Distribució d'Irwin-Hall

Distribució d'Irwin-Hall

Funció de distribució de probabilitat
Tipus	distribució de probabilitat contínua i distribució de probabilitat simètrica
Paràmetres	n nombre natural
Suport	$x\in [0,n]$
fdp	${\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{j=0}^{\lfloor x\rfloor }(-1)^{j}{\binom {n}{j}}(x-j)^{n-1}$
FD	${\frac {1}{n!}}\sum _{j=0}^{\lfloor x\rfloor }(-1)^{j}{\binom {n}{j}}(x-j)^{n}$
Esperança matemàtica	${\frac {n}{2}}$
Mediana	${\frac {n}{2}}$
Moda	${\begin{cases}{\text{qualsevol valor a}}\ [0,1]&{\text{per a}}\ n=1\\{\frac {n}{2}}&{\text{altrament}}\end{cases}}$
Variància	${\frac {n}{12}}$
Coeficient de simetria	0
Curtosi	$-{\tfrac {6}{5n}}$
FGM	${\left({\frac {\mathrm {e} ^{t}-1}{t}}\right)}^{n}$
FC	${\left({\frac {\mathrm {e} ^{it}-1}{it}}\right)}^{n}$
Mathworld	UniformSumDistribution

En probabilitat i estadística, la distribució d'Irwin-Hall, anomenada així en honor a Joseph Oscar Irwin i Philip Hall, és la distribució de probabilitat de la suma d'un nombre de variables aleatòries independents, cadascuna amb distribució uniforme en l'interval [0,1]. Per aquest motiu també es coneix com a distribució de suma uniforme. Aquesta mena de distribucions van ser estudiades per Joseph Luis Lagrange el 1770 i per Nicolai Lobatxevski el 1832, i redescobertes per nombrosos autors.

La distribució d'Irwin-Hall està relacionada amb la distribució de Bates, que és la mitjana de n variables aleatòries independents distribuïdes uniformement en [0,1].

Definició

La distribució de Irwin–Hall és la distribució de probabilitat de la suma de $n$ variables aleatòries $U_{1},\dots ,U_{n}$ independents totes amb distribució uniforme en l'interval [0,1]:

$$S_{n}=\sum _{i=1}^{n}U_{i}.$$

La funció de densitat de probabilitat està donada per

$$f_{n}(x)={\begin{cases}{\displaystyle {\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{n \choose j}(x-j)_{+}^{n-1}},&{\text{si}}\ x\in [0,n],\\\\0,&{\text{altrament,}}\end{cases}}\qquad \qquad (1)$$on, per a un nombre real $r$ i un nombre natural $m$ ,

$$(r)_{+}^{m}={\begin{cases}r^{m},&{\text{si}}\ r>0,\\0,&{\text{si}}\ r\leq 0.\end{cases}}$$Alternativament, $$f_{n}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{j=0}^{[x]}(-1)^{j}{n \choose j}(x-j)^{n-1},\quad x\in [0,n],\qquad (2)$$ on $[r]$ és la part entera del nombre real $r$ . L'equivalència entre les expressions (1) i (2) de $f_{n}$ es dedueix del fet que per a $j=[x]+1,\dots ,n$, tenim que $x-j<0$.

Aquesta densitat també es pot escriure $$f_{n}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{n \choose j}(x-j)^{n-1},\quad x\in [k,k+1],\qquad (3)$$amb $k=0,1\dots ,n-1$ .

Càlculs explícits i demostració de la fórmula general

Funció de densitat per a n =1, 2 i 3

Figura 1. Funció de densitat $f_{1}$

Per a ${\boldsymbol {n=1}}$, la funció de densitat $f_{1}$ és la densitat d'una distribució uniforme en l'interval [0,1]: $$f_{1}(x)={\begin{cases}1,&{\text{si}}\ x\in [0,1],\\\\0,&{\text{altrament}}.\end{cases}}$$ Vegeu la Figura 1.

Quan ${\boldsymbol {n=2}}$. $$f_{2}(x)={\begin{cases}x,&{\text{si}}\ x\in [0,1),\\\\2-x,&{\text{si}}\ x\in [1,2],\\\\0,&{\text{altrament}}.\end{cases}}$$Vegeu la Figura 2. La distribució amb aquesta funció de densitat s'anomena distribució triangular.

