Símbol q-Pochhammer

En matemàtiques, en l'àrea de combinatòria, un símbol q-Pochhammer, és un q-anàleg del símbol de Pochhammer. Es defineix com

$(a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})$

amb

$(a;q)_{0}=1$

per definició. El símbol $q$-Pochhammer és un important bloc de construcció en la construcció de $q$-anàlegs; per exemple, en la teoria de les sèries hipergeomètriques bàsiques, juga el paper que juga el símbol ordinari de Pochhammer en la teoria de les sèries hipergeomètriques generalitzades.

A diferència del símbol ordinari de Pochhammer, el símbol $q$-Pochhammer es pot estendre a un producte infinit:

$(a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k}).$

Aquesta és una funció analítica de $q$ a l'interior del disc unitat, i també es pot considerar com una sèrie de potències formals en $q$. El cas especial

$\phi (q)=(q;q)_{\infty }=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})$

es coneix com la funció d'Euler, i és important en combinatòria, teoria de nombres i la teoria de formes modulars.

Identitats

El producte finit es pot expressar en termes del producte infinit:

$(a;q)_{n}={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}},$

que amplia la definició als $n$ enters negatius. Per tant, per a un $n$ no-negatiu, s'obté

$(a;q)_{-n}={\frac {1}{(aq^{-n};q)_{n}}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1-a/q^{k})}}$

i

$(a;q)_{-n}={\frac {(-q/a)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q/a;q)_{n}}}.$

El símbol $q$-Pochhammer és objecte d'un nombre d'una sèrie d'identitats de la $q$-sèrie, en particular les expansions de la sèrie infinita

$(x;q)_{\infty }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q;q)_{n}}}x^{n}$

i

${\frac {1}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{(q;q)_{n}}}$,

que són els dos casos especials del teorema del q-binomi:

${\frac {(ax;q)_{\infty }}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}x^{n}.$

Fridrikh Karpelevich va trobar la següent identitat (vegeu Olshanetsky i Rogov (1995) per a la demostració):

${\frac {(q;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n+1)/2}}{(q;q)_{n}(1-zq^{n})}},\ |z|<1.$

Interpretació combinatòria

El símbol $q$-Pochhammer està molt relacionat amb la combinatòria enumerativa de les particions. El coeficient de $q^{m}a^{n}$ en

$(a;q)_{\infty }^{-1}=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})^{-1}$

és la quantitat de particions de $m$ en la majoria de $n$ parts.

Atès que, per conjugació de particions, això és el mateix que el nombre de particions de $m$ en parts de mida $n$ com a màxim, mitjançant la identificació de sèries generadores obtenim la identitat:

$(a;q)_{\infty }^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a^{k}}{(q;q)_{k}}}$

com a la secció anterior.

També tenim que el coeficient de $q^{m}a^{n}$en

$(-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})$

és el nombre de particions de $m$ en $n$ o $n-1$parts diferents.

En treure una partició triangular amb $n-1$parts d'aquesta partició, ens queda una partició arbitrària amb, com a molt, $n$ parts. Això proporciona una bijecció equilibrada entre el conjunt de particions en $n$ o $n-1$parts diferents i el conjunt de parells que consisteixen en una partició triangular que té $n-1$parts i una partició amb, com a màxim, $n$ parts. Identificant les sèries generadores, això condueix a la identitat:

$(-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})=\sum _{k=0}^{\infty }\left(q^{k \choose 2}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{k \choose 2}}{(q;q)_{k}}}a^{k}$

també descrit a la secció anterior.

El recíproc de la funció $(q)_{\infty }:=(q;q)_{\infty }$ de manera similar es presenta com la funció generadora de la funció de partició, $p(n)$, que també s'amplia per les segones dues expansions de la $q$-sèrie que es detallen a continuació:

${\frac {1}{(q;q)_{\infty }}}=\sum _{n\geq 0}p(n)q^{n}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n}}{(q;q)_{n}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}^{2}}}.$

El teorema del q-binomi també pot ser manejat per un argument combinatori lleugerament més involucrat d'un sabor similar (veure les expansions que es donen en la següent subsecció).

Convenció d'arguments múltiples

Atès que les identitats que impliquen símbols $q$-Pochhammer impliquen amb freqüència productes de molts símbols, la convenció estàndard és escriure un producte com un únic símbol de múltiples arguments:

$(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}.$

q-sèries

Una $q$-sèrie és una sèrie en la qual els coeficients són funcions de $q$, típicament expressions de $(a;q)_{n}$. Els primers resultats es deuen a Euler, Gauss i Cauchy. L'estudi sistemàtic comença amb Eduard Heine (1843).

