Integral de Selberg

En matemàtiques, la integral de Selberg és una generalització de la funció beta d'Euler a n dimensions introduïdes per Atle Selberg (1944)

La fórmula integral de Selberg

${\begin{aligned}S_{n}(\alpha ,\beta ,\gamma )&=\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}\prod _{i=1}^{n}t_{i}^{\alpha -1}(1-t_{i})^{\beta -1}\prod _{1\leq i<j\leq n}|t_{i}-t_{j}|^{2\gamma }\,dt_{1}\cdots dt_{n}\\&=\prod _{j=0}^{n-1}{\frac {\Gamma (\alpha +j\gamma )\Gamma (\beta +j\gamma )\Gamma (1+(j+1)\gamma )}{\Gamma (\alpha +\beta +(n+j-1)\gamma )\Gamma (1+\gamma )}}\end{aligned}}$

La fórmula de Selberg implica la identitat de Dixon per a les sèries hipergeomètriques ben ponderades, i alguns casos especials de la conjectura de Dyson.

La fórmula integral d'Aomoto

Aomoto (1987) va provar una fórmula integral una mica més general:

$\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}\left(\prod _{i=1}^{k}t_{i}\right)\prod _{i=1}^{n}t_{i}^{\alpha -1}(1-t_{i})^{\beta -1}\prod _{1\leq i<j\leq n}|t_{i}-t_{j}|^{2\gamma }\,dt_{1}\cdots dt_{n}$

$=S_{n}(\alpha ,\beta ,\gamma )\prod _{j=1}^{k}{\frac {\alpha +(n-j)\gamma }{\alpha +\beta +(2n-j-1)\gamma }}.$

La fórmula integral de Mehta

La integral de Mehta és

${\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }\prod _{i=1}^{n}e^{-t_{i}^{2}/2}\prod _{1\leq i<j\leq n}|t_{i}-t_{j}|^{2\gamma }\,dt_{1}\cdots dt_{n}.$

És la funció de partició per a un gas de càrregues puntuals que es mouen sobre una línia que s'atreu a l'origen (Mehta 2004). El seu valor es pot deduir del de la integral de Selberg, i és

$\prod _{j=1}^{n}{\frac {\Gamma (1+j\gamma )}{\Gamma (1+\gamma )}}.$

Això ho va conjecturar Mehta & Dyson (1963), que desconeixien els treballs anteriors de Selberg.

La fórmula integral de Macdonald

Macdonald (1982) va conjecturar la següent extensió de la integral de Mehta a tots els sistemes d'arrel finita; el cas original de Mehta corresponent al sistema d'arrels A_n−1.

${\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int \cdots \int \left|\prod _{r}{\frac {2(x,r)}{(r,r)}}\right|^{\gamma }e^{-(x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})/2}dx_{1}\cdots dx_{n}=\prod _{j=1}^{n}{\frac {\Gamma (1+d_{j}\gamma )}{\Gamma (1+\gamma )}}$

El producte està sobre les r arrels del sistema d'arrels i els nombres d_j són els graus dels generadors de l'anell d'invariants del grup de reflexió. Opdam (1989) va donar una prova uniforme per a tots els grups cristal·lins de reflexió. Diversos anys després ho va demostrar en general (Opdam (1993)), utilitzant els càlculs assistits per ordinador per Garvan.

Referències

• Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan. Special functions (en anglès). vol. 71 cap. 8. Cambridge University Press, 1999 (Encyclopedia of Mathematics and its Applications). ISBN 978-0-521-62321-6. 
• Aomoto, K «On the complex Selberg integral» (en anglès). The Quarterly publicació of Mathematics, 38(4), 1987, pàg. 385–399. DOI: 10.1093/qmath/38.4.385.
• Forrester, Peter J.; Warnaar, S. Ole «The importance of the Selberg integral» (en anglès). Bull. Amer. Math. Soc., 45(4), 2008, pàg. 489–534. arXiv: 0710.3981. DOI: 10.1090/S0273-0979-08-01221-4.
• Macdonald, I. G. «Some conjectures for root systems» (en anglès). SIAM Journal on Mathematical Analysis, 13(6), 1982, pàg. 988–1007. DOI: 10.1137/0513070. ISSN: 0036-1410.
• Mehta, Madan Lal. Random matrices (en anglès). 142. Elsevier/Academic Press, Amsterdam, 2004 (Pure and Applied Mathematics (Amsterdam)). ISBN 978-0-12-088409-4. 
• Mehta, Madan Lal; Dyson, Freeman J. «Statistical theory of the energy levels of complex systems. V» (en anglès). Journal of Mathematical Physics, 4(5), 1963, pàg. 713–719. Bibcode: 1963JMP.....4..713M. DOI: 10.1063/1.1704009. ISSN: 0022-2488.
• Opdam, E. M. «Some applications of hypergeometric shift operators» (en anglès). Invent. Math., 98(1), 1989, pàg. 275-282. Bibcode: 1989InMat..98....1O. DOI: 10.1007/BF01388841.
• Opdam, E.M. «Dunkl operators, Bessel functions and the discriminant of a finite Coxeter group» (en anglès). Compositio Mathematica, 85(3), 1993, pàg. 333-373.
• Selberg, Atle «Remarks on a multiple integral» (en anglès). Norsk Mat. Tidsskr., 26, 1944, pàg. 71–78.