Usuari:Mcapdevila/Força centrípeta

Força centrípeta en un moviment circular.

Força centrípeta és la força, o la component de força, dirigida cap al centre de curvatura de la trajectòria, que actua sobre un objecte en moviment sobre una trajectòria curvilínia.

El terme «centrípeta» prové de les paraules llatines centrum , «centre» i peter , «dirigir-se cap», i pot ser obtinguda a partir de les lleis de Newton. La força centrípeta sempre actua en forma perpendicular a la direcció del moviment del cos sobre el qual s'aplica. En el cas d'un objecte que es mou en trajectòria circular amb velocitat canviant, la força neta sobre el cos pot ser descomposta en un component perpendicular que canvia la direcció del moviment i un tangencial, paral·lel a la velocitat, que modifica el mòdul de l'velocitat.

La força centrípeta no s'ha de confondre amb la força centrífuga, tal com s'explica a la secció Malentesos comuns.

Força centrípeta en mecànica newtoniana

Els objectes amb moviment rectilini uniforme tenen una velocitat constant, però un objecte que es mogui sobre una trajectòria circular amb velocitat constant experimenta contínuament un canvi en la direcció del seu moviment, és a dir, en la direcció de la velocitat. Ja que la velocitat canvia, hi ha una acceleració. La magnitud d'aquest canvi de direcció de la velocitat per unitat de temps és l'acceleració centrípeta, representada per un vector dirigit cap al centre de la circumferència donat per

$\mathbf {a} =-{\frac {v^{2}}{r}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right)=-{\frac {v^{2}}{r}}{\hat {\mathbf {u} }}_{r}=-\Omega ^{2}\mathbf {r}$

On:

$\mathbf {a} \,$ és l'acceleració centrípeta.

$V\,$ és el mòdul de la velocitat.

$R\,$ és el radi de la trajectòria circular (en general, el radi de curvatura).

$\mathbf {r} \,$ el vector de posició.

$\mathbf {o} _{r}\,$ l'inversor radial.

$\Omega \,$ la velocitat angular.

Segons la segona llei de Newton, perquè es produeixi una acceleració ha d'actuar una força en la direcció d'aquesta acceleració. Així, si considerem una partícula de massa $m\,$ a moviment circular uniforme, està sotmesa a una força centrípeta donada per:

$\mathbf {F} =-{\frac {mv^{2}}{r}}{\hat {\mathbf {u} }}_{r}=-m\omega ^{2}\mathbf {r}$

Exemple

Suposem que lliguem una pilota amb una corda i la fem girar en cercle a velocitat angular constant. La pilota es mou en una trajectòria circular perquè la corda exerceix sobre ella una força centrípeta.

Un altre exemple es pot veure a Model de Tiovivo, on un programa realitzat en Llenguatge Java permet parametritzar algunes de les variables que intervenen utilitzant un carrusel.

Malentesos comuns

En alguns textos didàctics introductoris hi ha certa confusió entre els termes "força centrípeta" i "força centrífuga". La força centrífuga és una força fictícia que apareix per a un observador que utilitza un marc de referència en rotació per a descriure el moviment. En canvi, per a un observador en un marc de referència inercial no percep cap força centrífuga, mentre que sí que veu una força real anomenada força centrípeta que és la que obliga a un mòbil a corbar la seva trajectòria en la direcció d'aquesta força. El problema és que en un sistema en rotació la força fictícia centrífuga percebuda per un observador també en rotació coincideix en magnitud (però no en sentit) amb la força centrípeta mesurada per un observador inercial exterior al sistema en rotació.

Tampoc la força centrípeta s'ha de confondre amb l'anomenada força central. La força central és una força real que actua sobre un cos i que compleix amb dues condicions: (1) la seva magnitud depèn només de la distància del cos a un punt que s'anomena centre de forces. (2) la seva línia d'acció passa per l'esmentat centre de forces. Exemples de forces centrals són la força gravitatòria i la força electrostàtica. Freqüentment, la força centrípeta és una força central.

Deducció de l'acceleració centrípeta

Demostració geomètrica

Figura 1: Els vectors de posició i velocitat es mouen de manera circular.

Podem deduir l'expressió de l'acceleració centrípeta amb arguments geomètrics recorrent a la figura annexa. La circumferència a l'esquerra de la figura mostra una partícula que es desplaça en una trajectòria circular amb velocitat constant en quatre instants diferents. El vector posició es denota amb $\mathbf {R}$ i la seva velocitat tangencial és $\mathbf {v}$.

