En matemàtiques, en l'àrea de combinatòria, un símbol q-Pochhammer, és un q-anàleg del símbol de Pochhammer. Es defineix com
![{\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b46d2065b6578f314f0353ee519c16683dd948b4)
amb
![{\displaystyle (a;q)_{0}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73c38b5142c32083116677f59bb8bffab863a531)
per definició. El símbol
-Pochhammer és un important bloc de construcció en la construcció de
-anàlegs; per exemple, en la teoria de les sèries hipergeomètriques bàsiques, juga el paper que juga el símbol ordinari de Pochhammer en la teoria de les sèries hipergeomètriques generalitzades.
A diferència del símbol ordinari de Pochhammer, el símbol
-Pochhammer es pot estendre a un producte infinit:
![{\displaystyle (a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c60a175e4b6f002bfc94d4b00fcf190cc282915)
Aquesta és una funció analítica de
a l'interior del disc unitat, i també es pot considerar com una sèrie de potències formals en
. El cas especial
![{\displaystyle \phi (q)=(q;q)_{\infty }=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d215ab17825076b0d5aab4ac52b0bd7753867a09)
es coneix com la funció d'Euler, i és important en combinatòria, teoria de nombres i la teoria de formes modulars.
El producte finit es pot expressar en termes del producte infinit:
![{\displaystyle (a;q)_{n}={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c7f907936f668ccacd8f2ab89d4adb26e421418)
que amplia la definició als
enters negatius. Per tant, per a un
no-negatiu, s'obté
![{\displaystyle (a;q)_{-n}={\frac {1}{(aq^{-n};q)_{n}}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1-a/q^{k})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6962b7e934ccc8f6e7439fc4326f50a46087b054)
i
![{\displaystyle (a;q)_{-n}={\frac {(-q/a)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q/a;q)_{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f6fd993d11429c7f4e525406d37a436ca2cf0f5)
El símbol
-Pochhammer és objecte d'un nombre d'una sèrie d'identitats de la
-sèrie, en particular les expansions de la sèrie infinita
![{\displaystyle (x;q)_{\infty }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q;q)_{n}}}x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbbc86ea039061834459ae099f74fbeecaea034e)
i
,
que són els dos casos especials del teorema del q-binomi:
![{\displaystyle {\frac {(ax;q)_{\infty }}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}x^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7fb2953090a36290cb38f81f6b10f339021ece3)
Fridrikh Karpelevich va trobar la següent identitat (vegeu Olshanetsky i Rogov (1995) per a la demostració):
![{\displaystyle {\frac {(q;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n+1)/2}}{(q;q)_{n}(1-zq^{n})}},\ |z|<1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/789a713a0fa1f57a52770a41808aaa5c1f7e3451)
Interpretació combinatòria[modifica]
El símbol
-Pochhammer està molt relacionat amb la combinatòria enumerativa de les particions. El coeficient de
en
![{\displaystyle (a;q)_{\infty }^{-1}=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7ae0b637f83fecb7a0260ae4f92a727527df95a)
és la quantitat de particions de
en la majoria de
parts.
Atès que, per conjugació de particions, això és el mateix que el nombre de particions de
en parts de mida
com a màxim, mitjançant la identificació de sèries generadores obtenim la identitat:
![{\displaystyle (a;q)_{\infty }^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a^{k}}{(q;q)_{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bda299284025715f12dc25e7e56ec29574c3564)
com a la secció anterior.
També tenim que el coeficient de
en
![{\displaystyle (-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2a4b0d8820692186b45f999cbcae73d77414e07)
és el nombre de particions de
en
o
parts diferents.
En treure una partició triangular amb
parts d'aquesta partició, ens queda una partició arbitrària amb, com a molt,
parts. Això proporciona una bijecció equilibrada entre el conjunt de particions en
o
parts diferents i el conjunt de parells que consisteixen en una partició triangular que té
parts i una partició amb, com a màxim,
parts. Identificant les sèries generadores, això condueix a la identitat:
![{\displaystyle (-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})=\sum _{k=0}^{\infty }\left(q^{k \choose 2}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{k \choose 2}}{(q;q)_{k}}}a^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a009540f349c7e46b6d4415c692839a8777f8b4)
també descrit a la secció anterior.
El recíproc de la funció
de manera similar es presenta com la funció generadora de la funció de partició,
, que també s'amplia per les segones dues expansions de la
-sèrie que es detallen a continuació:[1]
![{\displaystyle {\frac {1}{(q;q)_{\infty }}}=\sum _{n\geq 0}p(n)q^{n}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n}}{(q;q)_{n}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9da813a6ee978ff5521d05507df466a5dcb7ed9)
El teorema del q-binomi també pot ser manejat per un argument combinatori lleugerament més involucrat d'un sabor similar (veure les expansions que es donen en la següent subsecció).
