Notacions. Seguint les convencions de l'àlgebra lineal, escriurem tots els vectors en columna i identificarem
amb el conjunt de vectors reals
-dimensionals. Denotarem per
la transposada de la matriu o del vector
.
Hi ha diferents definicions (equivalents) de vector aleatori normal. Des del punt de vista tècnic, la més directa i que permet fer demostracions més curtes, utilitza funcions característiques [1] [2]. Altres autors comencen pel vector aleatori normal amb densitat i posteriorment consideren el cas general [3] [4]. En aquest article, seguint Hoffman-Jorgensen [5] o Serfling [6], utilitzarem la caracterització dels vectors aleatoris normals com aquells vectors aleatoris tals que qualsevol combinació lineal de les seves components és una variable aleatòria normal. Concretament,
Definició. Un vector aleatori
es diu que és normal multidimensional, o que té distribució normal multidimensional si per qualsevol
, la variable aleatòria
té distribució normal.
Totes les component del vector
tenen distribució normal, ja que, per exemple,
En conseqüència, el vector té vector d'esperances i matriu de variàncies covariàncies, que designarem per
i
respectivament:
S'escriu
. Quan
, es tracta d'una variable aleatòria normal amb mitjana
i variància
, i s'escriu
en lloc de
.
Casos no singular i singular
La matriu de variàncies-covariàncies
sempre és semidefinida positiva. Quan el seu determinant
Primera definició: vector aleatori normal amb funció de densitat
Començarem pel cas més senzill i habitual que el vector aleatori normal tingui densitat, també anomenat vector aleatori normal no singular. Correspon a quan la matriu de variàncies-covariances té determinant diferent de zero, que implica que és una matriu definida positiva. Més endavant veurem el cas general.
Definició. Un vector aleatori
es diu que és normal multidimensional (no singular) [7] si té funció de densitat
on
,
és una matriu (real)
definida positiva [8] i
és el seu determinant. S'escriu
. .
Pot donar-se una definició menys explícita, com la següent [9]: Un vector aleatori
es diu que és normal multidimensional si té funció de densitat de la forma
on
és una constant normalitzadora (per tal que la integral de
sobre
sigui 1) i
és una forma quadràtica definida positiva en
. Llavors, utilitzant les propietats de les funcions de densitat i de les formes quadràtiques definides positives es dedueix l'expressió (1).
En aquesta secció només veurem les propietats dels vectors aleatoris normals multidimensionals que necessitem per introduir la definició general. Per veure una llista més completa, veieu la secció Propietats més avall.
1. Esperança i matriu de variàncies-covariàncies. Sigui
.
L'esperança del vector és
. La matriu de variàncies-covariàncies (o matriu de dispersió) és
2. Les combinacions lineals de les components d'un vector aleatori normal són variables aleatòries normals.
Sigui
i
. Definim
Aleshores
on
3. Les transformacions afins de vectors aleatoris normals donen vectors aleatoris normals
Sigui
. Considerem
i
una matriu
no singular, és a dir, amb
. Definim
Aleshores [10]
amb
En particular, atès que existeix una única matriu definida positiva
tal que
[11], anomenada arrel quadrada de
, i designem per
la seva inversa [12], aleshores
on
és la matriu identitat de dimensió
. Recíprocament, si
, aleshores
Alguns autors anomenen
vector normal multidimensional estàndard, en analogia a la variable normal estàndard.
Observació. Les dues propietats (2) i (3) poden formular-se sense utilitzar la matriu arrel quadrada: de la propietat 3 es dedueix que si
i
és una matriu
tal que
, aleshores
. I recíprocament, si
compleix
i ,
aleshores
.