Figura 2. Funció de densitat $f_{2}$

La demostració d'aquesta fórmula es fa utilitzant la següent propietat:

Propietat: Funció de densitat de la suma de variables aleatòries independents . Considerem dues variables aleatòries $X$ i $Y$ independents amb funcions de densitat $f_{X}$ i $f_{Y}$ respectivament. Sigui $$Z=X+Y.$$ Aleshores $Z$ té funció de densitat $$f_{Z}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{Y}(x-u)f_{X}(u)\,du=\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x-u)f_{Y}(u)\,du.\quad \quad (4)$$

Retornem al cas $n=2$. D'acord amb (4), $$f_{2}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{1}(x-y)f_{1}(y)\,dy=\int _{0}^{1}f_{1}(x-y)dy.$$ Fem el canvi de variable $u=x-y$ i obtenim$$f_{2}(x)=\int _{x-1}^{x}f_{1}(u)\,du.$$ Ara hem de distingir 3 casos:

• Cas 1. Si $x\in [0,1)$, vegeu la Figura 3, aleshores, atès que $f_{1}(u)$ és zero a menys que $u\in [0,1]$, tindrem $$f_{2}(x)=\int _{0}^{x}f_{1}(u)\,du=x.$$

Figura 3. Càlcul de la funció de densitat $f_{2}$, cas 1

• Cas 2. Si $x\in (1,2]$, vegeu la Figura 4, aleshores,

$$f_{2}(x)=\int _{x-1}^{1}f_{1}(u)\,du=x-2.$$

Figura 4. Càlcul de la funció de densitat $f_{2}$, cas 2

• Cas 3. Finalment, si $x\not \in [0,2]$, és clar que $f_{2}(x)=0$.

Per a ${\boldsymbol {n=3}}$, $$f_{3}(x)={\begin{cases}{\dfrac {x^{2}}{2}},&{\text{si}}\ x\in [0,1),\\\\-x^{2}+3x-{\dfrac {3}{2}},&{\text{si}}\ x\in [1,2),\\\\{\dfrac {(2-x)^{2}}{2}},&{\text{si}}\ x\in [2,3],\\\\0,&{\text{altrament}}.\end{cases}}$$

Figura 5.Funció de densitat $f_{3}$

La demostració es fa com en el cas anterior, aplicant la fórmula (4):$$f_{3}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{2}(x-y)f_{1}(y)\,dy=\int _{-0}^{1}f_{2}(x-y)dy=\int _{x-1}^{x}f_{2}(u)\,du.$$ Ara cal distingir els casos $x\in [0,1)$, $x\in [1,2)$, etc. Per exemple, quan $x\in [1,2)$, $$f_{3}(x)=\int _{x-1}^{x}f_{2}(u)\,du=\int _{x-1}^{1}u\,du+\int _{1}^{x}(2-u)\,du,$$ i ara es calculen ambdues integrals.

Demostració de la fórmula general

Anem a demostrar la fórmula (1) per inducció (aquesta demostració és de Feller). Es pot comprovar que aquesta fórmula per a $n=1,2,3$ coincideix amb les expressions que hem calculat anteriorment; ara bé, la deducció de la fórmula general a partir dels càlculs per a $n$ petites no és gens evident. Cal dir que Lagrange i Lobatxevski van deduir fórmules equivalents mitjançant un pas al límit a partir del cas discret.

Tal com hem dit, per a $n=1$ la fórmula (1) dóna exactament l'expressió que hem obtingut abans. Suposem certa la fórmula (1) per a $n$; anem a demostrar-la per a $n+1$. De la mateixa manera que hem fet en els càlculs de $n=2$, per la fórmula (2), $$f_{n+1}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{n}(x-y)\,f_{1}(y)\,dy=\int _{0}^{1}f_{n}(x-y)\,dy=\int _{x-1}^{x}f_{n}(u)\,du=\int _{-\infty }^{x}f_{n}(u)\,du-\int _{-\infty }^{x-1}f_{n}(u)\,du.\quad \quad (5)$$

De la hipòtesi d'inducció i de l'expressió (1) veurem que cadascuna de les integrals que apareixen a la dreta es redueix a una suma d'integrals de la forma$$\int _{0}^{z}(u-m)_{+}^{n-1}\,du,$$amb $m\in [0,n]$. La funció $h(u)=(u-m)_{+}^{n-1}$ val (vegeu la Figura 6) $$h(u)=(u-m)_{+}^{n-1}={\begin{cases}(u-m)^{n-1},&{\text{si }}u\geq m,\\0,&{\text{en cas contrari.}}\end{cases}}$$

Gràfic de la funció $h(u)=(u-m)_{+}^{n-1}$

Aleshores, per a $z\geq m$, $$\int _{0}^{z}(u-m)_{+}^{n-1}\,du=\int _{m}^{z}(u-m)^{n-1}\,du={\frac {1}{n}}(z-m)^{n}.$$ Quan $z<m$, $$\int _{0}^{z}(u-m)_{+}^{n-1}\,du=0.$$ En resum, $$\int _{0}^{z}(u-m)_{+}^{n-1}\,du={\frac {1}{n}}(z-m)_{+}^{n}.$$

Ara hem de distingir diversos casos.

