Usuari:Mcapdevila/Tessel·lació

Una tessel·lació vista en el paviment d'un carrer

Tessel·lació hexagonal d'un pis

Una tessel·lació és una regularitat o patró de figures que cobreix o pavimenta completament una superfície plana perquè no quedin espais buits i no se superposin les figures. Majoritàriament estan fetes de figuretes petites de diversos colors sobre un fons fet de guix Les tessel·lacions es creen usant transformacions isomètriques sobre una figura inicial.

Diferents cultures en el temps han utilitzat aquesta tècnica per a formar paviments o murs de mosaics en catedrals i palaus.

• Alguns mosaics sumeris amb uns quants milers d'anys d'antiguitat contenen regularitats geomètriques.
• Arquimedes al segle iii aC va fer un estudi sobre els polígons regulars que poden cobrir el pla.
• Johannes Kepler, astrònom alemany, va estudiar els polígons regulars que poden cobrir el pla, en la seva obra Harmonice mundi de 1619. A més, va realitzar estudis en tres dimensions dels anomenats sòlids platònics.
• Entre 1869 i 1891, el matemàtic Camille Jordan i el cristal·lògraf Evgenii Konstantinovitch Fiodorov van estudiar completament les simetries del pla, iniciant així l'estudi sistemàtic i profund de tessel·lacions.
• Un personatge clau en aquest tema és l'artista holandès M. C. Escher (1898 - 1972) que, per suggeriment del seu amic el matemàtic H. S. M. Coxeter, va aprendre les tessel·lacions hiperbòliques, cosa que va motivar el seu interès pel palau de l'Alhambra de Granada. Va llegar a un gran nombre de belles, curioses i misterioses obres d'art.

Angles que concorren en un vèrtex

Conceptes previs

• En una tessel·lació plana, la suma de tots els angles que concorren en un vèrtex és de 360 graus:

$\angle \alpha +\angle \beta +\angle \gamma +\angle \delta +\angle \epsilon +\angle \lambda =360^{o}$

• Un polígon és regular si té tots els seus costats i angles iguals.
• Un polígon és convex si totes les seves diagonals estan a l'interior del polígon.
• Un polígon és còncau si no és convex.

Tessel·lacions regulars

Els únics polígons regulars que cobreixen completament una superfície plana són: el triangle equilàter, el quadrat i l'hexàgon regular.

• 
  Triangles equilàters
• 
  Quadrats
• 
  Hexàgons

Tessel·lacions semiregulars

Són aquelles que usen dos o més polígons regulars en la seva formació. Una tessel·lació semiregular té les propietats següents:

1. Està formada només per polígons regulars.
2. La separació de polígons és idèntica en cada vèrtex.

Hi ha només 8 tessel·lacions semiregulars.

• 
  8 8 4
• 
  3 3 3 4 4
• 
  3 3 4 4 març
• 
  3 3 3 3 juny
• 
  12 març 1912
• 
  3 4 4 6
• 
  3 juny 3 juny
• 
  6 abril 1912

Tessel·lacions amb figures semiregulars

• 
  8 8 4
• 
  3 3 4 4 març
• 
  3 3 3 3 juny
• 
  12 març 1912
• 
  3 4 4 6
• 
  3 juny 3 juny
• 
  6 abril 1912

Tessel·lacions no regulars

Són aquelles formades per polígons no regulars.

Quadrilàters

Qualsevol paral·lelepípede és una tessel·lació, ja que només hem de prolongar els seus costats paral·lels i construir els nous paral·lels congruents al primer.

Amb qualsevol quadrilàter, ja sigui còncau o convex, és possible cobrir una superfície plana. En el cas còncau, és fàcil de demostrar pel teorema de Varignon que els punts mitjans de tot quadrilàter formen un paral·lelepípede i després una tessel·lació. Aquest mètode s'anomena mètode de la malla invisible.

Diagrama de quadrilàter que tessel·la.

Triangles

Amb un triangle escalè és possible cobrir tot el pla. Això es verifica formant el paral·lepípede corresponent:

Diagrama de triangle que tessel·la.

Hexàgons

A més dels hexàgons regulars, els hexàgons no regulars amb simetria central també tessel·len el pla. Altres hexàgons no regulars no tessel·len el pla.

Tessel·les del Caire

Tessel·les del Caire

Aquesta tessel·lació apareix sovint als carrers del Caire, Egipte i en l'art islàmic,d'aquí el seu nom.

Aquest pentàgon conté dos angles rectes, un angle d'aproximadament 131,5° i dos angles de 114,25°. Com en tot pentàgon, la suma dels seus angles és de 540°.

Polígons còncaus

• 
  Fletxa dreta
• 
  Creu grega
• 
  Angle "himterk"
• 
  "Chevron ayaoku-landt"

Construcció de tessel·lacions

Mètode de posar i treure

Consisteix a dibuixar una figura geomètrica que per si sola tessel·la el pla, com un paral·lelepípede o un triangle. Després, se li van traient parts d'una banda, per després posar-les en el costat contrari. Després, es repeteix aquesta imatge n vegades i es van posant de manera que encaixin perfectament, utilitzant les transformacions isomètriques (translació, rotació i simetria). Escher es va fer famós pels seus quadres de tessel·lacions construïts amb aquest mètode.

Tessel·lacions i isometria

A partir dels moviments o transformacions en el pla se'n poden aconseguir diversos dissenys.

Enllaços externs

• Oficial d'Escher.
• 14 pentàgon que tessel·la el plànol.
• Vídeo de tessel·lacions.
• Diccionari de la Real Acadèmia Espanyola.