Políedre arquimedià

En geometria, un políedre arquimedià o semiregular és un poliedre convex les cares del qual estan formades per dos o més tipus de polígons regulars tal que els seus vèrtexs són homogenis. També es requereix que el políedre no sigui ni un prisma ni un antiprisma. Els políedres arquimedians són 13, i es diferencien dels sòlids platònics (o regulars), en què totes les cares dels sòlids platònics són iguals i dels sòlids de Johnson, en què els vèrtexs d'aquests últims no són homogenis.

Definició

Un políedre arquimedià o semiregular és un políedre convex que satisfà les següents propietats:

1. Les seves cares són polígons regulars.
2. Els seus vèrtexs són homogenis: és a dir, per cada parell de vèrtexs hi ha una simetria del sòlid que transforma el primer en el segon.
3. No és ni un sòlid platònic ni un prisma ni un antiprisma.

Un sòlid arquimedià té almenys dos tipus de cares diferents: els sòlids que satisfan les dues primeres propietats i que només tenen un tipus de cara són els sòlids platònics (o regulars). Els sòlids arquimedians, per tant en un cert sentit són els sòlids més "regulars" després dels platònics (d'aquí el terme "semiregulars").

Els prismes i els antiprismes no són considerats tradicionalment arquimedians, encara que compleixin les dues primeres propietats. Els prismes i els antiprismes difereixen qualitativament dels sòlids d'Arquimedes per dos factors:

1. Els prismes i els antiprismes formen dues famílies de sòlids infinites, mentre que els sòlids d'Arquímedes són en nombre finit (13)
2. Els prismes i els antiprismes permeten "unes poques" simetries (el seu grup de simetria és el grup diedre, un grup "més senzill" que els grups de simetria dels sòlids arquimedians).

Origen del nom

Els políedres arquimedians deuen el seu nom a Arquimedes, qui els va estudiar en un treball ara perdut. Durant el Renaixement diversos artistes matemàtics, que tornaren a valorar les formes pures varen redescobir tots aquests políedres rics en simetries. Aquesta recerca fou completada entorn del 1619 per Kepler, que va redefinir prisma, antiprisma i dos dels políedres regulars no convexos avui en dia anomenats sòlids de Kepler-Poinsot.

Característiques

Vèrtexs

Donat que els vèrtexs són homogenis, són tots iguals. Més concretament, les cares incidents a un vèrtex són iguals i en el mateix ordre que les incidents a qualsevol altre (es poden obtenir unes de les altres per mitjà de rotacions).

Arestes

Les arestes d'un poliedre arquimedià tenen totes la mateixa longitud: això és degut al fet que les cares són totes polígo regulars. La longitud a d'una aresta és un paràmetre que determina la mida total del políedre: els canvis de a transformen el poliedre per semblança. En conseqüència, el volum i la superfície d'un poliedre arquimedià es calculen en funció de a.

Classificació

Hi ha tretze sòlids arquimedians, dos dels quals són quirals, és a dir que no és equivalents a la seva imatge especular: Per aquesta raó, en alguns contextos aquests políedres es compten dues vegades i es parla de 15 sòlids arquimedians. A la taula següent per configuració dels vèrtexs s'entén la successió de nombres dels costats que caracteritzen les polígons regulars que incideixen a cada vèrtex. Per exemple, la configuració (4,6,8) significa que a cada vèrtex hi incideix un quadrat, un hexàgon i un octògon; la successió es determina resseguint el vèrtex en sentit horari. El grup de simetria del sòlid O_h, I_h i T_d és respectivament el grup de simetria de l'octàedre, l'icosàedre i el tetràedre. Els grups O i I són els subgrups respectivament de O_h i I_h formats per les simetries que preserven l'orientació.

Nom (Configuració dels vèrtexs)	Transparent	Sòlid	Desenvolupament pla	Cares	Cares (Per tipus)	Arestes	Vèrtexs	Grup de simetria
tetràedre truncat (3.6.6)	(Animació)			8	4 triangles 4 hexàgons	18	12	Td
cuboctàedre (rombitetratetràedre) (3.4.3.4)	(Animació)			14	8 triangles 6 quadrats	24	12	Oh
cub truncat (3.8.8)	(Animació)			14	8 triangles 6 octàgons	36	24	Oh
octàedre truncat (tetratetràedre truncat) (4.6.6)	(Animació)			14	6 quadrats 8 hexàgons	36	24	Oh
rombicuboctàedre (petit rombicuboctàedre) (3.4.4.4)	(Animació)			26	8 triangles 18 quadrats	48	24	Oh
cuboctàedre truncat (gran rombicuboctàedre) (4.6.8)	(Animació)			26	12 quadrats 8 hexàgons 6 octàgons	72	48	Oh
cub xato (cuboctàedre xato) (2 formes quirals) (3.3.3.3.4)	(Animació) (Animació)			38	32 triangles 6 quadrats	60	24	O
icosidodecàedre (3.5.3.5)	(Animació)			32	20 triangles 12 pentàgons	60	30	Ih
dodecàedre truncat (3.10.10)	(Animació)			32	20 triangles 12 decàgons	90	60	Ih
icosàedre truncat (5.6.6)	(Animació)			32	12 pentàgons 20 hexàgons	90	60	Ih
rombicosidodecàedre (petit rombicosidodecàedre) (3.4.5.4)	(Animació)			62	20 triangles 30 quadrats 12 pentagons	120	60	Ih
icosidodecàedre truncat (gran rombicosidodecàedre) (4.6.10)	(Animació)			62	30 quadrats 20 hexàgons 12 decàgons	180	120	Ih
dodecàedre xato (icosidodecàedre xato) (2 formes quirals) (3.3.3.3.5)	(Animació) (Animació)			92	80 triangles 12 pentàgons	150	60	I

Poliedres quasiregulars

Els dos primers políedres, el cuboctàedre i el icosidodecàedre, tenen fins i tot les arestes homogènies: per cada parell d'arestes hi ha una simetria del políedre que mou la primera en la segona. Els políedres amb aquesta propietat s'anomenen quasiregulars (no confondre amb semiregulars, sinònim d'arquimedians).

Políedres quirals

El cub xato i el dodecàedre xato són poliedres quirals, políedres que no són equivalents a la seva imatge especular. Aquestes presenten dues formes, levomorfa i dextromorfa, que, com les mans, es transformen l'una en l'altra per una reflexió respecte d'un pla.

Políedres duals

Els políedres duals dels políedres arquimedians s'anomenen sòlids de Catalan. La relació de dualitat intercanvia els papers dels vèrtexs i de les cares: com que els políedres arquimedians tenen els vèrtexs homogenis (però no les cares), els de Catalan tenen les cares homogènies (però no els vèrtexs).

Bibliografia

• Henry Martin Cundy & A. P. Rollett. Feltrinelli. I modelli matematici, 1974. 

• Dedò, Maria. Decibel & Zanichelli. Forme, simmetria e topologia, 1999. ISBN 88-08-09615-7. 

• Berzolari, Luigi; Vivanti, G; Gigli, D. Ulrico Hoepli. Enciclopedia delle Matematiche elementari, 1929, 1937, 1950. ISBN 88-2030-265-9. 

Enllaços externs

• Paper models of Archimedean solids
• The Uniform Polyhedra
• Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra
• Penultimate Modular Origami
• Archimedean Solid in MathWorld