Funció característica i funció generatriu de moments
Sigui
. Aleshores la seva funció característica és [13]
En particular, per a
,
A més,
té funció generatriu de moments en tot
i val [14]
Demostracions
Començarem veient la propietat de la transformació afí d'un vector normal muldimensional, de la qual deduirem les altres. Concretament, anem a veure que si
amb funció de densitat
i
una matriu
amb
, i
, aleshores el vector
és normal multidimensional
amb
En efecte, aquesta propietat resulta de la fórmula de la transformació d'un vector aleatori amb densitat, utilitzant l'aplicació
definida per
L'aplicació inversa és
La matriu jacobiana de
és
. Llavors, la densitat de
és
Ara només falta comprovar que
que és evident, i que
que equival a veure que
la qual cosa també és clara. Per tant, tenim demostrada la propietat 3. L'expressió (2) es dedueix prenent
i
. De manera anàloga s'obté (3). Les formulacions alternatives d'aquestes dues expressions sense utilitzar la matriu arrel quadrada es dedueixen directament de la propietat 3.
Anem a demostrar la propietat 1: Començarem pel cas
, on tenim que
i
. La seva funció de densitat és
que factoritza en el producte
i, per tant, les variables
són independents i amb llei normal estàndard
. D'on es dedueix que
i
Ara, quan
, escrivint
on
, i aplicant les propietats de l'esperança d'un vector aleatori i de la matriu de variàncies covariàncies , deduïm que
i que
.
Per calcular la funció característica, comencem també per calcular-la per a
. Atès que hem vist que les variables aleatòries
són independents, la funció característica de
serà el producte de les funcions característiques de les corresponents a
, això és,
La funció característica del vector aleatori
s'obté aplicant les propietats de les funcions característiques.
Finalment, la propietat 2 es dedueix calculant la funció característica de la variable
Vector aleatori normal bidimensional o bivariant[modifica]
Com exemple considerem el cas particular
. Sigui
. Tindrem
La matriu de variàncies covariàncies serà
on
anàlogament
és la variància de
, i
és el coeficient de correlació entre
i
:
La inversa de
és
Llavors, la funció de densitat de
és
Segona definició: cas general[modifica]
En aplicacions importants, com per exemple la distribució dels residus en models de regressió lineal o la distribució asimptòtica de la distribució multinomial que dóna lloc al test de la
de Pearson, es fa palesa la necessitat d'utilitzar vectors normals que tenen matriu de variàncies-covariàncies amb determinant nul (matriu singular), que s'anomenen vectors aleatoris normals singulars o degenerats [15]; necessàriament aquests vectors no tenen funció de densitat i per tant, cal modificar la definició inicial.
En aquest context, els llibres donen tres definicions (equivalents) de vector aleatori normal multidimensional general a partir de les propietats que hem vist anteriorment. Les definicions (a) i (c) es troben a Seber [16] i la (b) a Ash [17]
- (a) Es diu que un vector aleatori
és normal multidimensional si qualsevol combinació lineal de les seves components és una variable aleatòria normal.
- (b) Sigui
una matriu
semidefinida positiva i
. Un vector aleatori
es diu que és normal multidimensional
si té funció característica
- (c) Sigui
una matriu
semidefinida positiva i
. Un vector aleatori
es diu que és normal multidimensional
si té la mateixa llei que
on
(és dir, té funció de densitat (4)), i
és qualsevol matriu
tal que
(sempre existeix al menys una matriu
amb aquestes característiques [18]).
Notació. A partir d'ara, utiitzarem la notació
per referir-nos a un vector aleatori normal
-dimensional, ja sigui no singular o singular.
- Demostració.
Vegem que (a)
(b). Suposem que
compleix la condició expressada a (a). En primer lloc, cada component d'aquest vector té esperança i variància ja que, per exemple,
, i, per hipòtesi, és normal. Llavors
tindrà esperança, que designem per
i matriu de variàncies-covariàncies que denotarem per
. Fixem
i sigui
; anem a calcular
i
: per les propietats de l'esperança d'un vector aleatori i de la matriu de variàncies-covariàncies,
Aleshores, podem calcular la funció característica de
de la següent manera:
que és el que volíem demostrar.
Vegem que (b)
(c). En efecte, suposem
te rang
. Aleshores, existeix una matriu
de rang
tal que
[18]. Sigui
i definim
. El vector
té la mateixa distribució que
, ja que la funció característica de
és (vegeu les propietats de les funcions característiques multidimensionals)
Finalment, vegem que (c)
(a). Sigui
. Aleshores
tindrà la mateixa llei (amb les notacions anteriors) que
i llavors, per a
,
on hem utilitzat que la funció característica del vector
té l'expressió (1). Per tant
(i, llavors
) té una distribució normal.
