{\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}}
cosh
x
=
e
x
+
e
−
x
2
=
e
2
x
+
1
2
e
x
{\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}}
tanh
x
=
sinh
x
cosh
x
=
e
x
−
e
−
x
e
x
+
e
−
x
=
e
2
x
−
1
e
2
x
+
1
{\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}}
coth
x
=
cosh
x
sinh
x
=
e
x
+
e
−
x
e
x
−
e
−
x
=
e
2
x
+
1
e
2
x
−
1
{\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}}
sech
x
=
(
cosh
x
)
−
1
=
2
e
x
+
e
−
x
=
2
e
x
e
2
x
+
1
{\displaystyle \operatorname {sech} \,x=\left(\cosh x\right)^{-1}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}}
csch
x
=
(
sinh
x
)
−
1
=
2
e
x
−
e
−
x
=
2
e
x
e
2
x
−
1
{\displaystyle \operatorname {csch} \,x=\left(\sinh x\right)^{-1}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}}
Les funcions hiperbòliques també es poden introduir a partir dels "angles circulars imaginaris":
sinh
x
=
−
i
sin
i
x
{\displaystyle \sinh x=-{\rm {i}}\sin {\rm {i}}x\!}
cosh
x
=
cos
i
x
{\displaystyle \cosh x=\cos {\rm {i}}x\!}
tanh
x
=
−
i
tan
i
x
{\displaystyle \tanh x=-{\rm {i}}\tan {\rm {i}}x\!}
coth
x
=
i
cot
i
x
{\displaystyle \coth x={\rm {i}}\cot {\rm {i}}x\!}
sech
x
=
sec
i
x
{\displaystyle \operatorname {sech} \,x=\sec {{\rm {i}}x}\!}
csch
x
=
i
csc
i
x
{\displaystyle \operatorname {csch} \,x={\rm {i}}\,\csc \,{\rm {i}}x\!}
on i és la unitat imaginària .
Les formes complexes d'aquestes definicions deriven de la fórmula d'Euler .
Funció
Domini
Recorregut
sinh
x
{\displaystyle \sinh x}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
cosh
x
{\displaystyle \cosh x}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
[1, ∞)
tanh
x
{\displaystyle \tanh x}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
(-1, 1)
coth
x
{\displaystyle \coth x}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
(-∞, -1)∪(1, ∞)
sech
x
{\displaystyle \operatorname {sech} x}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
(0, 1]
csch
x
{\displaystyle \operatorname {csch} x}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
reals .[ 4]
sinh , cosh i tanh csch , sech i coth Igual que les funcions trigonomètriques, les funcions hiperbòliques tenen una paritat definida
sinh
(
−
x
)
=
−
sinh
x
{\displaystyle \sinh(-x)=-\sinh x\,\!}
cosh
(
−
x
)
=
cosh
x
{\displaystyle \cosh(-x)=\cosh x\,\!}
d'on es dedueix que
tanh
(
−
x
)
=
−
tanh
x
{\displaystyle \tanh(-x)=-\tanh x\,\!}
coth
(
−
x
)
=
−
coth
x
{\displaystyle \coth(-x)=-\coth x\,\!}
sech
(
−
x
)
=
sech
x
{\displaystyle \operatorname {sech} (-x)=\operatorname {sech} \,x\,\!}
csch
(
−
x
)
=
−
csch
x
{\displaystyle \operatorname {csch} (-x)=-\operatorname {csch} \,x\,\!}
Així doncs cosh i sech són funcions parelles , mentre que les altres són imparelles.
argsech
x
=
argcosh
1
x
{\displaystyle \operatorname {argsech} \,x=\operatorname {argcosh} {\frac {1}{x}}}
argcoth
x
=
argtanh
1
x
{\displaystyle \operatorname {argcoth} \,x=\operatorname {argtanh} {\frac {1}{x}}}
El sinus i el cosinus hiperbòlics satisfan la identitat[ 5]
cosh
2
x
−
sinh
2
x
=
1
{\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1\,}
similar a la identitat trigonomètrica fonamental .
(Notem que, per conveni, cosh² x significa (cosh x )², no pas cosh(cosh x ), i anàlogament per a les altres funcions hiperbòliques.)
Altres identitats són
tanh
2
x
=
1
−
sech
2
x
{\displaystyle \tanh ^{2}x=1-\operatorname {sech} ^{2}x}
coth
2
x
=
1
+
csch
2
x
{\displaystyle \coth ^{2}x=1+\operatorname {csch} ^{2}x}
La tangent hiperbòlica és la solució al problema de contorn no lineal [ 6]
1
2
f
″
=
f
3
−
f
;
f
(
0
)
=
f
′
(
∞
)
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{2}}f''=f^{3}-f\qquad ;\qquad f(0)=f'(\infty )=0}
Es pot mostrar que l'àrea sota el graf de coshx és sempre igual a la longitud d'arc:[ 7]
area
=
∫
a
b
cosh
x
d
x
=
∫
a
b
1
+
(
d
d
x
cosh
x
)
2
d
x
=
longitud d'arc
.
