Usuari:Brill/proves/Circumferència inscrita

Circumferència inscrita en un polígon

Circumferències ${\mathfrak {I}}_{1}$ i ${\mathfrak {I}}_{2}$ inscrites als polígons ${\mathfrak {P}}_{1}$ i ${\mathfrak {P}}_{2}$ i incentres respectius $I_{1}$ i $I_{2}$

La circumferència inscrita (o de vegades, el cercle inscrit o incercle) d'un polígon que en tingui és la circumferència que és tangent a tots els costats d'aquest polígon. El centre d'aquesta circumferència s'anomena incentre, i el seu radi s'anomena inradi. Un polígon que té una circumferència inscrita s'anomena polígon tangencial; tots els polígons regulars simples i tots els triangles són polígons tangencials.

L'incentre d'un polígon tangencial equidista de tots els seus costats i, per tant, és la intersecció de les bisectrius dels angles d'aquest polígon.

Circumferència inscrita i circumferències exinscrites en un triangle

Circumferència inscrita ${\mathfrak {I}}$ i circumferències exinscrites ${\mathfrak {E}}_{A}$, ${\mathfrak {E}}_{B}$ i ${\mathfrak {E}}_{C}$ al triangle $\triangle {ABC}$

Circumferència inscrita, incentre i inradi

Com que l'incentre $I$ d'un triangle $\triangle ABC$ equidista dels seus costats $a$, $b$ i $c$, els tres segments perpendiculars a cadascun dels costats tirats des de l'incentre són iguals i són radis d'una circumferència ${\mathfrak {I}}$ amb centre a l'incentre $I$ i tangent a cadascun dels costats del triangle en els peus d'aquestes perpendiculars. Aquesta circumferència és la circumferència inscrita al triangle (també: cercle inscrit o incercle). El radi de la circumferència inscrita, $r$, és l'inradi.

Circumferències exinscrites, exincentres i exinradis

El mateix s'esdevé amb els exincentres, que són els respectius centres de tres circumferències tangents a un costat i les prolongacions dels altres dos, a l'exterior del triangle. Aquestes circumferències són les circumferències exinscrites al triangle (també: cercles exinscrits, exincercles o excercles). Els respectius radis, $r_{A}$, $r_{B}$ i $r_{C}$, són els exinradis o exradis.

Inradi, exradis i àrea del triangle

L'inradi i els exinradis tenen una relació senzilla amb l'àrea del triangle:

Inradi i àrea del triangle

El triangle $\triangle ABC$ descompon en els triangles $\triangle AIB$, $\triangle BIC$ i $\triangle AIC$. A cadascun d'aquests tres triangles podem considerar que un costat n'es la base i l'inradi $r$ n'es l'altura, així, doncs, si $S$ és l'àrea del triangle $\triangle ABC$,

$S={\dfrac {ar}{2}}+{\dfrac {br}{2}}+{\dfrac {cr}{2}}={\dfrac {(a+b+c)r}{2}}$

o sigui,

$r={\dfrac {2S}{a+b+c}}$

Exradis i àrea del triangle

Igualment, el quadrilàter $AI_{C}BC$ descompon en els triangles $\triangle AI_{C}C$ de base $b$, i $\triangle BI_{C}C$ de base $a$, tots dos d'altura l'exinradi $r_{C}$. Si aquest quadrilàter li treiem el triangle $\triangle AI_{C}B$, de base $c$ i altura $r_{C}$, obtenim el triangle $\triangle ABC$. Resulta:

$S={\dfrac {br_{C}}{2}}+{\dfrac {ar_{C}}{2}}-{\dfrac {cr_{C}}{2}}={\dfrac {(a+b-c)r_{C}}{2}}$

Consideracions similars pels altres dos exincentres $I_{A}$ i $I_{B}$ porten a

$r_{A}={\dfrac {2S}{-a+b+c}},\qquad r_{B}={\dfrac {2S}{a-b+c}},\qquad r_{C}={\dfrac {2S}{a+b-c}}$

D'aquestes fórmules es dedueix que les circumferències exinscrites són sempre més grans que la inscrita al triangle, i que la més gran de totes és la circumferència exinscrita tangent al costat més llarg.

Inradi, exinradis i circumradi d'un triangle

Si $R$ és el circumradi d'un triangle $\triangle ABC$ d'àrea $S$,

$S={\dfrac {abc}{4R}}$

Aleshores, de

$S={\dfrac {(a+b+c)r}{2}}={\dfrac {(-a+b+c)r_{A}}{2}}={\dfrac {(a-b+c)r_{B}}{2}}={\dfrac {(a+b-c)r_{C}}{2}}={\dfrac {abc}{4R}}$

resulta

${\dfrac {abc}{a+b+c}}=2rR,\qquad {\dfrac {abc}{-a+b+c}}=2r_{A}R,\qquad {\dfrac {abc}{a-b+c}}=2r_{B}R,\qquad {\dfrac {abc}{a+b-c}}=2r_{C}R$

Bibliografia

1. Coxeter, Harold Scott MacDonald; Greitzer, Samuel L. Geometry Revisited (en anglès). Washington D. C. (USA): Mathematical Association of America, 1972. ISBN ISBN-0-88385-619-0. 
2. Puig Adam, Pedro. Curso de Geometría Métrica (en espanyol). Madrid: Biblioteca Matemática, 1972. 

Enllaços externs

• «Brill/proves/Circumferència inscrita». Gran Enciclopèdia Catalana. Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana.
• Weisstein, Eric W., «Incircle» a MathWorld (en anglès).