• Si $x\in [1,n]$, la primera integral de la dreta de (5) val $$\int _{0}^{x}f_{n}(u)\,du={\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}\int _{0}^{x}(u-j)_{+}^{n-1}\,du={\frac {1}{n!}}\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}(x-j)_{+}^{n}.\qquad (6)$$La segona integral de la dreta de (5) dóna

$$\int _{0}^{x-1}f_{n}(u)\,du={\frac {1}{n!}}\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}(x-1-j)_{+}^{n}=-{\frac {1}{n!}}\sum _{j=1}^{n+1}(-1)^{j}{\binom {n}{j-1}}(x-j)_{+}^{n},\qquad (7)$$on a la darrera igualtat hem fet el canvi d'índexs $j\to j+1$.

Ara, de (5), (6) i (7),

$$f_{n+1}(x)={\frac {1}{n!}}x_{+}^{n}+{\frac {1}{n!}}\sum _{j=1}^{n-1}(-1)^{j}{\bigg (}{\binom {n}{j}}+{\binom {n}{j-1}}{\bigg )}(x-j)_{+}^{n}+{\frac {1}{n!}}(x-n-1)_{+}^{n}={\frac {1}{n!}}\sum _{j=0}^{n+1}(-1)^{j}{\binom {n+1}{j}}(x-j)_{+}^{n},$$que és l'expressió pel cas $n+1$ de (1). A la darrera igualtat hem utilitzat la propietat dels coeficients binomials $${\binom {n}{j}}+{\binom {n}{j-1}}={\binom {n+1}{j}}.$$

• Si $x\in [0,1]$, aleshores la segona integral de la dreta de (5) és zero, i en relació amb la primera integral de (3), només és diferent de zero el sumand corresponent a $k=0$, amb la qual cosa,

$$f_{n+1}(x)={\frac {1}{n!}}\,x_{+}^{n},$$que és el que dóna l'expressió (1) per a $n+1$ per aquestes valors de $x$.

• Anàlogament, s'estudia el cas $x\in [n,n+1]$.

• Quan $x<0$ o $x>n+1$, evidentment $f_{n+1}(x)=0$.

Funció de distribució

La funció de distribució és $$F_{n}(x)=\int _{-\infty }^{t}f_{n}(x)\,dx={\begin{cases}0,&{\text{si}}\ t<0,\\\\\displaystyle {{\frac {1}{n!}}\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}(t-j)_{+}^{n}},&t\in [0,n],\\\\1,&{\text{si}}\ t>n.\end{cases}}$$Evidentment, també es poden calcular expressions equivalents a partir de (2) i (3).

