Polinomis continus de Hahn

En matemàtiques, els polinomis continus de Hahn són una família de polinomis ortogonals en l'esquema d'Askey per als polinomis ortogonals hipergeomètrics. Es defineixen en termes de funcions hipergeomètriques generalitzades per

p_{n}(x;a,b,c,d)=i^{n}{\frac {(a+c)_{n}(a+d)_{n}}{n!}}{}_{3}F_{2}\left({\begin{array}{c}-n,n+a+b+c+d-1,a+ix\\a+c,a+d\end{array}};1\right)

Koekoek, Lesky i Swarttouw (2010) ofereix una llista detallada de les seves propietats.^[1]

Els polinomis estretament relacionats inclouen els polinomis duals de Hahn R_n(x;γ,δ,N), els polinomis de Hahn Q_n(x;a,b,c), i els polinomis duals continus de Hahn S_n(x;a,b,c). Tots aquests polinomis tenen q-anàlegs amb un paràmetre q addicional, com els polinomis q-Hahn Q_n(x;α,β, N;q), etc.

Ortogonalitat

Els polinomis continus de Hahn p_n(x;a,b,c,d) són ortogonals respecte a la funció pes

w(x)=\Gamma (a+ix)\,\Gamma (b+ix)\,\Gamma (c-ix)\,\Gamma (d-ix).

En particular, satisfan la relació d'ortogonalitat^[2]^[3]^[4]

{\begin{aligned}&{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\Gamma (a+ix)\,\Gamma (b+ix)\,\Gamma (c-ix)\,\Gamma (d-ix)\,p_{m}(x;a,b,c,d)\,p_{n}(x;a,b,c,d)\,dx\\&\qquad \qquad ={\frac {\Gamma (n+a+c)\,\Gamma (n+a+d)\,\Gamma (n+b+c)\,\Gamma (n+b+d)}{n!(2n+a+b+c+d-1)\,\Gamma (n+a+b+c+d-1)}}\,\delta _{nm}\end{aligned}}

per a $\Re (a)>0$ , $\Re (b)>0$ , $\Re (c)>0$ , $\Re (d)>0$ , $c={\overline {a}}$ , $d={\overline {b}}$ .

La seqüència de polinomis continus de Hahn satisfan la relació de recurrència^[5]

xp_{n}(x)=p_{n+1}(x)+i(A_{n}+C_{n})p_{n}(x)-A_{n-1}C_{n}p_{n-1}(x),

{\begin{aligned}{\text{on}}\quad &p_{n}(x)={\frac {n!(n+a+b+c+d-1)!}{(2n+a+b+c+d-1)!}}p_{n}(x;a,b,c,d),\\&A_{n}=-{\frac {(n+a+b+c+d-1)(n+a+c)(n+a+d)}{(2n+a+b+c+d-1)(2n+a+b+c+d)}},\\{\text{i}}\quad &C_{n}={\frac {n(n+b+c-1)(n+b+d-1)}{(2n+a+b+c+d-2)(2n+a+b+c+d-1)}}.\end{aligned}}

Els polinomis continus de Hahn continus es poden expressar de forma semblant a la fórmula de Rodrigues^[6]

{\begin{aligned}&\Gamma (a+ix)\,\Gamma (b+ix)\,\Gamma (c-ix)\,\Gamma (d-ix)\,p_{n}(x;a,b,c,d)\\&\qquad ={\frac {(-1)^{n}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(\Gamma \left(a+{\frac {n}{2}}+ix\right)\,\Gamma \left(b+{\frac {n}{2}}+ix\right)\,\Gamma \left(c+{\frac {n}{2}}-ix\right)\,\Gamma \left(d+{\frac {n}{2}}-ix\right)\right).\end{aligned}}

Els polinomis continus de Hahn tenen la següent funció generatriu:^[6]

{\begin{aligned}&\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (n+a+b+c+d)\,\Gamma (a+c+1)\,\Gamma (a+d+1)}{\Gamma (a+b+c+d)\,\Gamma (n+a+c+1)\,\Gamma (n+a+d+1)}}(-it)^{n}p_{n}(x;a,b,c,d)\\&\qquad =(1-t)^{1-a-b-c-d}{}_{3}F_{2}\left({\begin{array}{c}{\frac {1}{2}}(a+b+c+d-1),{\frac {1}{2}}(a+b+c+d),a+ix\\a+c,a+d\end{array}};-{\frac {4t}{(1-t)^{2}}}\right).\end{aligned}}

Una segona funció generatriu diferent ve donada per

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (a+c+1)\,\Gamma (b+d+1)}{\Gamma (n+a+c+1)\,\Gamma (n+b+d+1)}}t^{n}p_{n}(x;a,b,c,d)=\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}a+ix\\a+c\end{array}};-it\right)\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}d-ix\\b+d\end{array}};it\right).

Els polinomis de Wilson són una generalització dels polinomis continus de Hahn.
El polinomis de Bateman F_n(x) estan relacionats amb el cas especial a=b=c=d=1/2 dels polinomis continus de Hahn per

p_{n}\left(x;{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right)=i^{n}n!F_{n}\left(2ix\right).

Els polinomis de Jacobi P_n^(α,β)(x) es poden obtenir com un cas limitant dels polinomis continus de Hahn:^[7]

P_{n}^{(\alpha ,\beta )}=\lim _{t\to \infty }t^{-n}p_{n}\left({\tfrac {1}{2}}xt;{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1-it),{\tfrac {1}{2}}(\beta +1+it),{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1+it),{\tfrac {1}{2}}(\beta +1-it)\right).

Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan. Special functions. Cambridge: Cambridge University Press, 1999 (Encyclopedia of Mathematics and its Applications). ISBN 978-0-521-62321-6.
Askey, R. «Continuous Hahn polynomials». J. Phys. A: Math. Gen., 18, 1985.
Hahn, Wolfgang «Über Orthogonalpolynome, die q-Differenzengleichungen genügen» (en alemany). Mathematische Nachrichten, 2, 1949, pàg. 4-34. DOI: 10.1002/mana.19490020103. ISSN: 0025-584X.
Koekoek, Roelof; Lesky, Peter A.; Swarttouw, René F. Hypergeometric orthogonal polynomials and their q-analogues. Berlin, New York: Springer-Verlag, 2010 (Springer Monographs in Mathematics). DOI 10.1007/978-3-642-05014-5. ISBN 978-3-642-05013-8.
Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. Hahn Class: Definitions. Cambridge University Press, 2010 (NIST Handbook of Mathematical Functions). ISBN 978-0521192255.