Constants trigonomètriques exactes dels angles múltiples de 30 i de 45 graus representades en la circumferència goniomètrica Les expressions per a les constants trigonomètriques exactes de vegades són útils, principalment per a simplificar altres expressions, transformant-les de manera que en comptes d'intervenir funcions trigonomètriques intervinguin radicals que després es poden simplificar.
Tots els valors de les funcions trigonomètriques d'angles múltiples de 3° es poden obtenir a partir de les identitats trigonomètriques de l'angle meitat i de la suma i diferència d'angles, i dels valors de les funcions trigonomètriques dels angles de 0°, 30°, 36° i 45°. Fixeu-vos que 1° = π/180 radians .
Aquest article és incomplet, almenys en dos sentits. Primer, sempre es pot aplicar la fórmula de l'angle meitat per a trobar l'expressió de cosinus de la meitat de l'angle més petit de la taula. En segon lloc, aquest article només fa servir els dos primers dels cinc nombres primers de Fermat coneguts: 3 i 5; i les funcions trigonomètriques d'altres angles, com ara 2π/7, 2π/9 (= 40°), i 2π/13 (així com altres polígons construïbles , 2π/17, 2π/257, or 2π/65537) també són resolubles per radicals . A la pràctica, tots els valors de les funcions trigonomètriques que no es troben en aquest article s'aproximen fent servir tècniques que es descriuen en l'article Construcció de les taules trigonomètriques .
[ modifica ] Tots els valors de les funcions trigonomètriques dels angles múltiples de 3° es poden calcular a partir dels valors dels angles de 30,45 i 36 graus. Tot seguit s'explica com es calculen els valors de les constants trigonomètriques d'aquests angles de partida.
La corda(60°) = r/r = 1 Observant l'hexàgon de la figura, l'angle que formen els dos radis és de 360°/6=60° i l'angle que formen els radis amb els costats és de 120°/2=60°, per tant el triangle format pels dos radis i el costat és equilàter. Llavors la corda de l'angle que formen els dos radis, és a dir la corda de 60° és:
crd
(
60
∘
)
=
r
r
=
1
{\displaystyle {\text{crd}}\left(60^{{}^{\circ }}\right)={\frac {r}{r}}=1}
Per tant el sinus de l'angle de 30° ha de ser:
sin
(
30
∘
)
=
1
2
crd
(
2
⋅
30
∘
)
=
1
2
{\displaystyle \sin \left(30^{{}^{\circ }}\right)={\frac {1}{2}}{\text{crd}}\left(2\cdot 30^{{}^{\circ }}\right)={\frac {1}{2}}}
Aplicant la identitat trigonomètrica de Pitàgores s'obté el cosinus:
cos
(
30
∘
)
=
1
−
sin
2
(
30
∘
)
=
1
−
(
1
2
)
2
=
3
2
{\displaystyle \cos \left(30^{{}^{\circ }}\right)={\sqrt {1-\sin ^{2}\left(30^{{}^{\circ }}\right)}}={\sqrt {1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}}
Aplicant la identitat trigonomètrica de l'angle triple es té:
cos
(
3
⋅
30
∘
)
=
4
cos
3
(
30
∘
)
−
3
cos
(
30
∘
)
4
cos
3
(
30
∘
)
−
3
cos
(
30
∘
)