Exemple. Considerem una variable normal estàndard
. Definim el vector aleatori
La seva matriu de variàncies-covariàncies és
que té rang 1.
D'altra banda, aquest vector està concentrat en la recta
, és a dir,
; però llavors, no pot tenir funció de densitat, ja que si existís una funció
no negativa tal que per a qualsevol conjunt borelià
tinguéssim
aleshores
ja que
té mesura de Lebesgue 0 en el pla, la qual cosa és contradictori amb
.
És clar que tota combinació lienal de les components de
és una variable normal. La seva funció característica és
però
i, per tant, la funció característica té la forma (6). Finalment, tal com hem vist,
, amb
, que satisfà
i per tant també es compleix la condició donada a la definició (c). En resum,
és un vector aleatori normal bidimensional.
Notació. A partir d'ara, anomenarem vector normal multidimensional a un vector aleatori quec compleixi una de les condicions (equivalents) (a), (b) o (c).
Existència de vectors aleatoris normals.[modifica]
En el cas no singular, l'existència de vectors aleatoris normals ve donada per resultats generals de la teoria de la probabilitat. Concretament, existeix un espai de probabilitat
i un vector aleatori
que té funció de densitat (1) [19]
En relació amb el cas singular, utilitzant la terminologia de Loeve [20] , les definicions (a) i (b) són descriptives, mentre que (c) és constructiva. Si es parteix d'(a) o (b) cal demostrar l'existència de l'objecte matemàtic que compleix aquesta propietat: ¿existeix un vector aleatori que complexi la propietat enunciada a (a)? ¿Existeix un vector aleatori tal que tingui (6) per funció característica? la resposta a ambdues preguntes ve donada per l'equivalència amb la definició (c).
1. Transformacions lineals. Sigui
, amb
semidefinida positiva,
una matriu
i
. Definim
Aleshores [10]
amb
Suposem ara que
. Si
és no singular i
, aleshores
és no singular.
Demostració: La funció característica de
és (vegeu les propietats de les funcions característiques multidimensionals)
Per veure que si
és no singular i
, aleshores
és no singular, utilitzarem que en aquestes condicions
és definida positiva [21] .
2. Distribucions marginals. Sigui
. Aleshores qualsevol subvector és normal multidimensional.
- Demostració. Només cal utilitzar que qualsevol subvector es pot escriure de la forma
per a una matriu convenient
i aplicar la propietat anterior
3. Sigui
, amb
semidefinida positiva.
- (i) Si
és definida positiva (cas no singular), això és,
, aleshores
té funció de densitat donada per (1).
- (ii) Si
(cas singular), aleshores
no té funció de densitat. Si el rang de
és
, llavors
està concentrada en un subespai lineal de
de dimensió
[22].
- En efecte [23], siguin
els valors propis no nuls de
. Existeix una matriu ortogonal
tal que ![{\displaystyle {\boldsymbol {Q'\Sigma Q}}={\boldsymbol {D}}={\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\&\lambda _{2}\\&&\ddots \\&&&\lambda _{r}\\&&&&0\\&&&&&\ddots \\&&&&&&0\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95838f3c6cec4a240d9d501bc980edd9e0a99669)
Definim
que és un vector normal amb vector d'esperances
i matriu de variàncies-covariàncies
Per tant,
. Definim
, que segons la propietat anterior serà normal no singular
on
Sigui
la matriu formada per les primeres r columnes de la matriu
. Llavors,
Això implica que el vector
està concentrat en el subespai lineal de
de dimensió
:
4. Independència. Dues variables aleatòries independents són incorrelacionades, o sigui, la seva covariància és zero. En general el recíproc no és cert. però és veritat quan les variables tenen distribució conjunta normal.
(i) Sigui
. Aleshores les variables aleatòries
són independents si i només si
[24]. Equivalentment, si la matriu
és diagonal.
