Usuari:Freutci/chi

Funció de densitat

La funció de densitat de la distribució t no central no té una expressió senzilla i en veurem diverses formulacions que surten a la literatura. Sigui $T\sim t_{\nu }(\mu )$ .

Expressió integral ^[1] $f(t)={\frac {\nu ^{\nu /2}\,e^{-{\frac {\mu ^{2}\nu }{2(\nu +t^{2})}}}}{{\sqrt {\pi }}\,2^{\frac {\nu -1}{2}}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})\,(\nu +t^{2})^{\frac {\nu +1}{2}}}}\int _{0}^{\infty }z^{\nu }e^{-{\frac {1}{2}}{\Big (}z-{\frac {t\mu }{\sqrt {\nu +t^{2}}}}{\Big )}^{2}}\,dz,\quad t\in \mathbb {R} .\qquad \qquad (1)$ Cal notar que quan $\nu$ és un nombre natural, aquesta fórmula es pot escriure en termes de la funció $Hh$ ^[2]: $f(t)={\frac {\nu ^{\nu /2}\,\nu !\,e^{-{\frac {\mu ^{2}\nu }{2(\nu +t^{2})}}}}{{\sqrt {\pi }}\,2^{\frac {\nu -1}{2}}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})\,(\nu +t^{2})^{\frac {\nu +1}{2}}}}\,Hh_{\nu }{\Big (}-{\frac {t\mu }{\sqrt {\nu +t^{2}}}}{\Big )},\quad t\in \mathbb {R} ,$ on $Hh_{n}(x)={\frac {1}{n!}}\int _{0}^{\infty }z^{n}e^{-{\frac {1}{2}}(z+x)^{2}}\,dz={\frac {1}{n!}}\int _{x}^{\infty }(u-x)^{n}e^{-{\frac {1}{2}}u^{2}}\,du.$ Per a la funció $Hh$ vegeu, per exemple, Jeffreys and Jeffreys. ^[3]
Expressió en sèrie ^[4] $f(t)={\frac {\nu ^{\nu /2}\,e^{-\mu ^{2}/2}}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {\mu ^{j}}{j!}}\,2^{j/2}\Gamma (\nu +j+1){\frac {t^{j}}{(t^{2}+\nu )^{\frac {\nu +j+1}{2}}}},\quad t\in \mathbb {R} .\qquad \qquad (2)$

Expressió en termes de funcions especials

Utlitizant la funció cilíndrica parabòlica $U$ ^[5] , tenim ^[6] $f(t)={\frac {{\sqrt {2}}{\big (}{\frac {\nu }{2}}{\big )}^{\frac {\nu }{2}}\,\Gamma (\nu +1)}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}{\frac {e^{-{\frac {\mu ^{2}}{4(\nu +t^{2})}}(2\nu +t^{2})}}{(\nu +t^{2})^{\frac {\nu +1}{2}}}}\,U{\Big (}\nu +{\frac {1}{2}},-{\frac {t\mu }{\sqrt {\nu +t^{2}}}}{\Big )},\quad t\in \mathbb {R} .\qquad \qquad (3)$ Mitjançant la funció hipergeomètrica confluent $_{1}\!F_{1}(a;b;z)$ , també denotada per $M(a,b,z)$ ^[7], tenim $f(t)=\underbrace {{\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{-{\tfrac {\nu +1}{2}}}} _{{\text{densitat de la }}t{\text{ de Student ordinaria}}}e^{-\mu ^{2}/2}{\Big \{}A_{\nu }(t,\mu )+B_{\nu }(t,\mu ){\Big \}},\qquad \qquad (4)$ on ${\begin{aligned}A_{\nu }(t,\mu )&={_{1}\!F}_{1}\left({\frac {\nu +1}{2}}\,;\,{\frac {1}{2}}\,;\,{\frac {\mu ^{2}t^{2}}{2(t^{2}+\nu )}}\right),\\B_{\nu }(t,\mu )&={\frac {{\sqrt {2}}\mu t}{\sqrt {t^{2}+\nu }}}{\frac {\Gamma ({\frac {\nu }{2}}+1)}{\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}}{_{1}\!F}_{1}\left({\frac {\nu }{2}}+1\,;\,{\frac {3}{2}}\,;\,{\frac {\mu ^{2}t^{2}}{2(t^{2}+\nu )}}\right),\end{aligned}}$