{\displaystyle {\text{area}}=\int _{a}^{b}{\cosh {x}}\ dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {d}{dx}}\cosh {x}\right)^{2}}}\ dx={\text{longitud d'arc}}.}
Funcions inverses com logaritmes [ modifica ] Es compleixen les següents identitats[ 8] [ 9]
argsinh
x
=
ln
(
x
+
x
2
+
1
)
{\displaystyle \operatorname {argsinh} \,x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}
argcosh
x
=
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
;
x
≥
1
{\displaystyle \operatorname {argcosh} \,x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1}
argtanh
x
=
1
2
ln
1
+
x
1
−
x
;
|
x
|
<
1
{\displaystyle \operatorname {argtanh} \,x={\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}};\left|x\right|<1}
argcoth
x
=
1
2
ln
x
+
1
x
−
1
;
|
x
|
>
1
{\displaystyle \operatorname {argcoth} \,x={\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}};\left|x\right|>1}
argsech
x
=
ln
1
+
1
−
x
2
x
;
0
<
x
≤
1
{\displaystyle \operatorname {argsech} \,x=\ln {\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}};0<x\leq 1}
argcsch
x
=
ln
(
1
x
+
1
+
x
2
|
x
|
)
{\displaystyle \operatorname {argcsch} \,x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{\left|x\right|}}\right)}
d
d
x
sinh
x
=
cosh
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sinh x=\cosh x\,}
d
d
x
cosh
x
=
sinh
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cosh x=\sinh x\,}
d
d
x
tanh
x
=
1
−
tanh
2
x
=
sech
2
x
=
1
/
cosh
2
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh x=1-\tanh ^{2}x={\hbox{sech}}^{2}x=1/\cosh ^{2}x\,}
d
d
x
coth
x
=
1
−
coth
2
x
=
−
csch
2
x
=
−
1
/
sinh
2
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\coth x=1-\coth ^{2}x=-{\hbox{csch}}^{2}x=-1/\sinh ^{2}x\,}
d
d
x
csch
x
=
−
coth
x
csch
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ {\hbox{csch}}\,x=-\coth x\ {\hbox{csch}}\,x\,}
d
d
x
sech
x
=
−
tanh
x
sech
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ {\hbox{sech}}\,x=-\tanh x\ {\hbox{sech}}\,x\,}
d
d
x
argsinh
x
=
1
x
2
+
1
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {argsinh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}}
d
d
x
argcosh
x
=
1
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {argcosh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
d
d
x
argtanh
x
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {argtanh} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}}
d
d
x
argcsch
x
=
−
1
|
x
|
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {argcsch} \,x=-{\frac {1}{\left|x\right|{\sqrt {1+x^{2}}}}}}
d
d
x
argsech
x
=
−
1
x
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {argsech} \,x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}}
d
d
x
argcoth
x
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {argcoth} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}}
Per a una llista completa d'integrals de funcions hiperbòliques, vegeu llista d'integrals de funcions hiperbòliques
∫
sinh
a
x
d
x
=
a
−
1
cosh
a
x
+
C
{\displaystyle \int \sinh ax\,dx=a^{-1}\cosh ax+C}
∫
cosh
a
x
d
x
=
a
−
1
sinh
a
x
+
C
{\displaystyle \int \cosh ax\,dx=a^{-1}\sinh ax+C}
∫
tanh
a
x
d
x
=
a
−
1
ln
(
cosh
a
x
)
+
C
{\displaystyle \int \tanh ax\,dx=a^{-1}\ln(\cosh ax)+C}
∫
coth
a
x
d
x
=
a
−
1
ln
(
sinh
a
x
)
+
C
{\displaystyle \int \coth ax\,dx=a^{-1}\ln(\sinh ax)+C}
∫
d
u
a
2
+
u
2
=
arg
sinh
(
u
a
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}=\operatorname {arg} \sinh \left({\frac {u}{a}}\right)+C}
∫
d
u
u
2
−
a
2
=
arg
cosh
(
u
a
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}=\operatorname {arg} \cosh \left({\frac {u}{a}}\right)+C}
∫
d
u
a
2
−
u
2
=
a
−
1
arg
tanh
(
u
a
)
+
C
;
u
2
<
a
2
{\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}=a^{-1}\operatorname {arg} \tanh \left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}<a^{2}}
∫
d
u
a
2
−
u
2
=
a
−
1
arg
coth
(
u
a
)
+
C
;
u
2
>
a
2
{\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}=a^{-1}\operatorname {arg} \coth \left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}>a^{2}}
∫
d
u
u
a
2
−
u
2
=
−
a
−
1
arg
sech
(
u
a
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}=-a^{-1}\operatorname {arg} \operatorname {sech} \left({\frac {u}{a}}\right)+C}
∫
d
u
u
a
2
+
u
2
=
−
a
−
1
arg
csch
|
u
a
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}=-a^{-1}\operatorname {arg} \operatorname {csch} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C}
On C és una constant d'integració .