Com que la velocitat és sempre tangent a la trajectòria, el vector $\mathbf {v}$ sempre és perpendicular al vector de posició. Com l'extrem del vector $\mathbf {R}$ es mou descrivint una circumferència de radi $R\,$, l'extrem del vector $\mathbf {v}$ ho fa de manera anàloga. La circumferència a la dreta mostra la forma en què canvia la velocitat amb el temps. Aquesta circumferència representa la Hodògrafes del moviment.

El canvi de la velocitat en el temps és l'acceleració, i atès que la velocitat canvia de manera similar a com ho fa el vector de posició, l'acceleració en cada instant també és perpendicular a la velocitat en aquest instant, de manera que podem dibuixar com a vectors $\mathbf {a}$ tangents a la circumferència.

Ja que els vectors de posició i velocitat giren conjuntament, el període T (temps emprat en una volta completa) serà el mateix en ambdós casos.

Per al període de la partícula en la trajectòria circular tenim:

$T={\frac {2\pi R}{v}}$

i, per analogia, amb l'Hodògrafes de la dreta tenim

$T={\frac {2\pi v}{a}}$

Igualant les dues equacions, i buidant $a$ obtenim.

$A={\frac {v^{2}}{R}}$

Comparant la trajectòria (esquerra) amb el seu Hodògrafes (dreta), es dedueix que l'acceleració apunta cap al centre de la circumferència, en forma oposada al vector $\mathbf {R} \,$. Això ho podem fer tornant cada un dels vectors $\mathbf {v}$ a la seva posició original en el cercle de l'esquerra. Si juntament amb ells ens portem els vectors $\mathbf {a}$, es podrà notar el fet que aquests últims efectivament apunten cap al centre.

Deducció usant el càlcul

Moviment circular

Un altre mètode per deduir l'equació de l'acceleració centrípeta consisteix a expressar l'equació de la trajectòria circular en equacions paramètriques:

$\mathbf {r} ={\begin{cases}x=R\cos \theta =R\cos \omega t\\i=R\sin \theta =R\sin \omega t\\\end{cases}}$

on:

$\Omega \,$ és la velocitat angular

$T\,$ és el temps

i derivar dues vegades successives respecte del temps:

$\mathbf {v} ={\begin{cases}{\dot {x}}=-\omega R\sin \omega t\\{\dot {i}}=\omega R\cos \omega t\\\end{cases}}$

$\mathbf {a} ={\begin{cases}{\ddot {x}}=-\omega ^{2}R\cos \omega t\\{\ddot {y}}=-\omega ^{2}R\sin \omega t\\\end{cases}}$

de manera que:

$\mathbf {a} =-\omega ^{2}{\vec {r}}$

que posa de manifest que l'acceleració està dirigida cap al centre de la trajectòria circular i que el seu mòdul ve donat per:

$a=-\omega ^{2}R={\frac {v^{2}}{R}}$

Força centrípeta en mecànica relativista

A mecànica relativista el quocient entre la força centrípeta i l'acceleració centrípeta, és diferent del quocient entre la força tangencial i l'acceleració tangencial. Això introdueix una diferència fonamental amb el cas newtonià: l'acceleració i la força relativistes no són vectors necessàriament paral·lels:

$\mathbf {F} ={\frac {d}{dt}}\left({\frac {m\mathbf {v} }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right)={\frac {m\mathbf {v} }{\left[1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right]^{3/2}}}\left({\frac {\mathbf {v} }{c^{2}}}\cdot \mathbf {a} \right)+{\frac {m\mathbf {a} }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

De la relació anterior, es dedueix que la força i l'acceleració només són paral·leles en dos casos:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} =0,\qquad \mathbf {a} \cdot \mathbf {v} =\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {v} \|$

El primer cas es dóna quan l'acceleració i la velocitat són perpendiculars, cosa que succeeix per exemple el moviment circular uniforme. El segon cas es dóna en un moviment rectilini. En qualsevol altre tipus de moviment en general la força i l'acceleració no seran permanentment paral·leles.

Vegeu també

• Acceleració centrípeta
• Força centrífuga
• Moviment circular
• Moviment circular uniforme

Bibliografia

• Marion, Jerry B.. Dinàmica clàssica de les partícules i sistemes (en espanyol). Barcelona: Ed Reverté, 1996. ISBN 84-291-4094-8. 
• Ortega, Manuel R.. Lliçons de Física (4 volums) (en espanyol). Monytex, 1989-2006. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398 - 9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7. 
• Resnick, Robert & Kran, Kenneth S.. Physics (en anglès). New York: John Wiley & Sons, 2001. ISBN 0-471-32057-9. 
• Resnick, Robert & Halliday, David. Física 4 a (en espanyol). CECS, Mèxic, 2004. ISBN 970-24-0257-3.