Expressió en termes de la funció de distribució El programari estadístic R (llenguatge de programació) i altres programes estadístics utilitzen la següent expressió per calcular la funció de densitat ^[8]: $f(t)={\begin{cases}{\dfrac {\nu }{t}}\,{\Bigg (}F_{\nu +2,\mu }\left(t{\sqrt {1+{\frac {2}{\nu }}}}\right)-F_{\nu ,\mu }(t){\Bigg )},&{\mbox{si}}\ t\neq 0,\\\\{\dfrac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\,e^{-\mu ^{2}/2},&{\mbox{si}}\ t=0,\end{cases}}\qquad \qquad (5)$ on $F_{\nu ,\mu }$ és la funció de distribució de la distribució $t$ no central amb $\nu$ graus de llibertat i paràmetre de no centralitat $\mu$ (vegeu el següent apartat).

Prova.

Fórmula (1) Escrivim $T={\frac {X}{Y}},$ amb $X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,1)$ , $Y=H/{\sqrt {\nu }}$ , on $H\sim \chi _{\nu }$ (distribució khi amb $\nu$ graus de llibertat), $X$ i $Y$ independents. Utilitzant que si una variable aleatòria $M$ té funció de densitat $f_{M}$ , llavors la variable aleatòria $N=CM$ , amb $C\neq 0$ , té funció de densitat $f_{N}(x)={\frac {1}{\vert C\vert }}f{\big (}{\frac {x}{C}}{\big )}$ , tenim que la funció de densitat de $Y$ és $f_{Y}(y)={\frac {\nu ^{\frac {\nu }{2}}}{2^{{\frac {\nu }{2}}-1}\,\Gamma {\big (}{\frac {\nu }{2}}{\big )}}}\,y^{\nu -1}e^{-{\frac {\nu y^{2}}{2}}},\ y>0.$ Donada la independència entre $X$ i $Y$ , la funció de densitat conjunta del vector $(X,Y)$ és $f_{(X,Y)}(x,y)={\frac {\nu ^{\frac {\nu }{2}}}{{\sqrt {\pi }}\,2^{\frac {\nu -1}{2}}\,\Gamma {\big (}{\frac {\nu }{2}}{\big )}}}\,y^{\nu -1}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}+\nu y^{2}}{2}}},\quad (x,y)\in \mathbb {R} \times (0,\infty ).$ Considerem la transformació $h(X,Y)=(T,Y),\ {\text{amb}}\ T={\frac {X}{Y}},$ específicament ${\begin{aligned}h:\mathbb {R} \times &(0,\infty )\rightarrow \mathbb {R} \times (0,\infty )\\&(x,y)\longmapsto (t,y)\end{aligned}}$ on $t=x/y$ . Aquesta funció és bijectiva de classe $C^{1}$ . La funció inversa és ${\begin{aligned}g=h^{-1}:\mathbb {R} \times &(0,\infty )\rightarrow \mathbb {R} \times (0,\infty )\\&(t,y)\longmapsto (x,y)\end{aligned}}$ amb $x=ty$ . El valor absolut del determinant jacobià de $g$ és $J_{g}=y$ . Llavors (vegeu la pàgina de vector aleatori) la densitat de $(T,Y)$ (després d'arreglar l'expressió) és