(ii) Sigui
, i
. Escrivim ![{\displaystyle {\boldsymbol {X}}_{1}=(X_{1},\dots ,X_{r-1})'\quad {\text{i}}\quad {\boldsymbol {X}}_{2}=(X_{r},\dots ,X_{d})'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09130ecae31dd43d327115b9e66054c50aa95510)
D'altra banda, partim la matriu
de la següent manera:
on
és matriu de covariàncies dels vectors
i
,
Noteu que
. Aleshores
i
són independents si i només si
[25].
(iii) La propietat anterior es generalitza a qualsevol partició del vector
en vectors
: aquests vectors són independents si i només si les matrius de covariàncies
[26].
Demostració: La demostració de les tres propietats es basa en el fet que quan les covariàncies són zero, aleshores la funció característica del vector descomposa en producte de les funcions característiques de les components. Vegeu les referències esmentades.
5. Constància de la densitat sobre el·lipsoides. Si
és no singular, aleshores la seva funció de densitat és constant sobre els el·lipsoides
-dimensionals de la forma
per a qualsevol
. Es diu que és una distribució amb simetria el·líptica [27] .
Quan
, aleshores els el·lipsoides anteriors són esferes i es diu que la distribució té simetria esfèrica [27].
6. Moments. Fórmula d'Isserlis o de Wick. Atès que un vector aleatori normal té funció generatriu de moments, tindrà moments de tots els ordres, i com que la distribució del vector només depèn de les mitjanes i les covariàncies de les components, els moments només deprendran d'aquestes quantitats; tot i aquesta consideració a priorística, és realment sorprenent que es pugui trobar una fórmula per als moments tan elegant i simple com la que presentem a continuació.
Sigui
(les components poden ser iguals). Aleshores
on la suma es fa sobre totes les descomposicions del conjunt
en parelles disjuntes
.
Per exemple,
ja que el conjunt
es pot descomposar de 3 maneres en parelles: les parelles
, les parelles
i les parelles
.
Quan hi ha variables repetides, es fan les identificacions a la fórmula anterior: per exemple, per calcular
, prenem
i
. Llavors,
Anàlogament, ![{\displaystyle E[X_{1}^{2}X_{2}X_{3}]=E[X_{1}^{2}]\,E[X_{2}X_{3}]+2\,E[X_{1}X_{2}]\,E[X_{1}X_{3}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9610b16396678ab4bc9cc8c4bf485a4b0ba9ded9)
![{\displaystyle E[X_{1}^{3}X_{2}]=3E[X_{1}^{2}]\,E[X_{1}X_{2}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/199bab78c7299b27f24d79274b309ddb463beb55)
Observacions.
- Si
és senar, aleshores
, ja que
no pot descomposar-se en parelles. D'altra banda, aquesta propietat pot demostrar-se directament del fet que totes les variables tenen esperanza 0, i llavors el vector
té la mateixa distribució que el vector
. En ser
senar,
.
- Com que totes les variables tenen esperança zero,
. Sovint s'escriu la formula anterior utilitzant la notació
amb
.
- Per a un nombre parell
, el nombre de parelles en que descomposa
és
on
denota el doble factorial de
. Així, per exemple, per a
, tenim que el nombre de parelles és
; per
tenim
.
- Aquesta fórmula va ser descoberta per Isserlis[28] però també és coneguda com a fórmula de Wick a partir del seu treball de Física teòrica [29]. Isserlis va demostrar la fórmula per inducció; veieu una demostració utilitzant funcions característiques a Janson [30]
- Quan totes les variables són iguals,
aleshores tenim la coneguda fórmula pels moments de les variables normals centrades [31]![{\displaystyle E[X^{d}]={\begin{cases}(d-1)!!\,\sigma ^{d},&{\text{si}}\ d\ {\text{és parell}},\\0,&{\text{si}}\ d\ {\text{és senar}}.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eda1162ed715e2fcded025cee26c323c536bdea)
- Per una extensió als moments d'un vector normal amb vector d'esperances no nul veieu Withers [32]
- Per a altres fórmules pels moments d'un vector normal, vegeu Graybill[33] , secció 10.9.
