Usuari:Rudarik/proves/Topologia de Zariski

En l'àmbit de la geometria algebraica i l'àlgebra commutativa, la topologia de Zariski és una topologia definida en una varietat algebraica. Fou introduïda per Oscar Zariski. En termes més generals, la topologia de Zariski dóna estructura d'espai topològic a l'espectre d'un anell.

Topologia de Zariski en varietats

En geometria algebraica clàssica, la topologia de Zariski defineix com a subconjunts oberts als subconjunts complementaris a subconjunts algebraics.

Varietats afins

Sigui $\mathbb {A} ^{n}$un espai vectorial sobre un cos $k.$Es dota de la següent topologia: donat un subconjunt $S\subset k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$de polinomis en $n$variables amb coeficients en $k,$es defineix el conjunt tancat

$V(S)=\{x\in \mathbb {A} ^{n}\mid f(x)=0,\forall f\in S\}.$

És fàcil comprovar que

• $V(S)=V((S)),$on $(S)$és l'ideal generat per elements de $S.$
• Donats dos ideals $I,J,$es satisfà
  1. $V(I)\cup V(J)=V(IJ),$
  2. $V(I)\cap V(J)=V(I+J).$

Aquestes condicions proven que els conjunts tancats d'aquesta forma doten $\mathbb {A} ^{n}$d'una topologia.

En general, donada una varietat algebraica $X\subset \mathbb {A} ^{n},$la topologia de Zariski en $X$és la topologia subespai.

Varietats projectives

L'espai projectiu es defineix com el conjunt de rectes dins de l'espai afí: $\mathbb {P} ^{n}\cong (\mathbb {A} ^{n+1}\setminus \{0\})/\mathbb {A} .$La topologia de Zariski en $\mathbb {P} ^{n}$es defineix d'una forma similar, però considerant només els ideals generats per polinomis homogenis, ja que només aquests son funcions ben definides en l'espai projectiu. Així doncs, donat un ideal $I\subset k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$generat per polinomis homogenis, es defineix el conjunt tancat

$V(S)=\{x\in \mathbb {P} ^{n}\mid f(x)=0,\forall f\in S\}.$

Similarment, es prova que els conjunts tancats d'aquest tipus formen una topologia. Per a una varietat projectiva $X\subset \mathbb {P} ^{n},$la topologia de Zariski en $X$és la corresponent topologia subespai.

Topologia de Zariski en l'espectre d'un anell

En geometria algebraica moderna, una varietat algebraica és sovint representada a través del seu esquema associat. Un esquema és un espai localment homeomorf a l'espectre d'un anell. L'espectre d'un anell commutatiu $R$ és el conjunt ${\text{Spec}}(R)$d'ideals primers de l'anell $R.$Els elements de $R$poden ser considerats funcions sobre ${\text{Spec}}(R)$de la següent manera. Sigui $x=[{\mathfrak {p}}]\in {\text{Spec}}(R),$es denota com a $\kappa (x)$el cos de fraccions del domini d'integritat $R/{\mathfrak {p}}$i es defineix $f(x)\in \kappa (x)$com a la imatge de $f$sota la composició $R\rightarrow R/[{\mathfrak {p}}]\rightarrow k(x).$

L'estructura d'espai topològic ve donada en definir els subconjunts tancats imitant la definició per varietats. Donat un subconjunt $S\subset A,$ es defineix el conjunt tancat

$V(S)=\{x\in {\text{Spec}}(A)\mid f(x)=0,\forall f\in S\}=\{P\in {\text{Spec}}(A)\mid S\subseteq P\}.$

En particular, si $I$és l'ideal generat per $S$, és té que $V(I)=V(S).$