Distribució de probabilitat

Una funció de distribució normal, coneguda pel nom de «campana de Gauss» en honor de Carl Friedrich Gauss (1777–1855).

Percentatges de probabilitat a la distribució normal.

En probabilitats i estadística les expressions distribució de probabilitat o llei de probabilitat tenen diversos sentits: per nombrosos autors, són sinònimes de Probabilitat, però molts altres autors les reserven per a les probabilitats a $\mathbb {R} ^{n}$, $n\geq 1$. Però hi ha unanimitat en els termes llei o distribució d'una variable aleatòria o vector aleatori per referir-se a la probabilitat sobre $\mathbb {R} ^{n}$ induïda per la variable aleatòria o vector aleatori. Atès que hi ha una correspondència bijectiva entre les probabilitats sobre $\mathbb {R} ^{n}$i les funcions de distribució, es pot donar la distribució d'una variable aleatòria o vector mitjançant la seva funció de distribució; si bé això és interessant des del punt dels resultats generals, per a distribucions de variables o vectors concrets (normals, binomials, etc) les funcions de distribució són sovint feixugues d'utilitzar, i llavors és molt habitual fer servir la funció de densitat (cas absolutament continu), la funció de probabilitat (cas discret), la funció característica o alguna altra transformació que determini unívocament la distribució.

Definició 1

Molts autors utilitzen distribució de probabilitat o llei de probabilitat per designar una probabilitat o mesura de probabilitat en un espai mesurable general $(\Omega ,{\mathcal {A}})$, on $\Omega$ és un conjunt arbitrari i ${\mathcal {A}}$ és una família de subconjunts d'$\Omega$ que té estructura de $\sigma$-àlgebra:

1. $\Omega \in {\mathcal {A}}$.
2. Si $A\in {\mathcal {A}}$, llavors, $A^{c}\in {\mathcal {A}}$, on $A^{c}$ designa el complementari del conjunt $A$.
3. Si tenim una col·lecció numerable d'esdeveniments, $\{A_{n},\,n\geq 1\}\subset {\mathcal {A}}$, aleshores $\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {A}}$.

En aquest context, una distribució de probabilitat o llei de probabilitat és una aplicació $P:{\mathcal {A}}\to [0,1]$ que compleix

1. $P(\Omega )=1$.
2. Per a qualsevol família numerable d'esdeveniments,$\{A_{n},\,n\geq 1\}\subset {\mathcal {A}}$, disjunts dos a dos: si $i\neq j,\ A_{i}\cap A_{j}=\emptyset$, tenim$$P{\Big (}\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}{\Big )}=\sum _{n=1}^{\infty }P(A_{n}).$$

Per a molts autors, una distribució de probabilitat o llei de probabilitat és una probabilitat en un espai mesurable general $(\Omega ,{\mathcal {A}})$.

Definició 2

Per a d'altres autors, distribució de probabilitat o llei de probabilitat es reserva per a probabilitats sobre els nombres reals $\mathbb {R}$ o sobre $\mathbb {R} ^{n}$.

Per a d'altres autors, una distribució de probabilitat o llei de probabilitat és una probabilitat sobre l'espai mesurable ${\big (}\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R^{n}} ){\big )}$ on ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})$ és la $\sigma$-àlgebra de Borel sobre $\mathbb {R} ^{n}$, $n\geq 1$.

