Vés al contingut

Identitats de càlcul vectorial

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
Càlcul infinitesimal
Generals

Teorema fonamental
Límit d'una funció
Funció contínua
Càlcul vectorial
Càlcul tensorial
Teorema del valor mitjà

Derivació

Regla del producte
Regla del quocient
Regla de la cadena
Teorema de Taylor
Derivació implícita
Taula de derivades

Integració

Taula d'integrals
Integrals impròpies
Tipus d'integració per:
parts, discs, substitució,
capes cilíndriques,
ordre d'integració
substitució trigonomètrica,
fraccions racionals

Les següents són identitats importants que impliquen derivades i integrals en el càlcul vectorial.[1][2]

Notació de l'operador

[modifica]

Gradient [3]

[modifica]

Per a una funció en variables de coordenades cartesianes tridimensionals, el gradient és el camp vectorial:

on i, j, k són els vectors unitaris estàndard per als eixos x, y, z. De manera més general, per a una funció de n variables , també anomenat camp escalar, el gradient és el camp vectorial: on són vectors unitaris mútuament ortogonals.

Com el seu nom indica, el gradient és proporcional i apunta en la direcció del canvi més ràpid (positiu) de la funció.

Per a un camp vectorial , també anomenat camp tensor d'ordre 1, el gradient o derivada total és la matriu jacobiana n × n : Per a un camp tensor de qualsevol ordre k, el gradient és un camp tensor d'ordre k + 1.

Per a un camp tensor d'ordre k > 0, el camp tensor d'ordre k + 1 es defineix per la relació recursiva on és un vector constant arbitrari.

Divergència

[modifica]

En coordenades cartesianes, la divergència d'un camp vectorial contínuament diferenciable és la funció amb valors escalars: Com el seu nom indica, la divergència és una mesura (local) del grau en què els vectors del camp divergeixen.

La divergència d'un camp tensor d'ordre diferent de zero k s'escriu com , una contracció d'un camp tensor d'ordre k − 1. Concretament, la divergència d'un vector és un escalar. La divergència d'un camp tensor d'ordre superior es pot trobar descomponent el camp tensor en una suma de productes externs i utilitzant la identitat, on és la derivada direccional en la direcció de multiplicat per la seva magnitud. Concretament, per al producte exterior de dos vectors,

Per a un camp tensor d'ordre k > 1, el camp tensor d'ordre k − 1 es defineix per la relació recursiva on és un vector constant arbitrari.

Rotacional

[modifica]

En coordenades cartesianes, per el curl és el camp vectorial:

on i, j i k són els vectors unitaris dels eixos x -, y - i z -, respectivament.

Com el seu nom indica, el rínxol és una mesura de quant tendeixen els vectors propers en una direcció circular.

En notació d'Einstein, el camp vectorial té un rínxol donat per: on = ±1 o 0 és el símbol de paritat Levi-Civita.

Per a un camp tensor d'ordre k > 1, el camp tensor d'ordre k es defineix per la relació recursiva on és un vector constant arbitrari.

Un camp tensor d'ordre superior a un es pot descompondre en una suma de productes externs i, a continuació, es pot utilitzar la identitat següent: Concretament, per al producte exterior de dos vectors,

Laplacià

[modifica]

En coordenades cartesianes, el laplacià d'una funció és El laplacià és una mesura de quant canvia una funció en una petita esfera centrada en el punt.

Quan el laplacià és igual a 0, la funció s'anomena funció harmònica. És a dir,

Per a un camp tensor, , el laplacià s'escriu generalment com: i és un camp tensor del mateix ordre.

Per a un camp tensor d'ordre k > 0, el camp tensor d'ordre k es defineix per la relació recursiva on és un vector constant arbitrari.

Identitats de primera derivada [4]

[modifica]

Per a camps escalars , i camps vectorials , , tenim les identitats derivades següents.

Propietats distributives

[modifica]

Propietats associatives

[modifica]

Regla de la cadena

[modifica]

Sigui una funció d'una variable d'escalars a escalars, una corba parametritzada, una funció de vectors a escalars, i un camp vectorial. Tenim els següents casos especials de la regla de la cadena multivariable.

Gràfic DCG: Algunes regles per a les segones derivades.

Identitats de segona derivada

[modifica]

Divergència del rotacional

[modifica]

La divergència del rotacional de qualsevol camp vectorial A contínuament doblement diferenciable és sempre zero:

La divergència del gradient és laplacià

[modifica]

El laplacià d'un camp escalar és la divergència del seu gradient: El resultat és una magnitud escalar.

La divergència de la divergència no està definida

[modifica]

La divergència d'un camp vectorial A és un escalar i la divergència d'una magnitud escalar no està definida. Per tant,

El rotacional del gradient és zero

[modifica]

El rotacional del gradient de qualsevol camp escalar contínuament dues vegades diferenciable (és a dir, classe de diferenciabilitat ) és sempre el vector zero :

El rotacional del rotacional

[modifica]

Aquí ∇ 2 és el vector laplacià que opera sobre el camp vectorial A.

Referències

[modifica]
  1. «Vector Calculus» (en anglès). [Consulta: 30 agost 2024].
  2. «Vector Calculus Identities» (en anglès). [Consulta: 30 agost 2024].
  3. «4.1: Gradient, Divergence and Curl» (en anglès), 25-11-2021. [Consulta: 30 agost 2024].
  4. «16: Vector Calculus» (en anglès), 11-07-2016. [Consulta: 30 agost 2024].