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}&\cos \left(3\cdot 30^{{}^{\circ }}\right)=4\cos ^{3}\left(30^{{}^{\circ }}\right)-3\cos \left(30^{{}^{\circ }}\right)\\&4\cos ^{3}\left(30^{{}^{\circ }}\right)-3\cos \left(30^{{}^{\circ }}\right)=0\\\end{aligned}}}
Com que cos(30) és diferent de zero, dividint per cos(30) i resolent queda:
4
cos
2
(
30
∘
)
−
3
=
0
cos
(
30
∘
)
=
3
2
{\displaystyle {\begin{aligned}&4\cos ^{2}\left(30^{{}^{\circ }}\right)-3=0\\&\cos \left(30^{{}^{\circ }}\right)={\frac {\sqrt {3}}{2}}\\\end{aligned}}}
A partir d'aquí aplicant la identitat pitagòrica:
sin
(
30
∘
)
=
1
−
cos
2
(
30
∘
)
=
1
−
(
3
2
)
2
=
4
−
3
4
=
1
2
{\displaystyle \sin \left(30^{{}^{\circ }}\right)={\sqrt {1-\cos ^{2}\left(30^{{}^{\circ }}\right)}}={\sqrt {1-\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{2}}}={\sqrt {\frac {4-3}{4}}}={\frac {1}{2}}}
A partir del teorema de Pitàgores la corda(90°) = L/r = √2 Observant el quadrat la figura, l'angle que formen els dos radis és de 90°, per tant pel teorema de Pitàgores la longitud del costat ha de ser:
L
=
r
2
+
r
2
=
r
2
{\displaystyle L={\sqrt {r^{2}+r^{2}}}=r{\sqrt {2}}}
Llavors la corda de l'angle de 90° resulta:
crd
(
90
∘
)
=
L
r
=
r
2
r
=
2
{\displaystyle {\text{crd}}\left(90^{{}^{\circ }}\right)={\frac {L}{r}}={\frac {r{\sqrt {2}}}{r}}={\sqrt {2}}}
Per tant el sinus de 45° és:
sin
(
45
∘
)
=
1
2
crd
(
2
⋅
45
∘
)
=
2
2
{\displaystyle \sin \left(45^{{}^{\circ }}\right)={\frac {1}{2}}{\text{crd}}\left(2\cdot 45^{{}^{\circ }}\right)={\frac {\sqrt {2}}{2}}}
I aplicant la identitat pitagòrica, el cosinus és:
cos
(
45
∘
)
=
1
−
sin
2
(
45
∘
)
=
1
−
(
2
2
)
=
4
−
2
4
=
2
2
{\displaystyle \cos \left(45^{{}^{\circ }}\right)={\sqrt {1-\sin ^{2}\left(45^{{}^{\circ }}\right)}}={\sqrt {1-\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)}}={\sqrt {\frac {4-2}{4}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}}
Aplicant les identitats trigonomètriques de l'angle meitat a 90°/2=45° i tenint en compte que cos(90°)=0, dona de forma immediata:
sin
(
90
∘
2
)
=
1
−
cos
(
90
∘
)
2
=
1
−
0
2
=
2
4
=
2
2
cos
(
90
∘
2
)
=
1
+
cos
(
90
∘
)
2
=
2
2
{\displaystyle {\begin{aligned}&\sin \left({\frac {90^{{}^{\circ }}}{2}}\right)={\sqrt {\frac {1-\cos \left(90^{{}^{\circ }}\right)}{2}}}={\sqrt {\frac {1-0}{2}}}={\sqrt {\frac {2}{4}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\\&\cos \left({\frac {90^{{}^{\circ }}}{2}}\right)={\sqrt {\frac {1+\cos \left(90^{{}^{\circ }}\right)}{2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\\\end{aligned}}}
La corda(108°) = b/a = φ, a partir del teorema de Ptolemeu Observant la figura l'angle DCB és un dels angles del pentàgon i per tant mesura 108°, com que els costats CD i CB són iguals, aquest triangle és isòsceles i per tant la corda de l'angle de 108° és:
crd
(
108
∘
)
=
crd
(
∠
D
CB
)
=
b
a
{\displaystyle {\text{crd}}(108^{{}^{\circ }})={\text{crd}}(\angle D{\text{CB}})={\frac {b}{a}}}
Aplicant el teorema de Ptolemeu al quadrilàter cíclic ABCD s'obté:
b
2
=
a
b
+
a
2
{\displaystyle b^{2}=ab+a^{2}}
Dividint els dos cantons de la igualtat entre
a
2
{\displaystyle a^{2}}
b
2
a
2
=
a
b
a
2
+
a
2
a
2
(
b
a
)
2
−
(
b
a
)
−
1
=
0
b
a
=
1
±
1
+
4
2
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {b^{2}}{a^{2}}}={\frac {ab}{a^{2}}}+{\frac {a^{2}}{a^{2}}}\\&\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{a}}\right)-1=0\\&{\frac {b}{a}}={\frac {1\pm {\sqrt {1+4}}}{2}}\\\end{aligned}}}
Com que la corda és més gran que zero ha de ser:
crd
(
108
∘
)
=
1
+
5
2
{\displaystyle {\text{crd}}(108^{{}^{\circ }})={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
Que és la secció àuria . Aplicant la fórmula que permet expressar la corda en funció del sinus, aplicant les identitats trigonomètriques de reflexió i pitagòrica i operant, s'obtenen el sinus i el cosinus de l'angle de 36°:
sin
(
54
∘
)
=
1
2
crd
(
2
⋅
54
∘
)
=
1
+
5
4
cos
(
36
∘
)
=
sin
(
90
∘
−
36
∘
)
=
sin
(
54
∘
)
=
1
+
5
4
sin
(
36
∘
)
=
1
−
cos
2
(
36
∘
)
=
1
−
(
1
+
5
4
)
2
sin
(
36
∘
)
=
16
−
(
1
+
2
5
+
5
)
4
=
10
−
2
5
4
=
2
(
5
−
5
)
4
{\displaystyle {\begin{aligned}&\sin(54^{{}^{\circ }})={\frac {1}{2}}{\text{crd}}(2\centerdot 54^{{}^{\circ }})={\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}\\&\cos(36^{{}^{\circ }})=\sin(90^{{}^{\circ }}-36^{{}^{\circ }})=\sin(54^{{}^{\circ }})={\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}\\&\sin(36^{{}^{\circ }})={\sqrt {1-\cos ^{2}(36^{{}^{\circ }})}}={\sqrt {1-\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}\right)^{2}}}\\&\sin(36^{{}^{\circ }})={\frac {\sqrt {16-\left(1+2{\sqrt {5}}+5\right)}}{4}}={\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}={\frac {\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}{4}}\\\end{aligned}}}
Les identitats de l'angle múltiple per x = {18, 36, 54, 72, 90} i 5x = {90, 180, 270, 360, 450}, es poden resoldre per x, donat que es coneixen els valors de 5x. Les identitats de l'angle múltiple són:
sin
5
x
=
16
sin
5
x
−
20
sin
3
x
+
5
sin
x
{\displaystyle \sin {5x}=16\sin ^{5}x-20\sin ^{3}x+5\sin x}
cos
5
x
=
16
cos
5
x
−
20
cos
3
x
+
5
cos
x
{\displaystyle \cos {5x}=16\cos ^{5}x-20\cos ^{3}x+5\cos x}
On sin 5x = 0 o cos 5x = 0, es fa y = sin x o y = cos x i es troba y:
16
y
5
−
20
y
3
+
5
y
=
0
{\displaystyle 16y^{5}-20y^{3}+5y=0}
Una solució és zero, l'equació de quart grau que en resulta es pot resoldre com una equació quadràtica en
y
2
{\displaystyle y^{2}}
Quan sin 5x = 1 o cos 5x = 1, es fa altre cop y = sin x o y = cos x i es resol y:
16
y
5
−
20
y
3
+
5
y
−
1
=
0
{\displaystyle 16y^{5}-20y^{3}+5y-1=0}
que es descompon en els factors
(
y
−
1
)
(
4
y
2
+
2
y
−
1
)
2
=
0
{\displaystyle (y-1)(4y^{2}+2y-1)^{2}=0}
Tot seguit es presenten els valors del sinus i el cosinus dels angles de 3 en 3 graus obtinguts a partir dels valors anteriors amb indicació de les identitats que s'apliquen per a trobar-los.