Exemples

1. Una distribució de probabilitat normal estàndard ve donada per $$p(A)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{A}e^{-x^{2}/2}\,dx,\quad \forall A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ).$$En particular, per a $-\infty \leq a\leq b\leq \infty ,$ l'interval $[a,b]$ té probabilitat $$p{\big (}[a,b]{\big )}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{a}^{b}e^{-x^{2}/2}\,dx.$$2. Una distribució de probabilitat binomial de paràmetres $n=4$ i $p=0,2$ és la probabilitat determinada per: $$p(\{0\})={\binom {4}{0}}0,2^{0}\,0,8^{4}=0,4096,\ p(\{1\})={\binom {4}{1}}0,2\,0,8^{3}=0,4096,\ p(\{2\})={\binom {4}{2}}0,2^{2}\,0,8^{2}=0,1536,\ p(\{3\})={\binom {4}{3}}0,2^{3}\,0,8^{1}=0,0256,\ p(\{4\})={\binom {4}{4}}0,2^{4}\,0,8^{0}=0,016,$$i $p(\{x\})=0,$ si $x\notin \{0,1,\dots ,4\}$. Aleshores, per a qualsevol $A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$, $$p(A)=\sum _{i=0,1,\dots ,4:\ i\in A}p(\{i\}).$$

Observació sobre la terminologia: Habitualment, quan es parla de distribucions conegudes amb un nom específic, com en els exemples anteriors, en lloc de dir distribució de probabilitat normal o distribució de probabilitat binomial només es diu distribució normal o distribució binomial.

Distribucions singulars. Parts discreta i contínua d'una distribució de probabilitat a Rⁿ

Recordem la nomenclatura estàndard de les mesures sobre $(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))$: una mesura $\mu$ es diu que és

• discreta si existeix un conjunt finit o numerable $C\subset \mathbb {R} ^{n}$ tal que $\mu (C^{c})=0$, on $C^{c}=\mathbb {R} ^{n}\setminus C$ és el complementari del conjunt $C$.
• contínua si $\mu \{x\}=0$ per a qualsevol $x\in \mathbb {R} ^{n}$.
• singular (respecte la mesura de Lebesgue) si existeix un conjunt $C\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})$ tal que $\mu (C^{c})=0$ i $\lambda _{n}(C)=0$ on $\lambda _{n}$ és la mesura de Lebesgue a $\mathbb {R} ^{n}$.
• absolutament contínua (respecte la mesura de Lebesgue) si per qualsevol conjunt $B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})$ tal que $\lambda _{n}(B)=0$, tenim que $\mu (B)=0$.

Quan $\mu$ és discreta (respectivament absolutament contínua) també es diu que és purament discreta (resp. purament absolutament contínua). Cal notar que les definicions de continuïtat i singularitat no són incompatibles, sinó que hi ha mesures alhora contínues i singulars; la distribució de Cantor n'és un exemple. Una mesura contínua i singular es diu que és purament contínua singular.
Descomposició de mesures. Existeixen tres mesures, $\mu _{d}$ discreta, $\mu _{cs}$ contínua singular i $\mu _{ac}$ absolutament contínua, tals que$$\mu =\mu _{d}+\mu _{cs}+\mu _{ac}.$$Aquestes mesures són úniques. La mesura $\mu _{d}$ (respectivament $\mu _{cs}$ i $\mu _{ac}$) s'anomenen la part discreta (resp. part contínua singular i part absolutament contínua) de $\mu$. La mesura $\mu _{cs}+\mu _{ac}$ s'anomena la part contínua de $\mu$ . Òbviament, aquestes mesures poden ser nul·les: per exemple, si $\mu$ és discreta, aleshores $\mu =\mu _{d}$ i $\mu _{cs}=\mu _{ac}=0$ .
Finalment, d'acord amb el Teorema de Radon-Nikodym, si $\mu$ és $\sigma$-finita (en particular, si és finita), aleshores existeix una funció $f:\mathbb {R} ^{n}\to [0,\infty )$ mesurable tal que $$\mu _{ac}(A)=\int _{A}f\,d\lambda _{n},\qquad \forall A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}).$$La funció $f$ s'anomena la funció de densitat de $\mu _{ac}$.
Adaptació a les distribucions de probabilitat. Totes aquestes definicions i propietats s'adapten directament al cas de les distribucions de probabilitat a $\mathbb {R} ^{n}$. Així, per exemple, es diu que una distribució de probabilitat $p$ sobre $\mathbb {R} ^{n}$ és una distribució discreta si existeix un conjunt finit o numerable $C\subset \mathbb {R} ^{n}$ tal que $p(C)=1$. O que és una distribució singular (respecte la mesura de Lebesgue) si existeix un conjunt $C\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})$ tal que $p(C)=1$ i $\lambda _{n}(C)=0$.