$f_{(T,Y)}(t,y)={\frac {\nu ^{\frac {\nu }{2}}e^{-{\frac {\mu ^{2}}{2}}}}{{\sqrt {\pi }}\,2^{\frac {\nu -1}{2}}\,\Gamma {\big (}{\frac {\nu }{2}}{\big )}}}\,y^{\nu }e^{-{\frac {(t^{2}+\nu )y^{2}-2ty\mu }{2}}},\quad (t,y)\in \mathbb {R} \times (0,\infty ).$ Llavors, per a $t\in \mathbb {R}$ , $f_{T}(t)=\int _{0}^{\infty }f_{(T,Y)}(t,y)\,dy={\frac {\nu ^{\frac {\nu }{2}}e^{-{\frac {\mu ^{2}}{2}}}}{{\sqrt {\pi }}\,2^{\frac {\nu -1}{2}}\,\Gamma {\big (}{\frac {\nu }{2}}{\big )}}}\,\int _{0}^{\infty }y^{\nu }e^{-{\frac {(t^{2}+\nu )y^{2}-2ty\mu }{2}}}\,dy.\quad \quad (*)$ Fent el canvi $z={\sqrt {\nu +t^{2}}}$ , arribem a l'expressió (1) $f(t)={\frac {\nu ^{\nu /2}\,e^{-{\frac {\mu ^{2}\nu }{2(\nu +t^{2})}}}}{{\sqrt {\pi }}\,2^{\frac {\nu -1}{2}}\,\Gamma (\nu /2)(\nu +t^{2})^{\frac {\nu +1}{2}}}}\int _{0}^{\infty }z^{\nu }e^{-{\frac {1}{2}}{\Big (}z-{\frac {t\mu }{\sqrt {\nu +t^{2}}}}{\Big )}^{2}}\,dz.$

Expressió en sèrie. Retornem a l'expressió (*), que equival a $f_{T}(t)={\frac {\nu ^{\frac {\nu }{2}}e^{-{\frac {\mu ^{2}}{2}}}}{{\sqrt {\pi }}\,2^{\frac {\nu -1}{2}}\,\Gamma {\big (}{\frac {\nu }{2}}{\big )}}}\,\int _{0}^{\infty }y^{\nu }e^{-{\frac {(t^{2}+\nu )y^{2}}{2}}}\,e^{-ty\mu }\,dy,$ i descomposem $e^{ty\mu }$ en sèrie de potències en la variable $y$ . A continuació es raona que es pot intercanviar la integral amb el sumatori i s'arriba a $f_{T}(t)={\frac {\nu ^{\frac {\nu }{2}}e^{-{\frac {\mu ^{2}}{2}}}t^{j}\mu ^{j}}{{\sqrt {\pi }}\,2^{\frac {\nu -1}{2}}\,\Gamma {\big (}{\frac {\nu }{2}}{\big )}j!}}\sum _{j=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }y^{\nu +j}e^{-{\frac {(t^{2}+\nu )y^{2}}{2}}}\,dy,$ i es calcula cada integral fent el canvi de variable $(t^{2}+\nu )y^{2}/2=z$ , amb la qual cosa obtenim (2).

Expressions en termes de funcions especials. La fórmula (3) es dedueix de la fórmula (1) utilitzant la representació integral de la funció cilíndrica parabòlica $U$ ^[9]: per a $a>-1/2$ , $U(a,t)={\frac {e^{-t^{2}/4}}{\Gamma ({\frac {1}{2}}+a)}}\int _{0}^{\infty }z^{a-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {z^{2}}{2}}-zt}\,dz.$

La fórmula (4) s'obté a partir de (3) mitjançant la relació entre les funcions cilíndriques parabòliques i les funcions hipergeomètriques confluents ^[10] ^[11]^[12] $U(a,x)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{{\frac {a}{2}}+{\frac {1}{4}}}\,\Gamma ({\frac {3}{4}}+{\frac {a}{2}})}}\,e^{-x^{2}/4}\,_{1}\!F_{1}{\Big (}{\frac {a}{2}}+{\frac {1}{4}};{\frac {1}{2}};{\frac {x^{2}}{2}}{\Big )}-{\frac {\sqrt {\pi }}{2^{{\frac {a}{2}}-{\frac {1}{4}}}\,\Gamma ({\frac {1}{4}}+{\frac {a}{2}})}}\,x\,e^{-x^{2}/4}\,_{1}\!F_{1}{\Big (}{\frac {a}{2}}+{\frac {3}{4}};{\frac {3}{2}};{\frac {x^{2}}{2}}{\Big )}.$ Expressió en termes de la funció de distribució (5): vegeu el següent apartat.