Angle
Càlcul
Sinus
Cosinus
3°
(36-30)/2
2
(
1
−
3
)
5
+
5
+
2
(
5
−
1
)
(
3
+
1
)
16
{\displaystyle {\frac {2(1-{\sqrt {3}}){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt {3}}+1)}{16}}}
2
(
1
+
3
)
5
+
5
+
2
(
5
−
1
)
(
3
−
1
)
16
{\displaystyle {\frac {2(1+{\sqrt {3}}){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt {3}}-1)}{16}}}
6°
36-30
(
6
)
5
−
5
−
(
5
+
1
)
8
{\displaystyle {\frac {({\sqrt {6}}){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}-({\sqrt {5}}+1)}{8}}}
(
2
)
5
−
5
+
3
(
5
+
1
)
8
{\displaystyle {\frac {({\sqrt {2}}){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)}{8}}}
9°
(36/2)/2
2
(
5
+
1
)
−
2
5
−
5
8
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}+1)-2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{8}}}
2
(
5
+
1
)
+
2
5
−
5
8
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}+1)+2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{8}}}
12°
2*(36-30)
(
2
)
5
+
5
−
3
(
5
−
1
)
8
{\displaystyle {\frac {({\sqrt {2}}){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)}{8}}}
(
6
)
5
+
5
+
(
5
−
1
)
8
{\displaystyle {\frac {({\sqrt {6}}){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+({\sqrt {5}}-1)}{8}}}
15°
30/2
2
(
3
−
1
)
4
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}-1\right)}{4}}}
2
(
3
+
1
)
4
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}+1\right)}{4}}}
18°
36/2
5
−
1
4
=
φ
−
1
2
=
1
2
φ
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}={\frac {\varphi -1}{2}}={\frac {1}{2\varphi }}}
2
(
5
+
5
)
4
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}{4}}}
20°
60/3
2
−
4
3
(
i
−
3
3
−
i
+
3
3
)
{\displaystyle 2^{-{\frac {4}{3}}}({\sqrt[{3}]{i-{\sqrt {3}}}}-{\sqrt[{3}]{i+{\sqrt {3}}}})}
2
−
4
3
(
1
+
i
3
3
+
1
−
i
3
3
)
{\displaystyle 2^{-{\frac {4}{3}}}({\sqrt[{3}]{1+i{\sqrt {3}}}}+{\sqrt[{3}]{1-i{\sqrt {3}}}})}
21°
15+6
2
(
3
+
1
)
5
−
5
−
2
(
3
−
1
)
(
1
+
5
)
16
{\displaystyle {\frac {2({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)(1+{\sqrt {5}})}{16}}}
2
(
3
−
1
)
5
−
5
+
2
(
3
+
1
)
(
1
+
5
)
16
{\displaystyle {\frac {2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)(1+{\sqrt {5}})}{16}}}
22,5°
45/2
2
−
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}
2
+
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}
24°
2*12
3
(
5
+
1
)
−
2
5
−
5
8
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-{\sqrt {2}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{8}}}
6
5
−
5
+
5
+
1
8
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}+1}{8}}}
27°
12+15
(
5
+
1
)
5
+
5
−
2
(
5
−
1
)
8
{\displaystyle {\frac {({\sqrt {5}}+1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)}{8}}}
(
5
+
1
)
5
+
5
+
2
(
5
−
1
)
8
{\displaystyle {\frac {({\sqrt {5}}+1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)}{8}}}
30°
Hexàgon
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
3
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}
33°
15+18
2
(
3
−
1
)
5
+
5
+
2
(
1
+
3
)
(
5
−
1
)
16
{\displaystyle {\frac {2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}(1+{\sqrt {3}})({\sqrt {5}}-1)}{16}}}
2
(
3
+
1
)
5
+
5
+
2
(
1
−
3
)
(
5
−
1
)
16
{\displaystyle {\frac {2({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}(1-{\sqrt {3}})({\sqrt {5}}-1)}{16}}}
36°
Pentàgon
2
(
5
−
5
)
4
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}{4}}}
1
+
5
4
=
φ
2
{\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}={\frac {\varphi }{2}}}
39°
15+24
2
(
1
−
3
)
5
−
5
+
2
(
3
+
1
)
(
5
+
1
)
16
{\displaystyle {\frac {2(1-{\sqrt {3}}){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)({\sqrt {5}}+1)}{16}}}
2
(
1
+
3
)
5
−
5
+
2
(
3
−
1
)
(
5
+
1
)
16
{\displaystyle {\frac {2(1+{\sqrt {3}}){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {5}}+1)}{16}}}
42°
18+24
6
5
+
5
−
(
5
−
1
)
8
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-({\sqrt {5}}-1)}{8}}}
2
5
+
5
+
3
(
5
−
1
)
8
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)}{8}}}
45°
Quadrat
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}
60°
Triangle
3
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
A partir dels valors del sinus i del cosinus es calculen els de la tangent i la cotangent emprant les identitats: tan(x)=sin(x)/cos(x) i cor(x)=1/tan(x).