Funcions de distribució unidimensionals

Article principal: Funció de distribució

Sigui $p$ una probabilitat sobre $\mathbb {R}$. La seva funció de distribució és la funció $F:\mathbb {R} \to [0,1]$ definida per: $$F(x)=p{\big (}(-\infty ,x]{\big )}.$$ Té les següents propietats:

(a) $F$ és una funció monòtona no decreixent (també es diu que és creixent): si $x<y$ aleshores $F(x)\leq F(y)$.

(b) $F$ és contínua per la dreta en tot punt, és a dir, per a qualsevol $x\in \mathbb {R} ,F(x)=F(x^{+})=\lim _{y\downarrow x}F(y)$.

(c)$\lim _{x\to -\infty }F(x)=0\quad {\text{i}}\quad \lim _{x\to +\infty }F(x)=1.$

Per posterior us, és convenient observar que, si $a\leq b$, atès que $$(-\infty ,b]=(-\infty ,a]\cup (a,b],\quad {\text{i}}\quad (-\infty ,a]\cap (a,b]=\emptyset ,$$

tenim que $$F(b)-F(a)=p{\big (}(a,b]{\big )}.$$

Aquestes tres propietats donen lloc a una nova definició: una funció $G:\mathbb {R} \longrightarrow [0,1]$ que compleixi (a), (b) i (c) es diu que és una funció de distribució.

Donada una funció de distribució $G$ podem construir una distribució de probabilitat $q$ a ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ definint-la primer sobre els intervals de la forma $(a,b]$: $$q{\big (}(a,b]{\big )}=G(b)-G(a),\ a<b,$$ i estenent-la a tot ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ per les tècniques habituals de Teoria de la mesura (Teorema de Cararthéodory, etc.). Tenim

Equivalència entre distribucions de probabilitat a $\mathbb {R}$ i funcions de distribució. Hi ha una correspondència bijectiva entre les distribucions de probabilitat a $\mathbb {R}$ i les funcions de distribució.

Exemples

1. Distribució normal estàndard: La funció de distribució és $$F(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{t}e^{-x^{2}/2}\,dx.$$És important assenyalar que aquesta integral no es pot expressar en termes de funcions elementals: polinomis,funcions racionals, funcions trigonomètriques, exponencials o logarítmiques.

2. Distribució de probabilitat binomial de paràmetres $n=4$ i $p=0,2$: la funció de distribució és una funció esglaonada: $$F(t)=\sum _{i=0,1,\dots ,4:\,i\leq t}p(\{i\}).$$

Funcions de densitat, funcions de probabilitat, etc

Com hem vist als exemples, la manera més habitual de donar una probabilitat a $\mathbb {R}$ és mitjançant una funció de densitat (cas absolutament continu) o una funció de probabilitat (cas discret). També utilitzar la funció característica o una altra transformació similar.

Distribució o llei d'una variable aleatòria

Sigui $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ un espai de probabilitat i $X:\Omega \to \mathbb {R}$ una variable aleatòria. La distribució de probabilitat de $X$, o senzillament, distribució de $X$, o llei de $X$ és la probabilitat a $\mathbb {R}$ definida per $$p(A)=P\{X\in A\},\ \ \ A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ).$$La funció de distribució $F$ de $p$ s'anomena la funció de distribució de $X$, i ve donada per $$F(x)=p{\big (}(-\infty ,x]{\big )}=P{\big (}\{X\in (-\infty ,x]\}{\big )}=P(X\leq x).$$

Funció de distribució d'una variable aleatòria. Donada una variable aleatòria $X$, la seva funció de distribució és la funció $F:\mathbb {R} \to [0,1]$ definida per $$F(x)=P(\{X\leq x\}),\ x\in \mathbb {R} .$$

Ens podem preguntar si, donada una distribució concreta (per exemple, normal, o binomial), la frase <<Sigui $X$ una variable aleatòria amb funció de distribució $F$>> sempre és correcta, és a dir, si sempre existeix una variable aleatòria amb la distribució demanada. La resposta és afirmativa:

Donada una funció de distribució $F$, existeix un espai de probabilitat $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ i una variable aleatòria $X$ tal que la seva funció de distribució és $F$.