Funció de distribució

La funció de distribució de la distribució t no central amb $\nu$ graus de llibertat i el paràmetre de no centralitat $\mu$ es pot expressar com ^[13] ^[14] $F_{\nu ,\mu }(x)={\begin{cases}{\widetilde {F}}_{\nu ,\mu }(x),&{\mbox{si }}x\geq 0,\\\\1-{\widetilde {F}}_{\nu ,-\mu }(-x),&{\mbox{si }}x<0,\end{cases}}\qquad \qquad (6)$ on

{\widetilde {F}}_{\nu ,\mu }(x)=\Phi (-\mu )+{\frac {1}{2}}\sum _{j=0}^{\infty }{\bigg (}p_{j}I_{y}{\Big (}j+{\frac {1}{2}},{\frac {\nu }{2}}{\Big )}+q_{j}I_{y}{\Big (}j+1,{\frac {\nu }{2}}{\Big )}{\bigg )},\qquad \qquad (7)

I_{y}\,\!(a,b)

és la funció beta incompleta regularitzada,

y={\frac {x^{2}}{x^{2}+\nu }},\quad p_{j}={\frac {1}{j!}}\,{\bigg (}{\frac {\mu ^{2}}{2}}{\bigg )}^{j}\,e^{-\mu ^{2}/2}\quad {\text{i}}\quad q_{j}={\frac {\mu }{{\sqrt {2}}\,\Gamma (j+{\frac {3}{2}})}}\,{\bigg (}{\frac {\mu ^{2}}{2}}{\bigg )}^{j}\,e^{-\mu ^{2}/2},

i $\Phi$ és la funció de distribució de la distribució normal estàndard. Cal notar que ${\widetilde {F}}_{\nu ,\mu }(x)$ només depèn de $x^{2}$ i per tant en (6), per a $x<0$ és indistint posar ${\widetilde {F}}_{\nu ,-\mu }(-x)$ o ${\widetilde {F}}_{\nu ,-\mu }(x)$ .

Prova. Aquesta fórmula s'obté a partir de l'expressió en sèrie de la funció de densitat (2). Començarem demostrant una fórmula intermèdia que ens serà d'utilitat més endavant. Argumentant que la convergència de la sèrie en (2) és uniforme en qualsevol interval finit ^[15], podem integrar terme a terme; concretament, per a $x>0$ , s'obté $P(0<T\leq x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt={\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {\mu ^{j}}{j!}}2^{j/2}\,\Gamma {\Big (}{\frac {j+1}{2}}{\Big )}I_{x^{2}/(\nu +x^{2})}{\Big (}{\frac {j+1}{2}},{\frac {\nu }{2}}{\Big )}.$ Ara s'utilitza la fórmula de duplicació de la funció gamma: $\Gamma {\Big (}{\frac {j+1}{2}}{\Big )}={\frac {2^{-j}j!\,{\sqrt {\pi }}}{\Gamma {\Big (}{\frac {j}{2}}+1{\Big )}}},$ i s'obté $P(0<T\leq x)={\frac {1}{2}}\,e^{-\mu ^{2}/2}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {\mu ^{j}}{2^{j/2}}}\,{\frac {1}{\Gamma {\Big (}{\frac {j}{2}}+1{\Big )}}}I_{x^{2}/(\nu +x^{2})}{\Big (}{\frac {j+1}{2}},{\frac {\nu }{2}}{\Big )}.$ D'altra banda, $P(T\leq 0)=P{\Big (}{\frac {Z+\mu }{\sqrt {V/\nu }}}\leq 0{\Big )}=P(Z+\mu \leq 0)=P(Z\leq -\mu )=\Phi (-\mu ).$ Així, $F_{\nu ,\mu }(x)=P(T\leq 0)+P(0<T\leq x)=\Phi (-\mu )+{\frac {1}{2}}\,e^{-\mu ^{2}/2}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {\mu ^{j}}{2^{j/2}}}\,{\frac {1}{\Gamma {\Big (}{\frac {j}{2}}+1{\Big )}}}I_{x^{2}/(\nu +x^{2})}{\Big (}{\frac {j+1}{2}},{\frac {\nu }{2}}{\Big )}.\qquad \qquad (8)$ Designem l'expressió de la dreta per ${\widetilde {F}}_{\nu ,\mu }(x)$ .

