Funció zeta local

En matemàtiques, en la teoria de nombres, la funció zeta local $Z(V,s)$ (de vegades anomenada funció zeta congruent) es defineix com

$Z(V,s)=\exp \left(\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {N_{m}}{m}}(q^{-s})^{m}\right)$

on $N_{m}$ és el nombre de punts de $V$ definit sobre extensió de cossos de grau $m$ de $\mathbf {F} _{q^{m}}$ de $\mathbf {F} _{q}$, i $V$ és una varietat algebraica projectiva $n$- dimensional no-singular sobre el camp $\mathbf {F} _{q}$ amb $q$ elements. Per la transformació de variables $u=q^{-s}$, es defineix

${\mathit {Z}}(V,u)=\exp \left(\sum _{m=1}^{\infty }N_{m}{\frac {u^{m}}{m}}\right)$

com la sèrie formal de potències de la variable $u$.

De manera equivalent, la funció zeta local de vegades es defineix de la següent manera:

$(1)\ \ {\mathit {Z}}(V,0)=1\,$

$(2)\ \ {\frac {d}{du}}\log {\mathit {Z}}(V,u)=\sum _{m=1}^{\infty }N_{m}u^{m-1}\ .$

En altres paraules, la funció zeta local $Z(V,u)$ amb coeficients en el camp finit $\mathbf {F} _{q}$es defineix com una funció derivada logarítmica que genera els nombres $N_{m}$ per a la quantitat de solucions d'un conjunt d'equacions definides en un camp finit $\mathbf {F} _{q}$, en l'extensió de cossos de grau $m$ de $\mathbf {F} _{q^{m}}$ de $\mathbf {F} _{q}$.

Formulació

Donat un camp finit $F$,hi ha, fins a l'isomorfisme, només un camp $F_{k}$ amb

$[F_{k}:F]=k\,$,

per a $k=1,2,\dotsb$. Donat un conjunt d'equacions polinòmiques (o una varietat algebraica $V$) definida sobre $F$, podem comptar el nombre $N_{k}\,$ de solucions a $F_{k}$ i crear la funció generatriu

$G(t)=N_{1}t+N_{2}{\frac {t^{2}}{2}}++N_{3}{\frac {t^{3}}{3}}+\dotsb$

La definició correcta per a $Z(t)$ és fer el $\log Z$ igual a $G$, i així

$Z=\exp(G(t))\,$

obtenint $Z(0)=1$ on $G(0)=0$, i $Z(t)$ és a priori una sèrie formal de potències.

S'ha de tenir en compte que la derivada logarítmica

$Z'(t)/Z(t)\,$

és igual a la funció generatriu

$G'(t)=N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\cdots \,$.

Exemples

Per exemple, assumir que totes les opcions $N_{k}$ siguin $1$; això passa, per exemple, si comencem per una equació com $X=0$, de manera que geomètricament estem fent $V$ un punt. Llavors

$G(t)=-\log(1-t)$

és l'expansió d'un logaritme (per a $\left\vert t\right\vert <1$). En aquest cas, tenim

$Z(t)={\frac {1}{(1-t)}}\ .$

Per fer alguna cosa més interessant, deixem que $V$ sigui la línia projectada sobre $F$. si $F$ té $q$elements, llavors hi ha $q+1$ punts, incloent com hem de fer el punt de l'infinit. Per tant, tindrem

$N_{k}=q^{k}+1$

i

$G(t)=-\log(1-t)-\log(1-qt)$

per a $b\left\vert t\right\vert$.

En aquest cas tenim

$Z(t)={\frac {1}{(1-t)(1-qt)}}\ .$

El primer estudi d'aquestes funcions va ser en la tesi d'Emil Artin de 1923. Va obtenir resultats per al cas de la corba hiperel·líptica i va conjeturar els principals punts principals de la teoria tal com s'aplica a les corbes. La teoria va ser desenvolupada per F. K. Schmidt i Helmut Hasse. Els primers casos no trivials coneguts de les funcions zeta locals estaven implícites en Disquisitiones Arithmeticae de Carl Friedrich Gauss, article 358; hi ha certs exemples particulars de corbes el·líptiques sobre camps finits que tenen una multiplicació complexa, tenen els seus punts explicats per mitjà de la ciclotomia.

