Teorema de Heine-Borel

En matemàtiques, el teorema de Heine-Borel també anomenat teorema de Borel-Lebesgue estableix que un subconjunt de $\mathbb {R} ^{n}$ és tancat i acotat si i només si és compacte, és a dir si tot recobriment admet un subrecobriment finit. El cas particular del teorema aplicat a la recta real s'anomena sempre Teorema de Heine-Borel, mentre que fora d'aquest cas rep de vegades, el nom de Teorema de Borel-Lebesgue.

Les formulacions principals d'aquest teorema es deuen als matemàtics Eduard Heine, Émile Borel, Henri Léon Lebesgue, Bernard Bolzano i Karl Weierstrass.

Història i motivació

La història del que avui s'anomena teorema de Heine-Borel comença al segle xix, amb la cerca de teories sòlides per l'anàlisi real. En la teoria descrita era central el concepte de continuïtat uniforme i més concretament el teorema que indica que cada funció contínua en un interval tancat és uniformement contínua. Peter Gustav Lejeune Dirichlet va ser el primer en demostrar-la i implícitament en la demostració va utilitzar l'existència d'un subconjunt finit d'un conjunt obert donat d'un interval tancat.^[1] Més tard, altres matemàtics com Eduard Heine, Karl Weierstrass i Salvatore Pincherle van utilitzar tècniques similars. Al 1895, Émile Borel va ser el primer en declarar i demostrar una forma primerenca del teorema, amb una formulació restringida a conjunts contables. Pierre Cousin, Lebesgue i Arthur Schoenflies el van generalitzar a conjunts arbitraris.^[1]

Teoremes Preliminars

Els subconjunts tancats de conjunts compactes són compactes

Sigui F un conjunt tancat i K un conjunt compacte tals que $F\subset K\subset \mathbb {R} ^{n}$ . Notem per $F^{c}$ el complement de F respecte a K.

Sigui $\{G_{a}\}$ un recobriment per oberts de F, llavors $\{G_{a}\}\cup \{F^{c}\}$ és un recobriment per oberts de K (podem afegir $F^{c}$ ja que és obert). Com que K és compacte llavors $\{G_{a},F^{c}\}$ té un refinament finit que també recobreix F. Podem treure $F^{c}$ i segueix recobrint F. Així obtenim un refinament finit de qualsevol recobriment per oberts de F

Si $E\subset K\subset \mathbb {R} ^{n}$ , on E és un conjunt infinit i K és compacte, llavors E té un punt d'acumulació en K

Si E no tingués punts d'acumulació en K llavors $\forall a\in K,\,\exists B_{\varepsilon }(a)=a$ on $B_{\varepsilon }$ és un entorn de radi ε > 0. És clar que el conjunt d'aquests entorns forma un recobriment de E però no té un refinament finit, el mateix compliria per K que contradiria la hipòtesi que K és compacte.

Tota k-cel·la és compacta

Sigui $I$ una k-cel·la que consisteix en tots els punts x = (x₁, x₂, ..., x_k) tal que $a\leq x_{j}\leq b$ i $j\in \{1,2,...,k\}$ . Sigui $\delta =(\sum (b_{j}-a_{j})^{2})^{1/2}$ llavors si $x,y\in I$ , $|xy|<\delta$ . Sigui $\{G_{a}\}$ un recobriment arbitrari de I i suposem que I no es pot recobrir amb una família finita dels $G_{a}$ .

Prenem $c_{s}={\frac {a_{s}+b_{s}}{2}}$ llavors els intervals $[a_{s},c_{s}];[c_{s},b_{s}]$ determinen 2_k cel·les Q_i amb $i\in \{1,2,...,2^{k}\}$ . Llavors com a mínim un Q_i no es pot recobrir amb una quantitat finita de $G_{a}$ . L'anomenarem I₁ i així obtenim una successió I_n tal que:

$I_{1}\supset I_{2}\supset I_{3}\supset ...$ .
$I_{n}$ no es pot recobrir amb una quantitat finita dels $G_{a}$ .
Si $x,y\in I_{n}$ llavors $|xy|<2^{-n}\delta$ .
$\bigcap _{n}I_{n}\neq \emptyset$

Diguem que $h\in \bigcap _{n}I_{n}$ ; com $\bigcup _{a}G_{a}$ recobreix I llavors $h\in G_{b}\subset \bigcup _{a}G_{a}$ . Com que G_b és obert existeix un $B_{\varepsilon }(h)\subset G_{b}$ . Si prenem n prou gran tal que $2^{-n}\delta <\varepsilon$ tenim que aquest $I_{n}\subset B_{\varepsilon }(h)\subset G_{b}$ el que contradiu la suposició que no es pot recobrir amb una quantitat finita dels $G_{a}$ .

Demostració del teorema de Heine-Borel

Enunciat: Si un conjunt $E\subset \mathbb {C} ^{n}$ té algunes de les propietats, aleshores també té les altres dues (és a dir, són totes equivalents):

E és tancat i connex.
E és acotat.
Tot subconjunt infinit de E té un punt d'acumulació a la frontera de E.

Demostració: Si compleix 1) llavors $E\subset I$ per a alguna k-cel·la $I$ , i 1) implicaria 2) pels teoremes 1 i 3 anteriors.

Si es compleix 2), llavors es compleix 3) pel teorema 2 anterior.

Ara falta demostrar que si compleix 3), aleshores compleix 1): Si E no és connex aleshores conté un conjunt ${x_{n}}$ tal que $|x_{n}|>n$ , llavors el subconjunt ${x_{n}}$ és finit i té un límit en $\mathbb {R} ^{n}$ , la qual cosa contradiu 3). Si E no és obert llavors hi ha un element $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ que és un punt d'acumulació de E però no és a E. Per a $n=1,2,...$ hi ha $x_{n}\in E$ tals que $|x_{n}-x_{0}|<1/n$ , llavors el conjunt ${x_{n}}$ és infinit i té límit contingut en ell mateix, la qual cosa contradiu 3). (Q.E.D.)