Prova

Tal com hem dit, la funció de distribució $F$ determina una probabilitat $p$ en $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$. Escrivim $$\Omega =\mathbb {R} ,\quad {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\quad P=p$$ i sigui $X$ la variable aleatòria $${\begin{aligned}X:&\Omega \to \mathbb {R} \\&\omega \mapsto \omega \end{aligned}}$$Aleshores, la funció de distribució de $X$, que designarem per $F_{X}$, és: $$F_{X}(x)=P(\{X\leq x\})=p({\big (}-\infty ,x]{\big )}=F(x).$$

Igualtat en distribució de variables aleatòries

Considerem dues variables aleatòries $X$ i $Y$, que poden estar definides en espais de probabilitat diferents, i designem per $p_{X}$ i $p_{X}$ les seves distribucions. Es diu que $X$ i $Y$ son iguals en distribució o en llei si $p_{X}=p_{Y}$. En aquest cas, s'escriu $X\ {\overset {\mathcal {D}}{=}}\ Y\ {\text{o}}\ X\ {\overset {\mathcal {L}}{=}}\,Y.$ Evidentment, si $F_{X}$ i $F_{Y}$ són les funcions de distribució corresponents, aquesta propietat és equivalent a $F_{X}=F_{Y}$ .

Exemples

1. Juguem amb un dau perfecte i $\Omega _{1}=\{1,2,3,4,5,6\}$considerem la variable $X$ que val 1 si surt parell i 0 si surt senar .Tirem una moneda perfecta i sigui $\Omega _{2}=\{{\text{cara, creu}}\}$ i $Y$ la variable que pren el valor 1 si surt cara i 0 si surt creu. Ambdues variables estan definides en espais de probabilitat diferents però són iguals en llei.
2. Dues variables poden estar definides en el mateix espai de probabilitat i ser iguals en llei, però ser distintes com aplicacions. Per exemple, tirem dos daus i $X$ representa el resultat del primer dau i $Y$ el del segon, aleshores ambdues variables són iguals en llei, però si surt 1 al primer dau i 2 al segon dau, $X(1,2)=1\ {\text{mentre que}}\ Y(1,2)=2.$

Igualtat quasi segura de variables aleatòries

Es diu que dues variables aleatòries $X\ {\text{i}}\ Y$ (definides en el mateix espai de probabilitat) són iguals quasi segurament o iguals amb probabilitat 1 si $P(X=Y)=1$. S'escriu $$X=Y,\quad {\text{q.s.}}$$

Si dues variables són iguals quasi segurament, aleshores són iguals en llei. El recíproc no és cert, tal com mostra l'exemple 2 de l'apartat anterior.

Prova

Siguin $X=Y,\ {\text{q.s.}}$ i designem per $F_{X}$ i $F_{Y}$ les seves funcions de distribució. Aleshores, atès que l'esdeveniment $\{X=Y\}$ té probabilitat 1, $$F_{X}(t)=P{\big (}\{X\leq t\}{\big )}=P{\big (}\{X\leq t\}\cap \{X=Y\}{\big )}=P{\big (}\{Y\leq t\}\cap \{X=Y\}{\big )}=P{\big (}\{Y\leq t\}{\big )}=F_{Y}(t).$$

Convergència en llei o distribució de variables aleatòries

Article principal: Convergència de variables aleatòries

Considerem una successió de variables aleatòries $X_{1},X_{2},\dots$ i sigui $X$ una altra variable aleatòria, amb funcions de distribució $F_{1},F_{2},\dots$ i $F$ respectivament. Es diu que la successió convergeix en distribució o llei a $X$ si $$\lim _{n\to \infty }F_{n}(t)=F(t),\quad {\text{en tot punt}}\ t\ {\text{on}}\ F\ {\text{és contínua}}.$$ Un cas especialment important de convergència en llei és el Teorema central del límit.