La funció de densitat és un spline

És interessant notar que la funció de densitat $f_{n}(x)$ a l'interval $[0,n]$ és un spline (funció polinòmica a trossos) de grau $n-1$ sobre els nusos $0,1,\dots ,n$:$$f_{n}(x)={\begin{cases}f_{n}^{(0)}(x),&{\text{si}}\ x\in [0,1],\\f_{n}^{(1)}(x),&{\text{si}}\ x\in [1,2],\\\ \vdots &\\f_{n}^{(n-1)}(x),&{\text{si}}\ x\in [n-1,n],\end{cases}}$$on $f_{n}^{(0)},\dots ,f_{n}^{(n-1)}$ són polinomis de grau $n-1$, que podem escriure, per a $k=0,\dots ,n-1$,$$f_{n}^{(k)}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{j=0}^{n-1}a_{j}(k,n)x^{j},\ \quad x\in [k,k+1].$$on els coeficients $a_{j}(k,n)$ es poden calcular recursivament en $k$ per la fórmula $$a_{j}(k,n)={\begin{cases}0,&{\text{per a}}\ k=0,\ j=0,\dots ,n-1,\\\\1,&{\text{per a}}\ k=0,\ j=n-1,\\a_{j}(k-1,n)+(-1)^{n+k-j-1}{\dbinom {n}{k}}{\dbinom {n-1}{j}}k^{n-j-1},&{\text{per a}}\ k=1,\dots ,n-1,\,j=0,,\dots ,n-1.\end{cases}}$$Per exemple, per a $n=4$ tenim, per a $k=0$ , $$a_{0}(0,4)=a_{1}(0,4)=a_{2}(0,4)=0,\ a_{3}(0,4)=1.$$Per tant, $$f_{4}^{(0)}(x)={\frac {1}{6}}\,x^{3}.$$Per a $k=1$, tenim$$a_{0}(1,4)=4,\,a_{1}(1,4)=-12,\,a_{2}(1,4)=12,\,a_{3}(1,4)=-3.$$D'on $$f_{4}^{(1)}(x)={\frac {1}{6}}(4-12x+12x^{2}-3x^{3}).$$Calculant els altres coeficients tenim, $$f_{4}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{6}}\,x^{3},&{\text{si}}\ x\in [0,1],\\{\frac {1}{6}}(4-12x+12x^{2}-3x^{3}),&{\text{si}},x\in [1,2],\\{\frac {1}{6}}(-44+60x-24x^{2}+3x^{3}),&{\text{si}},x\in [2,3],\\{\frac {1}{6}}(64-48x+12x^{2}-x^{3}),&{\text{si}},x\in [3,4].\end{cases}}$$

Demostració de la fórmula per als coeficients $a_{j}(k,n)$

De l'expressió (3) de $f_{n}(x)$ tenim que

$$f_{n}^{(0)}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}x^{n-1}.$$ Per tant, $$a_{0}(0,n)=a_{1}(0,n)=\cdots =a_{n-2}(0,n)=0\quad {\text{i}}\quad a_{n-1}(0,n)=1.$$ A més, també de (3), per a $j=1,\dots ,n-1$, $$f_{n}^{(k)}(x)=f_{n}^{(k-1)}(x)+{\frac {1}{(n-1)!}}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(x-k)^{n-1}=f_{n}^{(k-1)}(x)+{\frac {1}{(n-1)!}}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}\sum _{j=0}^{n-1}(-1)^{n-1-j}{\binom {n-1}{j}}x^{j}k^{n-1-j}.$$

En conseqüència, ajuntant els dos coeficiens de $x^{j}$ de la dreta, tenim $$a_{j}(k,n)=a_{j}(k-1,n)+(-1)^{n+k-j-1}{\binom {n}{k}}{\binom {n-1}{j}}k^{n-j-1}.$$

D'altra banda, la successió $$\overbrace {\underbrace {a_{0}(0,1)} _{\color {red}k=0}} ^{\color {blue}n=1},\overbrace {\underbrace {a_{0}(0,2),a_{1}(0,2)} _{\color {red}k=0},\underbrace {a_{0}(1,2),a_{1}(1,2)} _{\color {red}k=1}} ^{\color {blue}n=2},\overbrace {\underbrace {a_{0}(0,3),a_{1}(0,3),a_{2}(0,3)} _{\color {red}k=0},\underbrace {a_{0}(1,3),a_{1}(1,3),a_{2}(1,3)} _{\color {red}k=1},\underbrace {a_{0}(2,3),a_{1}(2,3),a_{2}(2,3)} _{\color {red}k=2}} ^{\color {blue}n=3},\dots$$ està recollida a The on-line Encyclopedia of integer sequences, on hi ha els seus valors fins al terme $a_{0}(4,5)$. A més, també es donen fórmules per als programari Mathematica i Maple per a calcular qualsevol terme. Per a $n=5$$$f_{5}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{24}}\,x^{4},&{\text{si}}\ x\in [0,1],\\{\frac {1}{24}}(-5+20x-30x^{2}+20x^{3}-4x^{4}),&{\text{si}}\ x\in [1,2],\\{\frac {1}{24}}(155-300x+210x^{2}-60x^{3}+6x^{4}),&{\text{si}}\ x\in [2,3],\\{\frac {1}{24}}(-655+780x-330x^{2}+60x^{3}-4x^{4}),&{\text{si}}\ x\in [3,4],\\{\frac {1}{24}}(625-500x+150x^{2}-20x^{3}+x^{4}),&{\text{si}}\ x\in [4,5].\end{cases}}$$La funció de distribució també és un spline a $[0,n]$ i els coeficients dels diferents polinomis també estàn recollits a The on-line Encyclopedia of integer sequences