Angle
Tangent
Cotangent
3°
(
(
2
−
3
)
(
3
+
5
)
−
2
)
(
2
−
2
(
5
−
5
)
)
4
{\displaystyle {\frac {\left((2-{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}})-2\right)\left(2-{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}\right)}{4}}}
(
(
2
+
3
)
(
3
+
5
)
−
2
)
(
2
+
2
(
5
−
5
)
)
4
{\displaystyle {\frac {\left((2+{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}})-2\right)\left(2+{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}\right)}{4}}}
6°
(
2
)
5
−
5
−
3
(
5
−
1
)
2
{\displaystyle {\frac {({\sqrt {2}}){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)}{2}}}
3
(
3
+
5
)
+
50
+
22
5
2
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}(3+{\sqrt {5}})+{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}}{2}}}
9°
5
+
1
−
5
+
2
5
{\displaystyle {\sqrt {5}}+1-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}
5
+
1
+
5
+
2
5
{\displaystyle {\sqrt {5}}+1+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}
12°
(
3
)
(
3
−
5
)
−
50
−
22
5
2
{\displaystyle {\frac {({\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})-{\sqrt {50-22{\sqrt {5}}}}}{2}}}
3
(
5
+
1
)
+
2
5
+
5
2
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)+{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{2}}}
15°
2
−
3
{\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}
cot
15
∘
=
2
+
3
{\displaystyle \cot 15^{\circ }=2+{\sqrt {3}}}
18°
5
(
5
−
2
5
)
5
{\displaystyle {\frac {\sqrt {5(5-2{\sqrt {5}})}}{5}}}
5
+
2
5
{\displaystyle {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}
21°
(
2
−
(
2
+
3
)
(
3
−
5
)
)
(
2
−
2
(
5
+
5
)
)
4
{\displaystyle {\frac {\left(2-(2+{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})\right)\left(2-{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\right)}{4}}}
(
2
−
(
2
−
3
)
(
3
−
5
)
)
(
2
+
2
(
5
+
5
)
)
4
{\displaystyle {\frac {\left(2-(2-{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})\right)\left(2+{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\right)}{4}}}
22,5°
2
−
1
{\displaystyle {\sqrt {2}}-1}
2
+
1
{\displaystyle {\sqrt {2}}+1}
24°
50
+
22
5
−
3
(
3
+
5
)
2
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {3}}(3+{\sqrt {5}})}{2}}}
2
5
−
5
+
3
(
5
−
1
)
2
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)}{2}}}
27°
5
−
1
−
5
−
2
5
{\displaystyle {\sqrt {5}}-1-{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}
5
−
1
+
5
−
2
5
{\displaystyle {\sqrt {5}}-1+{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}
30°
3
3
{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}
3
3
=
3
{\displaystyle {\frac {3}{\sqrt {3}}}={\sqrt {3}}}
33°
(
2
−
(
2
−
3
)
(
3
+
5
)
)
(
2
+
2
(
5
−
5
)
)
4
{\displaystyle {\frac {\left(2-(2-{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}})\right)\left(2+{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}\right)}{4}}}
(
2
−
(
2
+
3
)
(
3
+
5
)
)
(
2
−
2
(
5
−
5
)
)
4
{\displaystyle {\frac {\left(2-(2+{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}})\right)\left(2-{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}\right)}{4}}}
36°
5
−
2
5
{\displaystyle {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}
5
(
5
+
2
5
)
5
{\displaystyle {\frac {\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}{5}}}
39°
(
(
2
−
3
)
(
3
−
5
)
−
2
)
(
2
−
2
(
5
+
5
)
)
4
{\displaystyle {\frac {\left((2-{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})-2\right)\left(2-{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\right)}{4}}}
(
(
2
+
3
)
(
3
−
5
)
−
2
)
(
2
+
2
(
5
+
5
)
)
4
{\displaystyle {\frac {\left((2+{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})-2\right)\left(2+{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\right)}{4}}}
42°
3
(
5
+
1
)
−
2
5
+
5
2
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{2}}}
50
−
22
5
+
3
(
3
−
5
)
2
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {50-22{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}})}{2}}}
45°
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
60°
3
{\displaystyle {\sqrt {3}}}
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}
![{\displaystyle 2^{-{\frac {4}{3}}}({\sqrt[{3}]{i-{\sqrt {3}}}}-{\sqrt[{3}]{i+{\sqrt {3}}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50a287434c058cc24fc6d48baa56b13bc7a26427)
![{\displaystyle 2^{-{\frac {4}{3}}}({\sqrt[{3}]{1+i{\sqrt {3}}}}+{\sqrt[{3}]{1-i{\sqrt {3}}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff5fc48cf9638893e79d19d632b6e922b18c3f54)