Extensió a Rⁿ

Considerem una probabilitat $p$ a ${\big (}\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}){\big )}$. La seva funció de distribució és la funció $F:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]$ definida per $$F(x_{1},\dots ,x_{n})=p{\big (}(-\infty ,x_{1}]\times \cdots \times (-\infty ,x_{n}]{\big )}.$$

Per estudiar les seves propietats necessitem les següents notacions: Escriurem els elements de $\mathbb {R} ^{n}$ en negretes; donats ${\boldsymbol {a}}=(a_{1},\dots ,a_{n})$ i ${\boldsymbol {b}}=(b_{1},\dots ,b_{n})$ direm que ${\boldsymbol {a}}<{\boldsymbol {b}}$, si $a_{i}<b_{i},\ i=1,\dots ,n.$ Per ${\boldsymbol {a}}<{\boldsymbol {b}}$,

Figura 1. Descomposició d'un interval bidimensional

definim $$\Delta _{{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}}F=\sum _{(\varepsilon _{1},\dots ,\varepsilon _{n})\in \{0,1\}^{n}}(-1)^{\varepsilon _{1}+\cdots +\varepsilon _{n}}\,F{\big (}b_{1}+\varepsilon _{1}(b_{1}-a_{1}),\dots ,b_{n}+\varepsilon _{n}(b_{n}-a_{n}){\big )}.$$Per exemple, si $n=1$, $a,b\in \mathbb {R} ,\ a<b$, $$\Delta _{a,b}F=F(b)-F(a)=p{\big (}(a,b]{\big )}.$$

Per $n=2$, amb ${\boldsymbol {a}}=(a_{1},a_{2})$, ${\boldsymbol {b}}=(b_{1},b_{2})$, amb ${\boldsymbol {a}}<{\boldsymbol {b}}$, $$\Delta _{{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}}F=F(b_{1},b_{2})-F(b_{1},a_{2})-F(a_{1},b_{2})+F(a_{1},a_{2})=p{\big (}(a_{1},b_{1}]\times (a_{2},b_{2}]{\big )}.\qquad (*)$$ Vegeu la Figura 1.

Prova

Descomponem el conjunt $(-{\boldsymbol {\infty }},{\boldsymbol {b}}]=(-\infty ,b_{1}]\times (-\infty ,b_{2}]$ de la següent manera: $${\big (}-{\boldsymbol {\infty }},{\boldsymbol {b}}{\big ]}={\big (}{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}{\big ]}\cup {\big (}-{\boldsymbol {\infty }},(a_{1},b_{2}){\big ]}\cup {\big (}-{\boldsymbol {\infty }},(b_{1},a_{2}){\big ]}.$$Però els conjunts de la dreta no són disjunts dos a dos, sinó que $${\big (}-{\boldsymbol {\infty }},(a_{1},b_{2}){\big ]}\cap {\big (}-{\boldsymbol {\infty }},(b_{1},a_{2}){\big ]}={\big (}-{\boldsymbol {\infty }},{\boldsymbol {a}}{\big ]}.$$Aplicant la fórmula de la probabilitat de la unió de tres conjunts tenim $$p{\big (}(-{\boldsymbol {\infty }},{\boldsymbol {b}}]{\big )}=p{\big (}({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]{\big )}+p{\big (}(-{\boldsymbol {\infty }},(a_{1},b_{2})]{\big )}+p{\big (}(-{\boldsymbol {\infty }},(b_{1},a_{2})]{\big )}-p{\big (}(-{\boldsymbol {\infty }},{\boldsymbol {a}}]{\big )},$$d'on resulta la fórmula (*).