Per a $x\leq 0$ , tenim ${\begin{aligned}P(T\leq x)&=P{\Big (}{\frac {Z+\mu }{\sqrt {V/\nu }}}\leq x{\Big )}=P{\Big (}{\frac {Z}{\sqrt {V/\nu }}}\leq x-{\frac {\mu }{\sqrt {V/\nu }}}{\Big )}=P{\Big (}{\frac {Z}{\sqrt {V/\nu }}}\geq -x+{\frac {\mu }{\sqrt {V/\nu }}}{\Big )}\\&=1-P{\Big (}{\frac {Z-\mu }{\sqrt {V/\nu }}}\leq -x{\Big )}=1-{\widetilde {F}}_{\nu ,-\mu }(-x)=1-{\widetilde {F}}_{\nu ,-\mu }(x),\end{aligned}}$ on hem utilitzat que $Z/{\sqrt {V/\nu }}$ és simètrica respecte el 0 i que la funció ${\widetilde {F}}_{\nu ,\mu }(x)$ que hem calculat abans només depèn de $x^{2}$ .

Finalment, per obtenir l'expressió (7), el sumatori de (8) es separa en dos, un pels els índexs $j$ parells i l'altre pels senars i s'obté la fórmula que volíem demostrar.

Demostració de la fórmula de la densitat en termes de la funció de distribució.

La demostració consisteix en calcular la diferència $F_{\nu +2,\mu }{\bigg (}t{\sqrt {1+{\frac {2}{\nu }}}}{\bigg )}-F_{\nu ,\mu }(t)$ utilitzant la fórmula (8). Fixem $t>0$ ; el punt clau de la prova és que en la expressió (8) per a $F_{\nu +2,\mu }{\bigg (}t{\sqrt {1+{\frac {2}{\nu }}}}{\bigg )}$ i $F_{\nu ,\mu }(t)$ , per a cada terme $j$ del sumatori, el subíndex de la funció gamma incompleta és el mateix. Concretament, si definim la funció $y(z,\alpha )={\frac {z^{2}}{\alpha +z^{2}}},$ llavors, $y{\Big (}t{\sqrt {1+{\tfrac {2}{\nu }}}},\nu +2{\Big )}=y(t,\nu )={\frac {t^{2}}{\nu +t^{2}}}.$ Ara aplicarem la fórmula ^[16] $I_{y}(p,q+1)-I_{y}(p,q)={\frac {y^{p}(1-y)^{q}}{q\,B(p,q)}},$ on $B(p,q)$ és la funció Beta a cadascuna de les diferències entre els sumands del mateix índex $j$ (ambdues sèries són convergents i les podem restar terme a terme) tindrem $I_{\frac {t^{2}}{\nu +t^{2}}}{\Big (}{\frac {j+1}{2}},{\frac {\nu +2}{2}}{\Big )}-I_{\frac {t^{2}}{\nu +t^{2}}}{\Big (}{\frac {j+1}{2}},{\frac {\nu }{2}}{\Big )}={\frac {{\Big (}{\frac {t^{2}}{\nu +t^{2}}}{\Big )}^{\frac {j+1}{2}}{\Big (}1-{\frac {t^{2}}{\nu +t^{2}}}{\Big )}^{\frac {\nu }{2}}\,\Gamma ({\frac {\nu +j+1}{2}})}{{\frac {\nu }{2}}\,\Gamma ({\frac {j+1}{2}})\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}.$

Aplicant la fórmula de duplicació i simplificant, i ajuntant tots els termes del sumatori, s'obté $t/\nu$ multiplicant l'expressió de la dreta de (2), amb la qual cosa es demostra (5) quan $t>0$ .