Per a la definició i alguns exemples, vegeu també [Hartshorne, 1977].

Motivacions

La relació entre les definicions de $G$ i $Z$ es pot explicar de diverses maneres (vegeu, per exemple, la fórmula de producte infinit per a $Z$ a continuació.) A la pràctica, fa $Z$ una funció racional de $t$, cosa que és interessant fins i tot en el cas de $V$ una corba el·líptica sobre camp finit.

Les funcions $V$ són dissenyades per multiplicar-se, per obtenir funcions zeta globals. Aquests involucren diferents camps finits (per exemple, tota la família dels camps ${\frac {Z}{pZ}}$ quan $p$ corre sobre tots els nombres primers). En aquesta connexió, la variable $t$ experimenta la substitució per $a^{-s}$, on $s$ és la variable complexa tradicionalment utilitzada a les sèries de Dirichlet (per obtenir més informació, consultar la funció zeta de Hasse-Weil).

Amb aquesta comprensió, sorgeixen els productes de la $Z$ en els dos casos utilitzats com a exemples $\zeta (s)$ i $\zeta (s)\zeta (s-1)$.

Hipòtesi de Riemann per a corbes sobre cossos finits

Per a les corbes projectives $C$ sobre $F$ que són no-singulars, es pot demostrar que

$Z(t)={\frac {P(t)}{(1-t)(1-qt)}}\ ,$

amb $P(t)$ un polinomi, de grau $2g$ on $g$ és el genus de $C$. Reescrivint

$P(t)=\prod _{i=1}^{2g}(1-\omega _{i}t)\ ,$

la hipòtesi de Riemann per a corbes sobre cossos finits és

$|\omega _{i}|=q^{1/2}\ .$

Per exemple, per al cas de la corba el·líptica hi ha dues arrels, i és fàcil mostrar els valors absoluts de les $q^{\frac {1}{2}}$arrels. El teorema de Hasse és que tenen el mateix valor absolut; i això té conseqüències immediates pel nombre de punts.

André Weil ho va demostrar per al cas general, al voltant de 1940 (Comptes Rendus note, abril de 1940); va passar molt de temps en els anys posteriors a la redacció de la geometria algebraica. Això el va portar a les conjectures generals de Weil, Alexander Grothendieck va desenvolupar l'esquema de la teoria per solucionar-ho i, finalment, Pierre Deligne ho va demostrar una generació més tard. Vegeu cohomologia étale per a les fórmules bàsiques de la teoria general.

Fórmules generals per a la funció zeta

És una conseqüència de la fórmula de la traça de Lefschetz per al morfisme de Frobenius que

$Z(X,t)=\prod _{i=0}^{2\dim X}\det {\big (}1-t{\mbox{Frob}}_{q}|H_{c}^{i}({\overline {X}},{\mathbb {Q} }_{\ell }){\big )}^{(-1)^{i+1}}.$

Aquest $X$és un esquema separat de tipus finit sobre el camp finit $F$ amb $q$ elements, i $Frob_{q}$ és el Frobenius geomètric que actua en la cohomologia étale $\ell$-àdic amb suports compactes de ${\overline {X}}$, l'aixecament de $X$al tancament algebraic del camp $F$. Això demostra que la funció zeta és una funció racional de $t$.

Una fórmula de producte infinit per a $Z(X,t)$ és

$Z(X,t)=\prod \ (1-t^{\deg(x)})^{-1}.$

Aquí, el producte s'estén sobre tots els punts tancats $x$ de $X$, i $deg(x)$ és el grau de $x$. La funció zeta local $Z(X,t)$ es considera com una funció de la variable complexa $s$ mitjançant el canvi de $q^{-s}$variables.

En el cas on $X$ és la varietat $V$ esmentada anteriorment, els punts tancats són les classes d'equivalència $x=[P]$ dels punts $P$ en ${\overline {V}}$, on dos punts són equivalents si són conjugats sobre $F$. El grau de $x$ és el grau de l'extensió de camp de $F$ generat per les coordenades de $P$. La derivada logarítmica del producte infinit $Z(X,t)$ es veu fàcilment com la funció generatriu comentada anteriorment, és a dir

$N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\cdots \,$.

Vegeu també

• Conjectures de Weil
• Corba el·líptica
• Funció zeta