Convenció d'arguments múltiples[modifica]
Atès que les identitats que impliquen símbols
-Pochhammer impliquen amb freqüència productes de molts símbols, la convenció estàndard és escriure un producte com un únic símbol de múltiples arguments:
![{\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a82b61091c36e3c40744890888e52b1e7b8a11d8)
Una
-sèrie és una sèrie en la qual els coeficients són funcions de
, típicament expressions de
.[2] Els primers resultats es deuen a Euler, Gauss i Cauchy. L'estudi sistemàtic comença amb Eduard Heine (1843).[3]
Relació amb altres q-funcions[modifica]
El
-anàleg de
, també conegut com
-claudator o
-nombre de
, es defineix com a
![{\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a02cf663202653dffbcf359ad685442e72a75986)
A partir d'aquest es pot definir el
-anàleg del factorial, el
-factorial, com
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Aquests nombres són anàlegs en el sentit que
![{\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac0ef90ff54e96e41e893320895bfed2c2c3b7fb)
i també
![{\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}[n]!_{q}=n!.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bd153773bc04b64f6307e7bc02c9873ab1d609c)
El valor límit n! computa les permutacions de
-elements del conjunt
. Igualment, compte el nombre de seqüències del conjunt
de tal manera que
conté exactament
elements.[4] En comparació, quan
és una potència primer i
és un espai vectorial
-dimensional sobre el camp amb
elements, el
-anàleg
és el nombre dels ítems complets en
, és a dir, és el nombre de seqüències
de subespais tal que
té dimensió
.[4] Les consideracions precedents suggereixen que es pot considerar una seqüència de conjunts nidificats com un ítem sobre un camp conjectural amb un element (F1).
Un producte de
-nombres enters negatius pot ser expressat en termes de
-factorial com
![{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}[-k]_{q}={\frac {(-1)^{n}\,[n]!_{q}}{q^{n(n+1)/2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a0806e622aed7b12e911b5cb92c1368cb1aac18)
A partir dels
-factorials, es pot passar a definir els coeficients
-binomials, també coneguts com els coeficients binomials de Gauss, com
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]!_{q}}{[n-k]!_{q}[k]!_{q}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17eff31be58d1f38def98147fe5371874424d6fc)
on és fàcil veure que el triangle d'aquests coeficients és simètric en el sentit que
per a tot
.
Es pot comprovar això
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}n+1\\k\end{bmatrix}}_{q}&={\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}+q^{n-k+1}{\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}\\&={\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}+q^{k}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/867904901214b351b1500e2dc3e9dc290774f7f8)
També es pot veure des de les relacions de recurrència anteriors que les properes variants del teorema
-binomial s'amplien en termes d'aquests coeficients de la següent manera:[5]
![{\displaystyle {\begin{aligned}(z;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-z)^{j}q^{\binom {j}{2}}=(1-z)(1-qz)\cdots (1-zq^{n-1})\\(-q;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q^{2}}q^{j}\\(q;q^{2})_{n}&=\sum _{j=0}^{2n}{\begin{bmatrix}2n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-1)^{j}\\{\frac {1}{(z;q)_{m+1}}}&=\sum _{n\geq 0}{\begin{bmatrix}n+m\\n\end{bmatrix}}_{q}z^{n}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5340cfd4d4ae9eb92a893b8755ef97cb3df134ec)
Es pot definir encara més els coeficients
-multinomials
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k_{1},\ldots ,k_{m}\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]!_{q}}{[k_{1}]!_{q}\cdots [k_{m}]!_{q}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76cd290d3c26c00450c21184f393c95e676f917b)
on els arguments
són enters no negatius que satisfan
. El coeficient anterior compta amb el nombre d'ítems
de subespais en un espai vectorial
-dimensional sobre el camp amb
elements tals que
.
El límit
dona l'habitual coeficient multinomial
, que compta amb paraules en
diferents símbols
tal que cada
apareix
vegades.
També s'obté un
-anàleg de la funció gamma, anomenada funció q-gamma, i definida com a
![{\displaystyle \Gamma _{q}(x)={\frac {(1-q)^{1-x}(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2737d8f5e64dc76dc64f589c555ffa9914d25db)
Aquesta convergeix a la funció gamma habitual quan
s'apropa a 1 des de l'interior del disc unitari. S'ha de tenir en compte que
![{\displaystyle \Gamma _{q}(x+1)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e29921c6438088c00d12901a4db0e6efdeca3223)
per a qualsevol
i
![{\displaystyle \Gamma _{q}(n+1)=[n]!_{q}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d3a71a62942a011a1b8084a35c8ccf4857a92db)
per valors enters no-negatius de
. Alternativament, això es pot considerar com una extensió de la funció
-factorial al sistema de nombres reals.
- ↑ «What is a q-series?».
- ↑ Bruce C. Berndt, What is a q-series?, in Ramanujan Rediscovered: Proceedings of a Conference on Elliptic Functions, Partitions, and q-Series in memory of K. Venkatachaliengar: Bangalore, 1–5 June 2009, N. D. Baruah, B. C. Berndt, S. Cooper, T. Huber, and M. J. Schlosser, eds., Ramanujan Mathematical Society, Mysore, 2010, pp. 31-51
- ↑ E. Heine, Untersuchungen über die Reihe, J. Reine Angew. Math. 34 (1847), 285-328
- ↑ 4,0 4,1 Stanley, Richard P. Enumerative Combinatorics. 1. 2. Cambridge University Press, 2011. , Section 1.10.2.
- ↑ Olver et. al.. NIST Handbook of Mathematical Functions, 2010, p. 421.
- George Gasper, Mizan Rahman, Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-83357-4.
- Roelof Koekoek, Rene F. Swarttouw, The Askey scheme of orthogonal polynomials and its q-analogues, section 0.2.
- Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914, ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538
- M.A. Olshanetsky, V.B.K. Rogov (1995), The Modified q-Bessel Functions and the q-Bessel-Macdonald Functions, arXiv:q-alg/9509013.
Enllaços externs[modifica]
- Weisstein, Eric W., «q-Analog» a MathWorld (en anglès).
- Weisstein, Eric W., «q-Bracket» a MathWorld (en anglès).
- Weisstein, Eric W., «q-Factorial» a MathWorld (en anglès).
- Weisstein, Eric W., «q-Series» a MathWorld (en anglès).
- Weisstein, Eric W., «q-Binomial Coefficient» a MathWorld (en anglès).