Comentaris sobre el vector aleatori normal bidimensional[modifica]
Utilitzant les notacions que hem introduït a la secció Vector aleatori normal bidimensional, tenim que
.D'altra banda,
Per tant,
D'acord amb la propietat 3, i en coherència amb les propietats del coeficient de correlació, quan
hi ha una relació lineal entre
i
: existeixen nombres
i
tals que
Distribucions condicionades.[modifica]
Sigui
no singular. Amb les notacions anteriors tenim [34] la distribució
condicionada per
és normal mutidimensional
on
Aquesta propietat també és cert quan
és singular canviant
per una pseudoinversa (o inversa generalitzada)
[35].
Per la demostració, vegeu al referència citada.
En particular, per a
, tenim que
condicionada per
té una distribució normal
on
Formes quadràtiques en variables normals[modifica]
Sigui
i
una matriu
simètrica. Una expressió de forma
s'anomena una forma quadràtica en
. L'exemple més senzill és quan
,
i
. Llavors, la forma quadràtica té una distribució ji-quadrat amb
graus de llibertat,
, ja que llavors
i son independents; llavors
Les formes quadràtiques en variables normals tenen un paper important en Estadística. Per un tractament en profunditat, veieu, per exemple, Seber, cap. 20 [36].
Propietats.
- Sigui
no singular. Aleshores
i
, on
és una una distribució ji-quadrat descentrada amb
graus de llibertat i paràmetre de descentrament
; aquí
.
- Sigui
no singular i
una matriu
simètrica de rang
. Aleshores
amb
si i només si la matriu
és idempotent:
.
- ↑ Nualart, David. Curs de probabilitats. Barcelona: PPU, 1990. ISBN 84-7665-718-8.
- ↑ Ash, Robert B. Probability and measure theory. 2nd ed. San Diego: Harcourt/Academic Press, 2000. ISBN 0-12-065202-1.
- ↑ Anderson, T. W.. An introduction to multivariate statistical analysis. 3rd ed. Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience, 2003. ISBN 0-471-36091-0.
- ↑ Seber, G. A. F.. Linear regression analysis. 2nd ed. Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience, 2003. ISBN 0-471-41540-5.
- ↑ Hoffmann-Jørgensen, J. Probability with a view toward statistics. New York, NY: Chapman & Hall, 1994. ISBN 0-412-05221-0.
- ↑ Serfling, Robert J. Approximation theorems of mathematical statistics. New York: Wiley, 2002. ISBN 0-471-21927-4.
- ↑ Seber, G. A. F.. A matrix handbook for statisticians. Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience, 2008, p. 435, definició 20.11. ISBN 978-0-470-22678-0.
- ↑ Per definició, una matriu definida positiva o semidefinida positiva és simétrica.
- ↑ Kotz, S.; Balakridhnan, N.; Kotz, N. Continuous multivariate distributions. Vol. 1, Models and applications.. 2nd ed.. New York: Wiley, 2000, p. 167. ISBN 0-471-65403-5.
- ↑ 10,0 10,1 Tong, Y. L.. The multivariate normal distribution. New York: Springer-Verlag, 1990, p. 26, Theorem 3.2.1. ISBN 0-387-97062-2.
- ↑ Seber, G. A. F.. A matrix handbook for statisticians. Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience, 2008, p. 220, item 10.8. ISBN 978-0-470-22678-0.
- ↑ No hi ha ambiguitat en la notació ja que
. Seber, G. A. F.. A matrix handbook for statisticians. Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience, 2008, p. 221, item 10.8 (f). ISBN 978-0-470-22678-0.
- ↑ Anderson, T. W.. An introduction to multivariate statistical analysis. 3rd ed. Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience, 2003, p. 43. ISBN 0-471-36091-0.
- ↑ Seber, G. A. F.. A matrix handbook for statisticians. Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience, 2008, p. 436, ítem 20.23(a). ISBN 978-0-470-22678-0.
- ↑ Seber, G. A. F.. A matrix handbook for statisticians. Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience, 2008, p. 436. ISBN 978-0-470-22678-0.
- ↑ Seber, G. A. F.. A matrix handbook for statisticians. Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience, 2008, p. 436. ISBN 978-0-470-22678-0.