Per a $t<0$ , pels càlculs que acabem de ferm, tenim que $F_{\nu +2,\mu }{\bigg (}t{\sqrt {1+{\frac {2}{\nu }}}}{\bigg )}-F_{\nu ,\mu }(t)={\widetilde {F}}_{\nu ,-\mu }(-t)-{\widetilde {F}}_{\nu +2,-\mu }{\bigg (}-t{\sqrt {1+{\frac {2}{\nu }}}}{\bigg )}={\frac {-t}{\nu }}{\big (}-f_{\nu ,-\mu }(-t){\big )},$ on $f_{\nu ,\mu }(t)$ designa la funció de densitat de la distribució $t$ amb $\nu$ graus de llibertat i paràmetre de no centralitat $\mu$ . Però tal com es comprova a partir de (1) o (2), $f_{\nu ,-\mu }(-t)=f_{\nu ,\mu }(t).$

D'on resulta la fórmula que volíem demostrar.

Moments

El moment d'ordre $k$ d'una distribució $t$ no central és ^[17]

{\mbox{E}}\left[T^{k}\right]={\begin{cases}{\Big (}{\dfrac {\nu }{2}}{\Big )}^{\frac {k}{2}}\,{\dfrac {\Gamma {\big (}{\frac {\nu -k}{2}}{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {\nu }{2}}{\big )}}}\,e^{-\mu ^{2}/2}{\dfrac {d^{k}e^{\mu ^{2}/2}}{d\mu ^{k}}},&{\mbox{si }}k<\nu ,\\\\{\mbox{no existeix}},&{\mbox{si }}k\geq \nu ,\end{cases}}

on

d^{k}e^{\mu ^{2}/2}/d\mu ^{k}

designa la derivada d'ordre k -èssim de la funció

e^{\mu ^{2}/2}

.

En particular, la mitjana i la variància són

{\begin{aligned}{\mbox{E}}[T]&={\begin{cases}\mu \,{\sqrt {\dfrac {\nu }{2}}}\,{\dfrac {\Gamma {\Big (}{\frac {\nu -1}{2}}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {\nu }{2}}{\Big )}}},&{\mbox{si }}\nu >1,\\\\{\mbox{no existeix}},&{\mbox{si }}\nu \leq 1,\\\end{cases}}\\\\{\mbox{Var}}(T)&={\begin{cases}{\dfrac {\nu (1+\mu ^{2})}{\nu -2}}-{\dfrac {\mu ^{2}\nu }{2}}\left({\dfrac {\Gamma {\Big (}{\frac {\nu -1}{2}}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {\nu }{2}}{\Big )}}}\right)^{2},&{\mbox{si  }}\nu >2,\\\\{\mbox{no existeix}},&{\mbox{si }}\nu \leq 2.\\\end{cases}}\end{aligned}}

Prova:

Com en el cas dels moments de la distribució $t$ de Student, el càlcul dels moments de la distribució $t$ no central es redueix a $E[T^{k}]=\nu ^{k/2}E{\big [}V^{-k/2}{\big ]}\,E{\big [}(Z+\mu )^{k}{\big ]}.$ Vegeu el càlcul de $E{\big [}V^{-k/2}{\big ]}$ a la distribució $t$ de Student. També tenim que per a una variable $Z\sim {\mathcal {N}}(0,1)$ normal estàndard (vegeu els moments de la distribució normal), $E{\big [}(Z+\mu )^{k}{\big ]}=e^{-\mu ^{2}/2}\,{\dfrac {d^{k}e^{\mu ^{2}/2}}{d\mu ^{k}}}.$