[ modifica ] Les funcions hiperbòliques es poden expressar com a sèries de Taylor :
sinh
x
=
x
+
x
3
3
!
+
x
5
5
!
+
x
7
7
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
{\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}
cosh
x
=
1
+
x
2
2
!
+
x
4
4
!
+
x
6
6
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
(
2
n
)
!
{\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}
tanh
x
=
x
−
x
3
3
+
2
x
5
15
−
17
x
7
315
+
⋯
=
∑
n
=
1
∞
2
2
n
(
2
2
n
−
1
)
B
2
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
,
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \tanh x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}
coth
x
=
x
−
1
+
x
3
−
x
3
45
+
2
x
5
945
+
⋯
=
x
−
1
+
∑
n
=
1
∞
2
2
n
B
2
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
,
0
<
|
x
|
<
π
{\displaystyle \coth x=x^{-1}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots =x^{-1}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi }
sèrie de Laurent )
sech
x
=
1
−
x
2
2
+
5
x
4
24
−
61
x
6
720
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
E
2
n
x
2
n
(
2
n
)
!
,
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \operatorname {sech} \,x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}
csch
x
=
x
−
1
−
x
6
+
7
x
3
360
−
31
x
5
15120
+
⋯
=
x
−
1
+
∑
n
=
1
∞
2
(
1
−
2
2
n
−
1
)
B
2
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
,
0
<
|
x
|
<
π
{\displaystyle \operatorname {csch} \,x=x^{-1}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots =x^{-1}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi }
sèrie de Laurent )on
B
n
{\displaystyle B_{n}\,}
nombres de Bernouilli i
E
n
{\displaystyle E_{n}\,}
nombres d'Euler .
[ modifica ] Considereu aquests dos subconjunts del pla cartesià
A
=
{
(
cosh
t
,
sinh
t
)
∣
t
∈
R
}
,
B
=
{
(
cos
t
,
sin
t
)
∣
t
∈
R
}
.
{\displaystyle A=\lbrace (\cosh t,\sinh t)\mid t\in \mathbf {R} \rbrace ,\quad B=\lbrace (\cos t,\sin t)\mid t\in \mathbf {R} \rbrace .}
Llavors A forma la branca dreta de la hipèrbola equilàtera d'equació
x ² − y ² = 1,
mentre que B és la circumferència unitat . La diferència primària és que l'aplicació que parametritza B és una funció periòdica mentre que la que parametritza A no és.
Ambdues parametritzacions són de fet grups uniparamètrics , per bé que B és compacte i A no ho és.
Les funcions hiperbòliques satisfan diverses identitats, similars a les identitats trigonometric . De fet, la regla d'Osborn' [ 10]
sinh
(
x
+
y
)
=
sinh
x
cosh
y
+
cosh
x
sinh
y
{\displaystyle \sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\,}
cosh
(
x
+
y
)
=
cosh
x
cosh
y
+
sinh
x
sinh
y
{\displaystyle \cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\,}
tanh
(
x
+
y
)
=
tanh
x
+
tanh
y
1
+
tanh
x
tanh
y
{\displaystyle \tanh(x+y)={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\,}
les fórmules d'argument doble
sinh
2
x
=
2
sinh
x
cosh
x
{\displaystyle \sinh 2x\ =2\sinh x\cosh x\,}
cosh
2
x
=
cosh
2
x
+
sinh
2
x
=
2
cosh
2
x
−
1
=
2
sinh
2
x
+
1
{\displaystyle \cosh 2x\ =\cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=2\cosh ^{2}x-1=2\sinh ^{2}x+1\,}
tanh
2
x
=
2
tanh
x
1
+
tanh
2
x
{\displaystyle \tanh 2x\ ={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}}\,}
o les d'argument meitat
sinh
x
2
=
1
2
(
cosh
x
−
1
)
{\displaystyle \sinh {\tfrac {x}{2}}={\sqrt {{\tfrac {1}{2}}(\cosh x-1)}}\,}
cosh
x
2
=
1
2
(
cosh
x
+
1
)
{\displaystyle \cosh {\tfrac {x}{2}}={\sqrt {{\tfrac {1}{2}}(\cosh x+1)}}\,}
La derivada de sinhx és coshx i la de coshx és sinhx ; això és similar a les funcions trigonomètriques, per bé que el signe és diferent (la derivada de cosx és −sinx ).
