Usuari:Mcapdevila/Teoria de la dispersió

A dalt: la part real d'una ona plana que viatja cap amunt. A baix: la part real d'un camp després d'inserir en el camí de l'ona un petit disc transparent amb índex de refracció més alt que l'índex del medi que l'envolta. Aquest objecte dispersa part del camp de l'ona, encara que en qualsevol punt individual, la freqüència i la longitud d'ona es mantenen intactes.

En matemàtiques i física, la teoria de la dispersió és un marc per a l'estudi i la comprensió de la dispersió de ones i partícules. De forma prosacia, la dispersió d'ones correspon a la col·lisió i dispersió d'una ona amb algun objecte amb matèria, per exemple: la dispersió de la llum solar per les gotes de pluja per formar un arc de Sant Martí. La dispersió també inclou la dispersió de les boles de billar a la taula, la dispersió de Rutherford (o canvi d'angle) de partícules alfa per or nuclear, La dispersió de Bragg (o difracció) d'electrons i raigs X per un clúster d'àtoms, i la dispersió inelàstica d'un fragment de fissió mentre viatja per una fina capa d'alumini. De forma més precisa, la dispersió consisteix en l'estudi de com solucions de les equacions en derivades parcials, propagant lliurement "en un passat llunyà", s'ajunten i interactuen unes amb les altres o amb una condició de frontera, i després es propaguen allunyant-se cap a un "futur distant".

L ' problema de dispersió directa és el problema de determinar la distribució d'un flux de radiació/particulars dispersats basant-se en les característiques del dispers.

El problema de dispersió inversa és el problema de determinar les caracterícas d'un objecte (pe: la seva forma, constitució interna) a partir de les dades dels mesuraments de radiacions o partícules disperses de l'objecte.

Des del començament de la radiolocalització, el problema ha trobat un ampli nombre d'aplicacions, com ara ecolocalització, mesuraments geofísica s, assajos no destructius, imatge mèdica i la teoria quàntica de camps, per nomenar uns quants.

Bases conceptuals

Els conceptes usats en la teoria de la dispersió porten diferents noms en diferents camps. L'objecte d'aquesta secció és donar un punt de vista el lector de temes comuns.

Objectius compostos i equacions de rang

Quantitats equivalents usades en la teoria de la dispersió d'espècimens compostos, però amb una varietat d'unitats.

Quan l'objectiu és un conjunt de centres de dispersió les posicions relatives varien de forma impredictible, és normal pensar que una equació de rang els arguments prenguin diferents formes en diferents àrees d'aplicació. En el cas més senzill de tots es considera una interacció que elimina partícules d'un "feix no-dispers" de manera uniforme que és proporcional al flux I incident de partícules per unitat d'àrea i unitat de temps, però que

${\frac {vaigdonar}{dx}}=-QI\,\!$

on Q és el coeficient d'interacció ix és la distància recorreguda en l'objectiu.

L'anterior equació diferencial de primer ordre té solucions de la forma:

$I=I_{o}i^{-Q\Delta x}=I_{o}i^{-{\frac {\Delta x}{\lambda }}}=I_{o}i^{-\sigma (\eta \Delta x)}=I_{o}i^{-{\frac {\rho \Delta x}{\tau }}},$

on I _o és el flux inicial, longitud del camí Δx ≡ xx _o , la segona igualtat defineix una interacció de camí lliure mig λ, la tercera usa el nombre d'objectius per unitat de volum η per definir una àrea de secció eficaç σ, i l'última utilitza la densitat de massa de l'objectiu ρ per definir un camí lliure de densitat mitjana τ. Per tant, es pot convertir entre aquestes quantitats mitjançant Q = 1/λ = ησ = ρ/τ, com es mostra en la figura de l'esquerra.