Aproximació normal

D'acord amb el teorema central del límit, atès que $$E[U_{i}]={\frac {1}{2}}\quad {\text{i}}\quad {\text{Var}}(U_{i})={\frac {1}{12}},$$ tenim que

$$\lim _{n\to \infty }{\sqrt {\frac {12}{n}}}\,{\big (}S_{n}-{\frac {n}{2}}{\big )}=Z,\ {\text{en distribució}},$$on $Z$ te una distribució normal estàndard ${\mathcal {N}}(0,1)$ (vegeu la remarca 2 a la pàgina teorema central del límit ). També es diu que $S_{n}$ és asimptòticament normal amb mitjana $n/2$ i variància $n/12$ i s'escriu $$S_{n}\sim {\mathcal {AN}}{\bigg (}{\frac {n}{2}},{\frac {n}{12}}{\bigg )}.$$

Generalitzacions

Suma de variables uniformes en l'interval [0,c]

La funció de densitat de la suma de $n$ variables aleatòries independents totes amb distribució uniforme en l'interval $[0,c]$ amb $c>1$ , que designarem per $f_{n}(x;0,c)$ és $$f_{n;0,c}(x)={\frac {1}{c^{n}(n-1)!}}\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{n \choose j}(x-cj)_{+}^{n-1},\ x\in [0,cn].$$

Cas de Lobatxevski: suma de variables uniformes en l'interval [-1,1]

Lobatxevski (vegeu també) considera el cas de la suma de $n$ variables aleatòries independents amb distribució uniforme a l'interval $[-1,1]$. La seva densitat, que denotarem per $f_{n}(x;-1,1)$ és $$f_{n}(x;-1,1)={\frac {1}{2^{n}(n-1)!}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\Big (}x+n-2k{\Big )}_{+}^{n-1},\ x\in [-n,n].$$Alternativament, $$f_{n}(x;-1,1)={\frac {1}{2^{n}(n-1)!}}\sum _{k=0}^{{\big [}{\frac {x+n}{2}}{\big ]}}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\Big (}x+n-2k{\Big )}^{n-1},\ x\in [-n,n].$$

Cas general: suma de variables uniformes en l'interval [a,b]

Siguin $V_{1},\dots ,V_{n}$ variables aleatòries independents, totes amb distribució uniforme a l'interval $[a,b]$ amb $a<b$. Designem per $S_{n;a,b}$ la seva suma: $$S_{n;a,b}=\sum _{i=1}^{n}V_{i}.$$Sigui $f_{n}(x;a,b)$ la seva funció de densitat . Aleshores, $$f_{n}(x;a,b)={\frac {1}{b-a}}\,f_{n}{\Big (}{\frac {x-na}{b-a}}{\Big )},\ x\in [na,nb].$$

Demostracions

Evidentment $f_{n}(x;0,c)$ i $f_{n}(x;-1,1)$ són casos particulars de $f_{n}(x;a,b)$. Per demostrar la fórmula en el cas general només s'ha de tenir en compte que si $U$ és una variable aleatòria uniforme en $[0,1]$, llavors $a+(b-a)U$ té una distribució uniforme en l'interval $[a,b]$ (n'hi ha prou amb calcular la funció de densitat de $a+(b-a)U$ mitjançant la fórmula de canvi de variables per a variables aleatòries). Aleshores $S_{n;a,b}$ tindrà la mateixa distribució que $$\sum _{i=1}^{n}{\big (}a+(b-a)U_{i}{\big )}=na+(b-a)S_{n},$$on $U_{1},\dots ,U_{n}$ són variables aleatòries independents, totes amb distribució uniforme a l'interval $[0,1]$ i $S_{n}=\sum _{i=1}^{n}U_{i}$. Llavors, per la fórmula de canvi de variables per a variables aleatòries, $$f_{n}(x;a,b)={\frac {1}{b-a}}\,f_{n}{\Big (}{\frac {x-na}{b-a}}{\Big )},\ x\in [na,nb].$$

Vegeu també

• Distribució de Bates
• Distribució uniforme contínua
• Distribució triangular

Bibliografia

• Feller, William. Introducción a la teoría de probabilidades y sus aplicaciones, Volumen II. Segunda edición. Mèxico: Editorial Limusa, 1978, p. 55. 

• Johnson, N. L.; Kotz, S.; Balakrishnan, N. Continuous Univariate Distributions, Volume 2. 2a edició. Nova York: Wiley, 1995. ISBN 0-471-58494-0.