De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
El terme distribució logística generalitzada s'utilitza com a nom de diverses famílies de distribucions de probabilitat . Per exemple, Johnson et al. [ 1] distribució logística obliqua . Per a altres famílies de distribucions que també s'han anomenat «distribucions logístiques generalitzades» (vegeu la «distribució log-logística desplaçada», que és una generalització de la distribució log-logística ).
Les definicions següents són per a versions estandarditzades de les famílies, que es poden ampliar a la forma completa com una família a escala-localització . Cadascun d'ells està definit mitjançant la funció de distribució acumulada (F ) o la funció de densitat de probabilitat (ƒ ), i està definit a (-∞,∞).
F
(
x
;
α
)
=
1
(
1
+
e
−
x
)
α
≡
(
1
+
e
−
x
)
−
α
,
α
>
0.
{\displaystyle F(x;\alpha )={\frac {1}{(1+e^{-x})^{\alpha }}}\equiv (1+e^{-x})^{-\alpha },\quad \alpha >0.}
La funció de densitat de probabilitat corresponent és:
f
(
x
;
α
)
=
α
e
−
x
(
1
+
e
−
x
)
α
+
1
,
α
>
0.
{\displaystyle f(x;\alpha )={\frac {\alpha e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)^{\alpha +1}}},\quad \alpha >0.}
Aquest tipus també ha estat anomenat distribució «desviació-logística».
F
(
x
;
α
)
=
1
−
e
−
α
x
(
1
+
e
−
x
)
α
,
α
>
0.
{\displaystyle F(x;\alpha )=1-{\frac {e^{-\alpha x}}{(1+e^{-x})^{\alpha }}},\quad \alpha >0.}
La funció de densitat de probabilitat corresponent és:
f
(
x
;
α
)
=
α
e
−
α
x
(
1
+
e
−
x
)
α
+
1
,
α
>
0.
{\displaystyle f(x;\alpha )={\frac {\alpha e^{-\alpha x}}{(1+e^{-x})^{\alpha +1}}},\quad \alpha >0.}
f
(
x
;
α
)
=
1
B
(
α
,
α
)
e
−
α
x
(
1
+
e
−
x
)
2
α
,
α
>
0.
{\displaystyle f(x;\alpha )={\frac {1}{B(\alpha ,\alpha )}}{\frac {e^{-\alpha x}}{(1+e^{-x})^{2\alpha }}},\quad \alpha >0.}
On B és la funció beta . La funció generadora de moments per a aquest tipus és
M
(
t
)
=
Γ
(
α
−
t
)
Γ
(
α
+
t
)
(
Γ
(
α
)
)
2
,
−
α
<
t
<
α
.
{\displaystyle M(t)={\frac {\Gamma (\alpha -t)\Gamma (\alpha +t)}{(\Gamma (\alpha ))^{2}}},\quad -\alpha <t<\alpha .}
La funció de distribució acumulada corresponent és:
F
(
x
;
α
)
=
(
e
x
+
1
)
Γ
(
α
)
e
α
(
−
x
)
(
e
−
x
+
1
)
−
2
α
2
F
~
1
(
1
,
1
−
α
;
α
+
1
;
−
e
x
)
B
(
α
,
α
)
,
α
>
0.
{\displaystyle F(x;\alpha )={\frac {\left(e^{x}+1\right)\Gamma (\alpha )e^{\alpha (-x)}\left(e^{-x}+1\right)^{-2\alpha }\,_{2}{\tilde {F}}_{1}\left(1,1-\alpha ;\alpha +1;-e^{x}\right)}{B(\alpha ,\alpha )}},\quad \alpha >0.}
f
(
x
;
α
,
β
)
=
1
B
(
α
,
β
)
e
−
β
x
(
1
+
e
−
x
)
α
+
β
,
α
,
β
>
0.
{\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}{\frac {e^{-\beta x}}{(1+e^{-x})^{\alpha +\beta }}},\quad \alpha ,\beta >0.}
De nou, B és la funció beta. La funció generadora de moments per a aquest tipus és
M
(
t
)
=
Γ
(
β
−
t
)
Γ
(
α
+
t
)
Γ
(
α
)
Γ
(
β
)
,
−
α
<
t
<
β
.
{\displaystyle M(t)={\frac {\Gamma (\beta -t)\Gamma (\alpha +t)}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}},\quad -\alpha <t<\beta .}
Aquest tipus també es coneix com la «funció beta exponencial generalitzada del segon tipus».[ 1]
La funció de distribució acumulada corresponent és:
F
(
x
;
α
,
β
)
=
(
e
x
+
1
)
Γ
(
α
)
e
β
(
−
x
)
(
e
−
x
+
1
)
−
α
−
β
2
F
~
1
(
1
,
1
−
β
;
α
+
1
;
−
e
x
)
B
(
α
,
β
)
,
α
,
β
>
0.
{\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\left(e^{x}+1\right)\Gamma (\alpha )e^{\beta (-x)}\left(e^{-x}+1\right)^{-\alpha -\beta }\,_{2}{\tilde {F}}_{1}\left(1,1-\beta ;\alpha +1;-e^{x}\right)}{B(\alpha ,\beta )}},\quad \alpha ,\beta >0.}
↑ 1,0 1,1 Johnson, N.L., Kotz, S., Balakrishnan, N. (1995) Continuous Univariate Distributions, Volume 2 , Wiley. ISBN 0-471-58494-0 (pages 140–142)
Distribucions discretes Distribucions discretes Distribucions contínues Distribucions contínues Distribucions contínues Distribucions contínues Barreja de distribució variable-contínua Distribució conjunta Direccionals Degenerada i singular Famílies