Relació amb altres q-funcions

El $q$-anàleg de $n$, també conegut com $q$-claudator o $q$-nombre de $n$, es defineix com a

$[n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}.$

A partir d'aquest es pot definir el $q$-anàleg del factorial, el $q$-factorial, com

${\big [}n]!_{q}$	$=\prod _{k=1}^{n}[k]_{q}$
	$=[1]_{q}[2]_{q}\cdots [n-1]_{q}[n]_{q}$
	$={\frac {1-q}{1-q}}{\frac {1-q^{2}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}$
	$=1(1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})(1+q+\cdots +q^{n-1})$
	$={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}.$

Aquests nombres són anàlegs en el sentit que

$\lim _{q\rightarrow 1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=n,$

i també

$\lim _{q\rightarrow 1}[n]!_{q}=n!.$

El valor límit n! computa les permutacions de $n$-elements del conjunt $S$. Igualment, compte el nombre de seqüències del conjunt $E_{1}\subset E_{2}\subset \cdots \subset E_{n}=S$ de tal manera que $E_{i}$ conté exactament $i$elements. En comparació, quan $q$ és una potència primer i $V$ és un espai vectorial $n$-dimensional sobre el camp amb $q$elements, el $q$-anàleg $[n]!_{q}$ és el nombre dels ítems complets en $V$, és a dir, és el nombre de seqüències $V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{n}=V$ de subespais tal que $V_{i}$ té dimensió $i$. Les consideracions precedents suggereixen que es pot considerar una seqüència de conjunts nidificats com un ítem sobre un camp conjectural amb un element (F₁).

Un producte de $q$-nombres enters negatius pot ser expressat en termes de $q$-factorial com

$\prod _{k=1}^{n}[-k]_{q}={\frac {(-1)^{n}\,[n]!_{q}}{q^{n(n+1)/2}}}$

A partir dels $q$-factorials, es pot passar a definir els coeficients $q$-binomials, també coneguts com els coeficients binomials de Gauss, com

${\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]!_{q}}{[n-k]!_{q}[k]!_{q}}},$

on és fàcil veure que el triangle d'aquests coeficients és simètric en el sentit que ${\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}}_{q}={\begin{bmatrix}n\\n-m\end{bmatrix}}_{q}$ per a tot $0\leq m\leq n$.

Es pot comprovar això

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}n+1\\k\end{bmatrix}}_{q}&={\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}+q^{n-k+1}{\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}\\&={\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}+q^{k}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}.\end{aligned}}$

També es pot veure des de les relacions de recurrència anteriors que les properes variants del teorema $q$-binomial s'amplien en termes d'aquests coeficients de la següent manera:

${\begin{aligned}(z;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-z)^{j}q^{\binom {j}{2}}=(1-z)(1-qz)\cdots (1-zq^{n-1})\\(-q;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q^{2}}q^{j}\\(q;q^{2})_{n}&=\sum _{j=0}^{2n}{\begin{bmatrix}2n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-1)^{j}\\{\frac {1}{(z;q)_{m+1}}}&=\sum _{n\geq 0}{\begin{bmatrix}n+m\\n\end{bmatrix}}_{q}z^{n}.\end{aligned}}$

Es pot definir encara més els coeficients $q$-multinomials

${\begin{bmatrix}n\\k_{1},\ldots ,k_{m}\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]!_{q}}{[k_{1}]!_{q}\cdots [k_{m}]!_{q}}},$

on els arguments $k_{1},\ldots ,k_{m}$ són enters no negatius que satisfan $\sum _{i=1}^{m}k_{i}=n$. El coeficient anterior compta amb el nombre d'ítems $V_{1}\subset \dots \subset V_{m}$ de subespais en un espai vectorial $n$-dimensional sobre el camp amb $q$ elements tals que $\dim V_{i}=\sum _{j=1}^{i}k_{j}$.

El límit $q\to 1$ dona l'habitual coeficient multinomial ${n \choose k_{1},\dots ,k_{m}}$, que compta amb paraules en $n$ diferents símbols $\{s_{1},\dots ,s_{m}\}$ tal que cada $s_{i}$apareix $k_{i}$vegades.

També s'obté un $q$-anàleg de la funció gamma, anomenada funció q-gamma, i definida com a

$\Gamma _{q}(x)={\frac {(1-q)^{1-x}(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}}$

Aquesta convergeix a la funció gamma habitual quan $q$ s'apropa a 1 des de l'interior del disc unitari. S'ha de tenir en compte que

$\Gamma _{q}(x+1)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)$

per a qualsevol $x$ i

$\Gamma _{q}(n+1)=[n]!_{q}.$

per valors enters no-negatius de $n$. Alternativament, això es pot considerar com una extensió de la funció $q$-factorial al sistema de nombres reals.

Bibliografia

• George Gasper, Mizan Rahman, Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-83357-4.
• Roelof Koekoek, Rene F. Swarttouw, The Askey scheme of orthogonal polynomials and its q-analogues, section 0.2.
• Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914, ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538
• M.A. Olshanetsky, V.B.K. Rogov (1995), The Modified q-Bessel Functions and the q-Bessel-Macdonald Functions, arXiv:q-alg/9509013.

Vegeu també

• Funció gamma el·líptica
• Funció q-theta
• Identitats de Rogers-Ramanujan
• q-derivada

Enllaços externs

• Weisstein, Eric W., «q-Analog» a MathWorld (en anglès).
• Weisstein, Eric W., «q-Bracket» a MathWorld (en anglès).
• Weisstein, Eric W., «q-Factorial» a MathWorld (en anglès).
• Weisstein, Eric W., «q-Series» a MathWorld (en anglès).
• Weisstein, Eric W., «q-Binomial Coefficient» a MathWorld (en anglès).