Distribució K generalitzada

Distribució K generalitzada

Tipus	Distribució de probabilitat composta
Paràmetres	$\mu \in (0,+\infty )$, $\alpha \in [0,+\infty )$, $\beta \in [0,+\infty )$
Suport	$x\in [0,+\infty )\;$
fdp	${\frac {2}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\,\left({\frac {\alpha \beta }{\mu }}\right)^{\frac {\alpha +\beta }{2}}\,x^{{\frac {\alpha +\beta }{2}}-1}K_{\alpha -\beta }\left(2{\sqrt {\frac {\alpha \beta x}{\mu }}}\right),$
Esperança matemàtica	$\mu$
Variància	$\mu ^{2}{\frac {\alpha +\beta +1}{\alpha \beta }}$
FGM	$\left({\frac {\xi }{s}}\right)^{\beta /2}\exp \left({\frac {\xi }{2s}}\right)W_{-\delta /2,\gamma /2}\left({\frac {\xi }{s}}\right)$

En probabilitat i estadística, la distribució K generalitzada és una família de tres paràmetres de distribucions de probabilitat contínues. La distribució sorgeix combinant dues distribucions gamma. En cada cas, s'utilitza una re-parametrització de la forma habitual de la família de distribucions gamma, de manera que els paràmetres són:

• la mitjana de la distribució,
• el paràmetre de forma habitual.

La distribució K és un cas especial de distribució variància gamma, que al seu torn és un cas especial de distribució hiperbòlica generalitzada. Un cas especial més senzill de la distribució K generalitzada sovint es coneix com a distribució K.

Densitat

Suposem que una variable aleatòria $X$ té una distribució gamma amb mitjana $\sigma$ i paràmetre de forma $\alpha$, amb $\sigma$ es tracta com una variable aleatòria amb una altra distribució gamma, aquesta vegada amb mitjana $\mu$ i paràmetre de forma $\beta$ . El resultat és que $X$ té la següent funció de densitat de probabilitat (pdf) per $x>0$:

$f_{X}(x;\mu ,\alpha ,\beta )={\frac {2}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\,\left({\frac {\alpha \beta }{\mu }}\right)^{\frac {\alpha +\beta }{2}}\,x^{{\frac {\alpha +\beta }{2}}-1}K_{\alpha -\beta }\left(2{\sqrt {\frac {\alpha \beta x}{\mu }}}\right),$

on $K$ és una funció de Bessel modificada del segon tipus. Tingueu en compte que per a la funció de Bessel modificada del segon tipus, tenim $K_{\nu }=K_{-\nu }$. En aquesta derivació, la distribució K és una distribució de probabilitat composta. També és una distribució del producte: és la distribució del producte de dues variables aleatòries independents, una amb una distribució gamma amb una mitjana 1 i un paràmetre de forma. $\alpha$, el segon té una distribució gamma amb mitjana $\mu$ i paràmetre de forma $\beta$.

Aplicacions

La distribució K sorgeix com a conseqüència d'un model estadístic o probabilístic utilitzat en imatges de radar d'obertura sintètica (SAR). La distribució K es forma combinant dues distribucions de probabilitat separades, una que representa la secció transversal del radar i l'altra que representa el speckle que és una característica de la imatge coherent. També s'utilitza en comunicacions sense fil per modelar efectes d'ombra i esvaïment ràpid compostos.