En l'espectroscòpia per absorció electromagnètica, per exemple, el coeficient d'interacció (per exemple Q en cm ^-1 ) se l'anomena de vegades opacitat, coeficient d'absorció, i coeficient de atenuació. En física nuclear, les seccions transversals d'àrea (per exemple σ a barns or unitats de 10 ^-24 cm ² ), el camí lliure de densitat mitjana (eg τ en grams/cm ² ), i el seu recíproc l'coeficient d'atenuació de massa (per exemple en cm ² /gram) o àrea per nucleó són tots populars, mentre que en microscòpia electrònica el camí lliure mitjà inelàstic (ig λ en nanòmetres) està usualment, però, en controvèrsia .

Física teòrica

En física matemàtica, la teoria de la dispersió és un marc per a l'estudi i la comprensió de la interacció o la dispersió de solucions per les equacions en derivades parcials. En acústica, l'equació diferencial és la equació d'ona, i la dispersió estudia com les seves solucions, les equacions d'ona, es dispersen des d'un objecte sòlid o es propaguen a través de un mitjà no uniforme (com les ones sonores, a aigua marina, provinents d'un submarí). En el cas de la electrodinàmica clàssica, l'equació diferencial és de nou l'equació d'ona i estudia la dispersió de la llum o les ones de ràdio. En mecànica quàntica i física de partícules, l'equació són les de la electrodinàmica quàntica (QED), cromodinàmica quàntica (QCD) i el model estàndard de física de partícules, les solucions corresponen a les partícules fonamentals. En química quàntica, les solucions corresponen a àtoms i molècules, governat per la equació de Schrödinger.

Dispersió elàstica i inelàstica

L'exemple de dispersió en química quàntica és particularment instructiu, ja que la teoria és raonablement complexa mentre que té una buenva base per aconseguir una comprensió intuïtiva. Quan dos àtoms es dispersen l'un de l'altre, se'ls pot entendre com a solucions d'estat lligat d'una equació diferencial. Això és, per exemple, el hidrogen atòmic correspon a una solució de l'equació de Schrödinger d'una força central amb una potència-inversa negativa (ii, atracció de Coulomb). La dispersió de dos àtoms d'hidrogen pertorbarà l'estat de cada àtom, resultant que un o ambdós s'exciten, o fins i tot ionitzants. És a dir, les col·lisions poden ser elàstica (l'estat quàntic intern de les partícules no canvia) o inelàstica (l'estat quàntic intern de les partícules canvia). Des del punt de vista experimiental la quantitat observable és de la secció transversal. Des del punt de vista teòric la quantitat clau és la matriu S.

El marc matemàtic

En matemàtiques, la teoria de la dispersió tracta amb una formulació més abstracta del mateix conjunt de conceptes. Per exemple, si coneixem que una equació diferencial té alguna solucions simples i localitzades, i les solucions són funcinoes d'un únic paràmetre, aquest paràmetre pot prendre el rol conceptual del temps. Un es pregunta llavors que podria passar si dues d'aquestes solucions estan molt lluny una de l'altra, en un "passat distant", i es fa que es moguin una cap a l'altra, que interactuïn (sota la restricció de l'equació diferencial) i després es mouen allunyant en el "futur". La matriu de dispersió llavors parella les solucions en el "passat distant" amb aquelles en el "futur distant".

Les solucions de les equacions diferencials es basen normalment en les varietats. Normalment, això vol dir que la solució requereix l'estudi del espectre d'un operador en la varietat. Com a resultat, les solucions normalment tenen un espectre que pot identificar amb un espai de Hilbert, i la dispersió es descriu llavors com un mapa, la matriu S, en els espais de Hilbert. Els espais amb un espectre discret corresponen a estats lligats en la mecànica quàntica, mentre que un espectre continu està associat amb els estats de la dispersió. L'estudi de la dispersió inelàstica requereix esbrinar com es barregen els espectres discrets i continus.

Un important i notable descobriment és la transformada inversa de dispersió, base de les solucions de molts sistemes integrables.

Referències

• Lectures of the European school on Theoretical methods for electron and positron induced chemistry, Prague, febrer 2005
• E. Koelink, Lectures on scattering theory, Delft the Netherlands 2006