- ↑ Ash, Robert B. Probability and measure theory. 2nd ed. San Diego: Harcourt/Academic Press, 2000, p. 449. ISBN 0-12-065202-1.
- ↑ 18,0 18,1 Seber, G. A. F.. A matrix handbook for statisticians. Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience, 2008, p. 221, propietat 10.10. ISBN 978-0-470-22678-0.
- ↑ Una funció de densitat multidimensional determina de forma única una funció de distribució multidimensional, a partir de la qual pot construir-se un espai de probabilitat i un vector aleatori amb les propietats desitjades. Vegeu Hoffmann-Jørgensen, J. Probability with a view toward statistics. New York, NY: Chapman & Hall, 1994, p. 111. ISBN 0-412-05221-0.
- ↑ Loeve, Michel. Teoría de la probabilidad. Madrid: Tecnos, D.L. 1976. ISBN 84-309-0663-0. . Vegeu, per exemple, les pàgines 331 i següents.
- ↑ Seber, G. A. F.. Linear regression analysis. 2nd ed. Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience, 2003, p. 461, prop. A.4.5. ISBN 0-471-41540-5.
- ↑ Nualart, David; Sanz, Marta. Curs de probabilitats. Barcelona: PPU, 1990, p. 128. ISBN 84-7665-718-8.
- ↑ Aquesta demostració està basada en l'anomenat Teorema de descomposició espectral de matrius semidefinides positives, vegeu Seber, G. A. F.. A matrix handbook for statisticians. Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience, 2008, p. 342. ISBN 978-0-470-22678-0.
- ↑ Ash, Robert B. Probability and measure theory. 2nd ed. San Diego: Harcourt/Academic Press, 2000, p. 453. ISBN 0-12-065202-1.
- ↑ Tong, Y. L.. The multivariate normal distribution. New York: Springer-Verlag, 1990, p. 30. ISBN 0-387-97062-2.
- ↑ Seber, G. A. F.. Multivariate observations. New York: John Wiley & Sons, Inc, 1984, p. 18. ISBN 0-471-88104-X.
- ↑ 27,0 27,1 Fang, Kaitai. Symmetric multivariate and related distributions. London: Chapman and Hall, 1990. ISBN 0-412-31430-4.
- ↑ Isserlis, L. «ON A FORMULA FOR THE PRODUCT-MOMENT COEFFICIENT OF ANY ORDER OF A NORMAL FREQUENCY DISTRIBUTION IN ANY NUMBER OF VARIABLES» (en anglès). Biometrika, 12, 1-2, 01-11-1918, pàg. 134–139. DOI: 10.1093/biomet/12.1-2.134. ISSN: 0006-3444.
- ↑ Wick, G. C. «The Evaluation of the Collision Matrix» (en anglès). Physical Review, 80, 2, 15-10-1950, pàg. 268–272. DOI: 10.1103/PhysRev.80.268. ISSN: 0031-899X.
- ↑ Janson, Svante. Gaussian Hilbert spaces. Cambridge, U.K.: Cambridge University Press, 1997, p. 11-12. ISBN 0-521-56128-0.
- ↑ Papoulis, Athanasios. Probability, random variables, and stochastic processes. 4th ed. Boston: McGraw-Hill, 2002, p. 148. ISBN 0-07-366011-6.
- ↑ Withers, C. S. «The moments of the multivariate normal» (en anglès). Bulletin of the Australian Mathematical Society, 32, 1, 1985-08, pàg. 103–107. DOI: 10.1017/S000497270000976X. ISSN: 1755-1633.
- ↑ Graybill, Franklin A. «Secció 10.9». A: Matrices with applications in statistics. 2nd ed. Belmont, Calif.: Wadsworth International Group, 1983. ISBN 0-534-98038-4.
- ↑ Seber, G. A. F.. A matrix handbook for statisticians. Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience, 2008, p. 439. ISBN 978-0-470-22678-0.
- ↑ Seber, G. A. F.. A matrix handbook for statisticians. Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience, 2008, p. 437. ISBN 978-0-470-22678-0.
- ↑ Seber, G. A. F.. A matrix handbook for statisticians. Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience, 2008. ISBN 978-0-470-22678-0.