Métode Einstein-Brillouin-Keller

El mètode Einstein–Brillouin–Keller (EBK) és una tècnica semiclàssica (anomenta així en honor a Albert Einstein, Léon Brillouin, i Joseph B. Keller) que s'empra per calcular valors propis en sistemes de mecànica quàntica. La quantificació EBK és una millora de la quantificació de Bohr-Sommerfeld que no considerava els salts de fase càustica als punts d'inflexió clàssics. Aquest procediment és capaç de reproduir exactament l'espectre de l'oscil·lador harmònic 3D, la partícula en una caixa i fins i tota l'estructura fina relativista de l'àtom d'hidrogen.

El 1976–1977, Michael Berry i M. Tabor van derivar una extensió de la fórmula de traça de Gutzwiller per a la densitat d'estats d'un sistema integrable a partir de la quantificació EBK.

Hi ha hagut una sèrie de resultats recents sobre qüestions computacionals relacionades amb aquest tema, per exemple, el treball d'Eric J. Heller i Emmanuel David Tannenbaum utilitzant un enfocament de descens del gradient d'equacions diferencials parcials.

Procediment

Donat un sistema clàssic separable definit per coordenades $(q_{i},p_{i});i\in \{1,2,\cdots ,d\}$, en què cada parella $(q_{i},p_{i})$ descriu una funció tancada o una funció periòdica en $q_{i}$, el procediment EBK implica quantificar les integrals de línia de $p_{i}$ sobre l'òrbita tancada de $q_{i}$ :

$I_{i}={\frac {1}{2\pi }}\oint p_{i}dq_{i}=\hbar \left(n_{i}+{\frac {\mu _{i}}{4}}+{\frac {b_{i}}{2}}\right)$

on $I_{i}$ és la coordenada de l'angle d'acció, $n_{i}$ és un nombre enter positiu i $\mu _{i}$ i $b_{i}$ són índexs de Maslov. $\mu _{i}$ correspon al nombre de punts d'inflexió clàssics en la trajectòria de $q_{i}$ (Condició de límit de Dirichlet), i $b_{i}$ correspon al nombre de reflexions amb una paret dura (condició de límit de Neumann).

Exemples

Oscil·lador harmònic 1D

L'Hamiltonià d'un oscil·lador harmònic simple ve donat per

$H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}$

on $p$ és el moment lineal i $x$ la coordenada de la posició. La variable d'acció ve donada per

$I={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{x_{0}}{\sqrt {2mE-m^{2}\omega ^{2}x^{2}}}\mathrm {d} x$

on ho hem utilitzat $H=E$ és l'energia i que la trajectòria tancada és 4 vegades la trajectòria des de 0 fins al punt d'inflexió $x_{0}={\sqrt {2E/m\omega ^{2}}}$.

La integral resulta ser

$E=I\omega$ ,

que sota la quantificació EBK hi ha dos punts d'inflexió suaus a cada òrbita $\mu _{x}=2$ i $b_{x}=0$. Finalment, això resulta

$E=\hbar \omega (n+1/2)$ ,

que és el resultat exacte de la quantificació de l'oscil·lador harmònic quàntic.