Cúbica torçada

En matemàtiques, un cúbica torçada és una corba racional derivable C de grau tres a l' espai projectiu P³. És un exemple fonamental d'una corba torçada. És essencialment única, tret d'una transformació projectiva (és a dir, la cúbica torçada). Generalment es considera que és l'exemple més senzill d'una varietat projectiva que no és ni lineal ni una hipersuperfície, i es classifica com a tal a la majoria de llibres de text de geometria algebraica. És el cas tridimensional de la corba normal racional, i és la imatge d'una superfície de Veronese de grau tres a la recta projectiva.

Definició

El més sezill és definir-la de forma paramètrica com la imatge de l'apicació

$\nu :\mathbf {P} ^{1}\to \mathbf {P} ^{3}$

la qual assigna a la coordenades homogènies$[S:T]$ el valor

$\nu :[S:T]\mapsto [S^{3}:S^{2}T:ST^{2}:T^{3}].$

Dins un atles de l'espai projectiu, l'aplicació és senzillament la corba de moment

$\nu :x\mapsto (x,x^{2},x^{3})$

És a dir, és la clausura per un únic punt a l'infinit de la corba afí $(x,x^{2},x^{3})$.

De forma equivalent, és una varietat projectiva, definida com el zero de tres quàdriques derivables. Donades les coordenades homogènies [X:Y:Z:W] de P³, és el zero dels tres polinomis homogenis

$F_{0}=XZ-Y^{2}$

$F_{1}=YW-Z^{2}$

$F_{2}=XW-YZ.$

Es pot comprovar que aquestes tres formes quadràtiques esdevenen idènticament nul·les quan es fa servir la parameterització explícita de dalt; allò és, substituint x³ per X, etcètera.

De fet, l'ideal homogeni de la cúbica torçada C és generat per tres formes algebraiques de grau dos de P³. Els generadors de l'ideal són

$\{XZ-Y^{2},YW-Z^{2},XW-YZ\}.$

Propietats

La cúbica torçada té un assortiment de propietats elementals:

• És el conjunt-teorètic del la intersecció completa de XZ-Y² i $Z(YW-Z^{2})-W(XW-YZ)$, però no una intersecció completa esquema-teorètica o ideal-teorètica (l'ideal que en resulta no és radical, donat que conté $(YW-Z^{2})^{2}$ però no conté $YW-Z^{2}$).
• Donats quatre punts qualssevol de C generen tot P³.
• Donats sis punts de P³ sense que n'hi hagi quatre de coplanars, hi ha una única cúbica torçada que hi passa.
• La projecció de C sobre un pla a partir d'un punt sobre una línia tangent a C dona una cúbica cuspidal.
• La projecció a partir d'un punt sobre una línia secant a C dona una cúbica nodal.
• La projecció a partir d'un punt sobre C dona una secció cònica.

Bibliografia

• Harris, Joe. Algebraic Geometry, A First Course. Nova York: Springer-Verlag, 1992. ISBN 0-387-97716-3.