Nombre algebraic

En matemàtiques, un nombre algebraic és un nombre real o complex que és arrel d'un polinomi no nul amb coeficients racionals (o equivalentment enters).

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0\,$

on:

n>0(a_{n}\neq 0)

, és el grau del polinomi.

a_{i}\in \mathbb {Z}

, els coeficients del polinomi són nombres enters.^[1]

El conjunt dels nombres algebraics és numerable i és un subcòs del cos $\mathbb {C}$ dels nombres complexos.^[2]

Classificació dels complexos

Si un nombre real o complex no és algebraic, es diu que és transcendent.
Si un nombre algebraic és solució d'una equació polinòmica de grau n, i no és solució d'una equació polinòmica de grau menor m < n, llavors es diu que és un nombre algebraic de grau n (n > 0).

Definició formal

Considerem $a\in \mathbb {C}$ un nombre algebraic diferent de 0. El grau ( $d$ ) de $a$ correspon al grau més baix del polinomi amb coeficients racionals tal que $f(a)=0$ . Seguint aquesta descripció, només hi ha un polinomi mònic de grau $d$ que té $a$ com a arrel. Aquest rep el nom de polinomi definitori.^[3]

Exemples

Tot nombre racional $p/q$ és algebraic, perquè és arrel del polinomi $qx-p$ .
El nombre real ${\sqrt {2}}$ és algebraic perquè és arrel del polinomi $x^{2}-2$ . Més generalment, si $a$ és un nombre racional, llavors ${\sqrt[{n}]{a}}$ és un nombre algebraic de grau $n$ amd polinomi $x^{n}-a$ .
El nombre imaginari $i$ és algebraic perquè és arrel del polinomi $x^{2}+1$ .
El nombre d'or és algebraic perquè és arrel del polinomi $x^{2}-x-1$ .
En canvi se sap que el nombre π i la constant d'Euler no són algebraics: el matemàtic alemany Ferdinand von Lindemann va demostrar que no existeix cap polinomi de coeficients racionals que els tingui per arrel.

Referències

↑ Narkiewicz, W. Elementary and analytic theory of algebraic numbers. 2a edició. Springer-Verlag, 1990. ISBN 3-540-51250-0.
↑ McCarthy, P.J.. Algebraic extensions of fields. Dover Publications, 1991. ISBN 0-486-66651-4.
↑ Ireland, K.; Rosen, M. A Classical Introduction to Modern Number Theory. New York: Springer-Verlag, 1993. ISBN 0-387-97329-X.

Bibliografia

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Nombre algebraic

Baker, Alan. A concise introduction to the theory of numbers. Cambridge University Press, 1984. ISBN 0-521-28654-9.
Borwein, Peter. Computational Excursions in Analysis and Number Theory. Springer-Verlag, 2002. ISBN 0-387-95444-9.
Fröhlich, A.; Taylor, M.J.. Algebraic number theory. Cambridge University Press, 1991. ISBN 0-521-36664-X.
Lang, Serge. Algebraic number theory. Springer-Verlag, 1986. ISBN 0-387-94225-4.

[1] Narkiewicz, W. Elementary and analytic theory of algebraic numbers. 2a edició. Springer-Verlag, 1990. ISBN 3-540-51250-0.

[2] McCarthy, P.J.. Algebraic extensions of fields. Dover Publications, 1991. ISBN 0-486-66651-4.

[3] Ireland, K.; Rosen, M. A Classical Introduction to Modern Number Theory. New York: Springer-Verlag, 1993. ISBN 0-387-97329-X.

[1]

[2]

[3]