El gràfic de la funció a cosh(x /a ) és la catenària , la corba descrita per una cadena flexible uniforme que penja lliurement entre dos punts fixats en un camp gravitatori uniforme.
[ modifica ] De les definicions del sinus hiperbòlic i el cosinus hiperbòlic podem obtenir les identitats següents:
e
x
=
cosh
x
+
sinh
x
{\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x\!}
i
e
−
x
=
cosh
x
−
sinh
x
.
{\displaystyle e^{-x}=\cosh x-\sinh x.\!}
Aquestes expressions són anàlogues a les expressions del cosinus i el sinus, basades en la fórmula d'Euler , com a sumes d'exponencials complexes.
[ modifica ] Atès que la funció exponencial es pot definir per a qualsevol argument complex , es poden estendre les definicions de les funcions hiperbòliques també a arguments complexos. Les funcions cosh i sinh així definides són holomorfes .
Les relacions amb les funcions trigonomètriques usuals venen donades per la fórmula d'Euler per a nombres complexos:
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\;\sin x}
e
−
i
x
=
cos
x
−
i
sin
x
{\displaystyle e^{-ix}=\cos x-i\;\sin x}
de manera que
cosh
i
x
=
1
2
(
e
i
x
+
e
−
i
x
)
=
cos
x
{\displaystyle \cosh ix={\tfrac {1}{2}}(e^{ix}+e^{-ix})=\cos x}
sinh
i
x
=
1
2
(
e
i
x
−
e
−
i
x
)
=
i
sin
x
{\displaystyle \sinh ix={\tfrac {1}{2}}(e^{ix}-e^{-ix})=i\sin x}
cosh
(
x
+
i
y
)
=
cosh
(
x
)
cos
(
y
)
+
i
sinh
(
x
)
sin
(
y
)
{\displaystyle \cosh(x+iy)=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\,}
sinh
(
x
+
i
y
)
=
sinh
(
x
)
cos
(
y
)
+
i
cosh
(
x
)
sin
(
y
)
{\displaystyle \sinh(x+iy)=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\,}
tanh
i
x
=
i
tan
x
{\displaystyle \tanh ix=i\tan x\,}
cosh
x
=
cos
i
x
{\displaystyle \cosh x=\cos ix\,}
sinh
x
=
−
i
sin
i
x
{\displaystyle \sinh x=-i\sin ix\,}
tanh
x
=
−
i
tan
i
x
{\displaystyle \tanh x=-i\tan ix\,}
Així, les funcions hiperbòliques són periòdiques amb període
2
π
i
{\displaystyle 2\pi i}
π
i
{\displaystyle \pi i}
Les funcions hiperbòliques en el pla complex
sinh complex cosh complex tanh complexa cotanh complexa sech complexa cosech complexa
sinh
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {sinh} (z)}
cosh
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {cosh} (z)}
tanh
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {tanh} (z)}
coth
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {coth} (z)}
sech
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {sech} (z)}
csch
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {csch} (z)}
↑ Robert E. Bradley, Lawrence A. D'Antonio, Charles Edward Sandifer. Euler at 300: an appreciation . Mathematical Association of America, 2007. Pàgina 100.
↑ Georg F. Becker. Hyperbolic functions . Read Books, 1931. Pàgina xlviii.
↑ «Comprehensive List of Algebra Symbols » (en anglès americà), 25-03-2020. ↑ «Hyperbolic Functions ». Arxivat de l'original el 2021-10-19. [Consulta: 17 març 2021]. ↑ Weisstein , Eric W. «Hyperbolic Functions » (en anglès).↑ Eric W. Weisstein . «Hyperbolic Tangent ». MathWorld . [Consulta: 20 octubre 2008].↑ N.P. , Bali. Golden Intergral Calculus ISBN 8-170-08169-6 Extracte de la pàgina 472 ↑ Weisstein , Eric W. «Inverse Hyperbolic Functions » (en anglès).↑ «Inverse hyperbolic functions - Encyclopedia of Mathematics ». ↑ G. Osborn, Mnemonic for hyperbolic formulae , The Mathematical Gazette, p. 189, vol. 2, núm. 34, juliol 1902.