Retornant al cas general, tenim $$\Delta _{{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}}F=p{\big (}({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]{\big )},$$on $({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]=(a_{1},b_{1}]\times \cdots \times (a_{n},b_{n}].$

Propietats de la funció de distribució n-dimensional

La funció $F$ té les següents propietats:

(a) Per a qualsevol parell ${\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\in \mathbb {R} ^{n},\ {\boldsymbol {x}}<{\boldsymbol {y}},$ tenim que $\Delta _{{\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}}F\geq 0.$

(b) És contínua per la dreta: per qualsevol $(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n},$ $$\lim _{y_{1}\downarrow x_{1},\dots ,y_{n}\downarrow x_{n}}F(y_{1},\dots ,y_{n})=F(x_{1},\dots ,x_{n}).$$

(c) $$\lim _{x_{1}\to \infty ,\dots ,x_{n}\to \infty }F(x_{1},\dots ,x_{n})=1$$i

$$\lim _{x_{i}\to -\infty }F(x_{1},\dots ,x_{n})=0,\ i=1,\dots ,n.$$

Com en el cas unidimensional, aquestes propietats donen lloc a una nova definició: Una funció $G:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]$ que compleixi (a), (b) i (c) es diu que és una funció de distribució $n$-dimensional. A partir d'una d'aquestes funcions pot definir-se una probabilitat a ${\big (}\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}){\big )}$ mitjançant $$q{\big (}{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]{\big )}=\Delta _{{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}}G,\ \quad {\boldsymbol {a}}<{\boldsymbol {b}}.$$Llavors tenim una correspondència bijectiva entre les probabilitats a ${\big (}\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}){\big )}$ i les funcions de distribució $n$-dimensionals.

Distribució o llei d'un vector aleatori

S'anomena distribució o llei d'un vector aleatori ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{n})$ a la probabilitat sobre $\mathbb {R} ^{n}$ induïda per ell :

$$p(A)=P\{{\boldsymbol {X}}\in A\},\ \ \ A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}).$$La funció de distribució de ${\boldsymbol {X}}$ és la funció $F:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]$ definida per $$F(x_{1},\dots ,x_{n})=P(X_{1}\leq x_{1},\dots ,\leq X_{n}\leq x_{n}),$$

on, com és habitual amb els vectors aleatoris, les comes s'interpreten com interseccions: $$P(X_{1}\leq x_{1},\dots ,\leq X_{n}\leq x_{n})=P{\big (}\{X_{1}\leq x_{2}\}\cap \cdots \cap \{X_{n}\leq x_{n}\}{\big )}.$$Les definicions de igualtat en distribució i igualtat quasi segura de vectors aleatoris són iguals a les de variables aleatòries.

També tenim que donada una funció de distribució $n$-dimensional $F$, existeix un espai de probabilitat i un vector aleatori ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{n})$ tal que la seva funció de distribució és $F$.

Bibliografia

• Johnson, N. L.; Kotz, S.; Kemp, A. W.. Univariate discrete distributions.. 2nd ed.. New York: Wiley, 1992. ISBN 0-471-54897-9. 
• Johnson, N. L.; Kotz, S.; Balakrihsnan, N. Continuous univariate distributions, Vol 1. 2nd ed. Nova York: Wiley, ©1994-©1995. ISBN 0-471-58495-9. 
• Johnson, N. L.; Kotz, S.; Balakrihsnan, N. Continuous univariate distributions, Vol2. 2nd ed. New York: Wiley, ©1994-©1995. ISBN 0-471-58495-9. 
• Johnson, N. L.; Kotz, S.; Balakrihsnan, N. Discrete Multivariate Distributions. New York: Wiley, 1997. ISBN 0-471-12844-1. 
• Kotz, S.; Balakrihsnan, N.; Johnson, N. L.. Continuous multivariate distributions. Vol. 1, Models and applications.. 2nd ed.. New York: Wiley, 2000. ISBN 0-471-65403-5.