Aplicació al càlcul de la potència del contrast t de Student

Vegeu Johnson and Welch ^[18]. Sigui $X_{1},\dots ,X_{n}$ una mostra d'una població normal ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ , és a dir, les variables aleatòries $X_{1},\dots ,X_{n}$ són independents i totes tenen distribució ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ . Fixem un número $\mu _{0}\in \mathbb {R}$ . Volem contrastar $H_{0}:\ \mu =\mu _{0}\qquad {\text{contra}}\quad H_{1}:\ \mu >\mu _{0}.$ En el contrast de Student, l'estadístic de contrast és $T={\frac {{\overline {X}}-\mu _{0}}{S/{\sqrt {n}}}},$ on ${\overline {X}}$ la mitjana mostral ${\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}.$ i $S^{2}$ és la variància mostral (modificada) $S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}{\big (}X_{i}-{\overline {X}}{\big )}^{2}.$ Aleshores, sota la hipòtesi nul.la $H_{0}$ , $T\sim t_{n-1}$ (vegeu la distribució $t$ de Student). Fixat un nivell de significació $\alpha \in (0,1)$ (habitualment $\alpha =0'05$ 0 $0'01$ , per determinar la regió crítica calculem el valor $c_{\alpha }$ tal que $P(W>c_{\alpha })=\alpha ,$ on $W\sim t_{n-1}$ . Llavors, rebutgem $H_{0}$ si $T>c_{\alpha }$ .

Donat un valor $\mu _{1}>\mu _{0}$ (per tant, de la hipòtesi alternativa), podem calcular la potència del test, és a dir, la probabilitat de rebutjat la hipòtesi nul.la quan és falsa) en aquest punt de la següent manera: escrivim $T={\frac {{\overline {X}}-\mu _{0}}{S/{\sqrt {n}}}}={\frac {{\frac {{\overline {X}}-\mu _{1}}{\sigma /{\sqrt {n}}}}+{\frac {\mu _{1}-\mu _{0}}{\sigma /{\sqrt {n}}}}}{S/\sigma }}.$ En l'expressió de la dreta,

Si suposem $\mu =\mu _{1}$ , llavors $({\overline {X}}-\mu _{1})/(\sigma /{\sqrt {n}})\sim {\mathcal {N}}(0,1)$ .
Tenim que ${\frac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}={\frac {(n-1)S^{2}}{(n-1)\sigma ^{2}}}={\frac {{\frac {1}{\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})}{n-1}},$ i per tant $S^{2}/\sigma ^{2}$ és una variable aleatòria amb una distribució $\chi _{n-1}^{2}$ (vegeu l'article sobre la distribució khi quadrat) dividida pels seus graus de llibertat.
Les variables aleatòries dels punts 1 i 2 són independents (vegeu l'article sobre la distribució khi quadrat) .

En conseqüència, si $\mu =\mu _{1}$ , $T\sim t_{n-1}{\bigg (}{\frac {\mu _{1}-\mu _{0}}{\sigma /{\sqrt {n}}}}{\bigg )}$ . Llavors, la potència del test en el punt $\mu _{1}$ serà $P(T>c_{\alpha }\,\vert \mu =\mu _{1})=1-F_{n-1,{\frac {\mu _{1}-\mu _{0}}{\sigma /{\sqrt {n}}}}}(c_{\alpha }).$

A

Extensió a graus de llibertat no enters La funció $f(x;k)$ està ben definida i és una funció de densitat per a qualsevol $k\in (0,\infty )$ : en efecte, fixat qualsevol nombre real $k>0$ , tenim que $f(x;k)\geq 0$ i $\int _{-\infty }^{\infty }f(x;k)\,dx=1$ . Aleshores, una variable aleatòria amb aquesta densitat es diu que té una distribució $\chi ^{2}$ amb $k$ graus de llibertat. Alternativament, la distribució $\Gamma {\Big (}{\frac {k}{2}},2{\Big )}$ està definida per a qualsevol $k\in (0,\infty )$ . A partir d'ara, suposarem que $k\in (0,\infty )$ . i especificarem quan suposem que $k$ és un nombre natural.