Identitats de Rogers-Ramanujan

En matemàtiques, i específicament en combinatòria analítica, les Identitats de Rogers–Ramanujan son dues igualtats relatives a les sèries hipergeomètriques bàsiques, descobertes i demostrades per primera vegada per Leonard James Rogers el 1894. Van ser redescobertes (sense demostració) per Srinivasa Ramanujan una mica després del 1913. Ramanujan no donava demostració, però va reeditar l'article de Rogers el 1917 i van publicar una demostració conjuntament el 1919. Issai Schur les va redescobrir i demostrar de forma independent el 1917.

Enunciat

Les identitats de Rogers- Ramanujan són:

1. $G(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty }}}=1+q+q^{2}+q^{3}+2q^{4}+2q^{5}+3q^{6}+\cdots$ (sèrie A003114 del OEIS).
2. $H(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}+n}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}=1+q^{2}+q^{3}+q^{4}+q^{5}+2q^{6}+\cdots$ (sèrie A003106 del OEIS).

On, $(\cdot ;\cdot )_{n}$ denota el símbol q-Pochhammer.

Que també es poden expressar de la següent forma:

1. $1-\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {q^{m^{2}}}{(1-q)(1-q^{2})\dots (1-q^{m})}}=\prod _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{(1-q^{5m+1})(1-q^{5m+4})}}$
2. $1-\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {q^{m^{2}+m}}{(1-q)(1-q^{2})\dots (1-q^{m})}}=\prod _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{(1-q^{5m+2})(1-q^{5m+3})}}$

Bibliografia

• Bhatnagar, Gaurav «How to Discover the Rogers-Ramanujan Identities». Resonance, Vol. 20, Num. 5, 2015, pàg. 416-430. ISSN: 0971-8044.
• Maligranda, Lech «Why Hölder's inequality should be called Rogers' inequality». Mathematical Inequalities & Applications, Vol. 1, Num. 1, 1998, pàg. 69-83. ISSN: 1331-4343.
• Sills, Andrew V. An Invitation to the Rogers-Ramanujan Identities (en (anglès)). Chapman and Hall/CRC, 2017. ISBN 9781498745260. 

Enllaços externs

• Weisstein, Eric W. «Rogers-Ramanujan Identities». MathWorld--A Wolfram Web Resource, 2018. [Consulta: 20 octubre 2018]. (anglès)